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Goligoni (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria  Vari 

Un goligono è un poligono con n lati con tutti gli angoli retti e lunghezze dei lati consecutivi date da interi da 1 a n, in ordine crescente.

Furono inventati (ma trattandosi di oggetti presenti nell’iperuranio delle idee platoniche dovrei forse dire “scoperti” o meglio “classificati”) da Lee Sallows e resi popolari da un articolo di A.K Dudeney su Le Scienze, nel 1990.

Ruotando e traslando il goligono in modo che abbia il primo vertice nell’origine e il primo lato sia parallelo all’asse delle x, i lati dispari saranno paralleli a tale asse e quelli pari perpendicolari, e si vede che trovare un goligono equivale a trovare una combinazione di segni che risolva le equazioni 1 ± 3 ± 5 ± … 2n – 1 = 0 e 2 ± 4 ± 6 ± … 2n = 0.

Una semplice analisi mostra che il numero di lati deve essere multiplo di 8 (M. Gardner).

 

La figura seguente mostra l’unico goligono con 8 lati.

 

L'unico goligono con 8 lati

 

A dispetto della sua forma bizzarra, questo goligono tassella il piano, come mostra la figura seguente.

 

L'unico goligono con 8 lati tassella il piano

 

 

Non è particolarmente difficile calcolare il numero di goligoni con 8n lati, perché tramite funzioni generatrici si dimostra che il numero si trova prendendo il coefficiente di x^(8n^2) nell’espansione di Prodotto di x^(2k - 1) + 1, per k da 1 a infinito, moltiplicandolo per il coefficiente di xn(4n + 1) nell’espansione di Prodotto di x^k + 1, per k da 1 a infinito e dividendo per 4 il risultato.

Il numero di goligoni con 8n lati tende a Limite asintotico per al crescita del numero di goligoni con 8n lati.

 

La tabella seguente riporta i numeri di goligoni con 8n lati (non contando rotazioni o riflessioni) per n fino a 20 (Vaclav Kotesovec, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Goligoni con 8n lati

1

1

2

28

3

2108

4

227322

5

30276740

6

4541771016

7

739092675672

8

127674038970623

9

23085759901610016

10

4327973308197103600

11

835531767841066680300

12

165266721954751746697155

13

33364181616540879268092840

14

6854017416098227836106023048

15

1429368258586343246184813682344

16

302023498629081603279538134332922

17

64557914743374337032608546756101824

18

13941247125893997584457711273087122310

19

3038225349257507092516361163813831321438

20

667575475791956832191676953455074834982100

 

E’ invece molto più complesso contare i goligoni i cui lati non si intersecano e, che io sappia, non è stato trovato un metodo differente dall’esaminarli uno a uno.

Dei 28 goligoni, a 16 lati solo 3, mostrati di seguito, non hanno lati che si intersechino o parti unite per un solo punto o una linea.

 

Goligono con 16 lati

Goligono con 16 lati

Goligono con 16 lati

 

 

Prendendo un goligono nel quale le due equazioni sopra menzionate abbiano ciascuna tanti segni positivi quanti negativi, si possono sostituire agli interi i corrispondenti membri di una progressione aritmetica, creando goligoni con lati appartenenti a varie categorie; per esempio, con una progressione aritmetica di 8 primi, si possono avere goligoni con lunghezze date da numeri primi.

La minima progressione aritmetica di 8 primi inizia con 199, con differenza 210 tra elementi consecutivi, mentre a partire da 84493371139288259185220689643315884399840249027 si trova una progressione aritmetica di 8 primi consecutivi, sempre con differenza 210 tra elementi consecutivi.

 

Esistono infiniti goligoni con lati primi, sempre rispettando il requisito che le lunghezze dei lati siano in ordine crescente; ne riporto alcuni (nella notazione la lettera N, E, S od O è l’iniziale del punto cardinale verso il quale tracciare il lato, a partire dall’estremo del precedente):

  • 1N, 3E, 5N, 7O, 11N, 13O, 17N, 19E, 23N, 29O, 31N, 37E, 41S, 43E, 47S, 53O, ammettendo l’uso di 1 (Harry J. Smith, 1990);

  • 3N, 5E, 11N, 13E, 17N, 19E, 31S, 37O con numeri primi;

  • 17N, 19E, 29S, 31O, 59S, 61O, 71N, 73E, con numeri primi gemelli;

  • 663569N, 663571E, 663581S, 663583O, 663587S, 663589O, 663599N, 663601E, con lati formati da primi gemelli consecutivi, senza altri primi tra il minimo e il massimo dei numeri (Harry J. Smith, 1990).

Bibliografia

  • Dewdney, A.K.;  "An odd journey along even roads leads to home in Golygon City" in Scientific American, n. 263, 1990, pag. 118 – 121.
  • Dewdney, A.K.;  "Passeggiando per Città dei Goligoni" in Le Scienze, n. 265, settembre 1990, pag. 82 – 86.
  • Gardner, Martin;  Guy, Richard K.;  Knuth, Donald Ervin;  Sallows, Lee;  "Serial isogons of 90 degrees" in Mathematics Magazine, n. 64 (5), 1991, pag. 315 – 324.

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