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Göbel (numeri di)

Sequenze 

F. Göbel studiando la ricorrenza a0 = 1, Formula per la ricorrenza di Göbel per n > 0, calcolò i primi termini: a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 10, a5 = 28, a6 = 154, a7 = 3520, a8 = 1551880, a9 = 267593772160, a10 = 7160642690122633501504, e notò che sono interi, ma non vide una ragione ovvia per la quale debbano esserlo tutti. Infatti non sono tutti interi: Hendrik Lenstra dimostrò che il primo non intero è a43, circa 5.4093 • 10178485291567; un numero talmente grande che stampato occuperebbe un’intera biblioteca e che è maggiore del numero stimato di particelle nell’intero universo.

 

Inumeri della sequenza sono detti“numeri di Göbel”.

 

Asintoticamente an tende a Formula per la crescita asintotica dei termini della ricorrenza, dove C vale circa 1.0478314476.

Qui trovate le prime 108 cifre decimali della costante (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Se al posto dei quadrati si utilizzano altre potenze nella somma, il comportamento della sequenza è analogo; utilizzando le prime potenze la sequenza è poco interessante, perché dopo il primo termine è formata da una sequenza infinita di 2; con i cubi si ottengono interi fino a a89.

 

La sequenza degli indici del primo termine non intero, per potenze a partire dalla seconda è: 43, 89, 97, 214, 19, 239, 37, 79, 83, 239, 31, 431, 19, 79, 23, 827, 43, 173, 31, 103, 94, 73, 19, 243, 141, 101, 53, 811, 47, 1077, 19, 251, 29, 311, 134, 71, 23, 86, 43, 47, 19, 419, 31, 191, 83, 337, 59, 1559, 19, 127, 109, 163, 67, 353, 83, 191, 83, 107, 19, 503.

L’evidenza sperimentale suggerisce che per ogni esponente maggiore di uno la sequenza sia costituita da un numero finito di elementi interi, seguiti da infiniti numeri razionali.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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