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Giuga (numeri di)

Teoria dei numeri 

Il nome è legato alla congettura di Giuga, secondo la quale Formula per la congettura di Giuga se e solo se n è primo.

Se l’esponente n – 1 nella somma viene sostituito con φ(n), la congruenza resta soddisfatta da tutti i primi, ma anche da alcuni numeri composti, detti “numeri di Giuga”, che sono quindi gli interi composti n tali che Formula per la definizione dei numeri di Giuga; per esempio, φ(30) = 8, 18 + 28 + ... + 298 = 1873518665999, e 1873518665999 diviso 30 dà resto 29.

 

Se esistesse un numero di Giuga n che sia anche un numero di Carmichael, avremmo una controesempio alla congettura di Giuga; nessun numero del genere è noto e gli esperti dubitano esista.

 

Giuseppe Giuga dimostrò che un intero n è un numero di Giuga se e solo se Formula equivalente per la definizione dei numeri di Giuga è un intero; per esempio, Espressione che dimostra che 30 è un numero di Giuga.

La differenza è 1 per tutti i numeri di Giuga noti; se ne esiste uno con differenza maggiore, ha almeno 59 fattori primi.

I numeri di Giuga non possono essere multipli di quadrati e quindi per essi la differenza si riduce a Formula equivalente per la definizione dei numeri di Giuga.

 

Un intero n è un numero di Giuga se e solo se ogni suo fattore primo p divide Formula equivalente per la definizione dei numeri di Giuga. Per esempio, 30 è un numero di Giuga perché ha fattori primi 2, 3 e 5 e 2 divide Espressione per verificare che 30 è un numero di Giuga, 3 divide Espressione per verificare che 30 è un numero di Giuga, 5 divide Espressione per verificare che 30 è un numero di Giuga.

 

I numeri di Giuga non possono essere semiprimi.

 

Un intero n è un numero di Giuga se e solo se nBφ(n) ≡ –1 mod n, dove Bφ(n) è il numero di Bernoulli che ha per indice φ(n); per esempio, Espressione per verificare che 30 è un numero di Giuga. Questo deriva dall’equivalenza tra la congettura di Giuga e quella di Agoh

 

Paolo Pietro Lava propose nel 2009 la congettura che i numeri di Giuga siano le uniche soluzioni dell’equazione n’ = n + 1, dove n’ è la derivata aritmetica di n, ovvero, indicando la scomposizione in fattori primi di n come Scomposizione di n in fattori primi, i numeri di Giuga sarebbero le uniche soluzione dell’equazione Equazione soddisfatta dai numeri di Giuga.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Giuga noti.

Numero

Fattori primi

30

2, 3, 5

858

2, 3, 11, 13

1722

2, 3, 7, 41

66198

2, 3, 11, 17, 59

2214408306

2, 3, 11, 23, 31, 47057

24423128562

2, 3, 7, 43, 3041, 4447

432749205173838

2, 3, 7, 59, 163, 1381, 775807

14737133470010574

2, 3, 7, 71, 103, 67213, 713863

550843391309130318

2, 3, 7, 71, 103, 61559, 29133437

244197000982499715087866346

2, 3, 11, 23, 31, 47137, 28282147, 3892535183

554079914617070801288578559178

2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2259696349, 110725121051

1910667181420507984555759916338506 (M. Hogan e C. Mangilin)

2, 3, 7, 43, 1831, 138683, 2861051, 1456230512169437

4200017949707747062038711509670656632404195753751630609228764416142557211582098432545190323474818 (R. Girgensohn)

2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2217342227, 1729101023519, 8491659218261819498490029296021, 58254480569119734123541298976556403

 

Non esistono altri numeri di Giuga con meno di 9 fattori primi; potrebbero essercene altri tra il penultimo e l’ultimo.

Non è noto se siano infiniti, né se ne esistano di dispari; se ve ne sono, hanno almeno 14 fattori primi.

Vedi anche

Congettura di Giuga.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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