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Icosaedrici centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri icosaedrici centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un icosaedro centrato, cioè un icosaedro che ne contiene uno con spigolo ridotto di un’unità, che a sua volta ne contiene uno con spigolo ridotto di un’altra unità ecc., tutti con facce che sono triangoli, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri incosaedrici centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici centrati.

 

L’n-esimo numero icosaedrico centrato è dato da Formula per i numeri icosaedrici centrati.

 

Ogni numero icosaedrico centrato può essere espresso come somma di 20 numeri tetraedrici: In = Tn + 9Tn – 1 + 9Tn – 2. + Tn – 3.

 

Per le somme dei numeri icosaedrici centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri icosaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri icosaedrici centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri icosaedrici centrati è Funzione generatrice dei numeri icosaedrici centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri icosaedrici centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri icosaedrici centrati.

n

In

1

1

2

13

3

55

4

147

5

309

6

561

7

923

8

1415

9

2057

10

2869

11

3871

12

5083

13

6525

14

8217

15

10179

16

12431

17

14993

18

17885

19

21127

20

24739

 

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 15 numeri icosaedrici centrati; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 9 numeri icosaedrici centrati, ma probabilmente ne bastano 6.

Sembrano esserci 10261 interi non rappresentabili come somma di 6 numeri icosaedrici centrati, il massimo dei quali è 947343; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 51 = 3 • 13 + 12 • 1 richiede 15 addendi, solo 38, e 50 ne richiedono 14, solo 25, 37, 49, 103 e 145 ne richiedono 13.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 6 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri icosaedrici centrati differenti sono in tutto 11698, da 2 a 38993.

 

Per numeri icosaedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero icosaedrico centrato è primo.

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