Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Dodecaedrici centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri dodecaedrici centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un dodecaedro centrato, cioè un dodecaedro, che ne contiene un altro con spigolo ridotto di un’unità, che a sua volta ne contiene uno con spigolo ridotto di un’altra unità ecc., tutti con facce che sono pentagoni centrati, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri dodecaedrici centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici centrati.

 

L’n-esimo numero dodecaedrico centrato è dato da Dn = (2n – 1)(5n2 – 5n + 1).

 

Ogni numero dodecaedrico centrato può essere espresso come somma di 60 numeri tetraedrici: Dn = Tn + 29Tn – 1 + 29Tn – 2 + Tn – 3.

 

Per le somme dei numeri dodecaedrici centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma dei cubi dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri dodecaedrici centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri dodecaedrici centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri dodecaedrici centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri dodecaedrici centrati.

n

Dn

1

1

2

33

3

155

4

427

5

909

6

1661

7

2743

8

4215

9

6137

10

8569

11

11571

12

15203

13

19525

14

24597

15

30479

16

37231

17

44913

18

53585

19

63307

20

74139

 

Sembrano esserci 407427 interi positivi non rappresentabili come somma di 6 numeri dodecaedrici centrati, il massimo dei quali è 28748649; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 131 = 3 • 33 + 32 • 1 richiede 35 addendi, solo 98 e 130 ne richiedono 34, solo 65, 97 e 129 ne richiedono 33.

Ne bastano sicuramente 9 per numeri abbastanza grandi, probabilmente ne bastano 6.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 6 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (4.2 Mbyte).

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri dodecaedrici centrati differenti sono in tutto 83885, da 2 a 262536.

 

Per numeri dodecaedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero dodecaedrico centrato è primo.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.