Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Tetraedrici centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri tetraedrici centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un tetraedro centrato, cioè una piramide a base triangolare, che ne contiene una con spigolo ridotto di un’unità, che a sua volta ne contiene una con spigolo ridotto di un’altra unità ecc., come mostra la figura.

 

Raffigurazione dei numeri tetraedrici centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici centrati.

 

L’n-esimo numero tetraedrico centrato è dato da Formula per i numeri tetraedrici centrati.

 

Ogni numero tetraedrico centrato si può esprimere come somma di 4 numeri tetraedrici:  Tn = Tn + Tn – 1 + Tn – 2 + Tn – 3.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri tetraedrici centrati:

Tn + 1 = Tn + 2n2 + 2;

Formula per il calcolo dei numeri tetraedrici centrati.

 

Per le somme dei numeri tetraedrici centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri tetraedrici centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri tetraedrici centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei tetraedrici centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei tetraedrici centrati.

 

La tabella seguente riporta i numeri tetraedrici centrati fino a T20.

n

Tn

1

1

2

5

3

15

4

35

5

69

6

121

7

195

8

295

9

425

10

589

11

791

12

1035

13

1325

14

1665

15

2059

16

2511

17

3025

18

3605

19

4255

20

4979

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 8 numeri tetraedrici centrati; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 9 numeri tetraedrici centrati, ma probabilmente ne bastano 5.

Sembrano esserci 5054 interi non rappresentabili come somma di 5 numeri tetraedrici centrati, il massimo dei quali è 18575422; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 64, 98 e 118 richiedono 8 addendi, solo 29, 49, 59, 63, 83, 93, 97, 103, 113, 117, 165, 185, 219, 229, 239, 359, 377, 653, 783, 961, 1323, 3293 e 4893 ne richiedono 7.

Qui trovate gli interi positivi inferiori a 109 non rappresentabili come somma di 5 numeri tetraedrici centrati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri tetraedrici centrati differenti sono in tutto 666, da 2 a 3433.

Qui trovate gli interi positivi non rappresentabili come somma di numeri tetraedrici centrati differenti.

 

Per numeri tetraedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

L’unico numero tetraedrico centrato primo è T2 = 5.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.