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n’ e la “derivata aritmetica” di n, definita per i numeri naturali come segue:

  • 0’ = 1’ = 0;

  • se n è primo, n’ = 1;

  • se n = ab, con a e b maggiori di 1, n’ = ab + ab’.

Dalla definizione segue una regola per il calcolo: se Scomposizione di n in fattori primi è la scomposizione di n in fattori primi, con i vari pk primi diversi tra loro, allora Formula per il calcolo della derivata aritmetica di n.

 

La definizione fu formalizzata nel 1961 da E.J. Barbeau, che la estese ai numeri negativi come (–x)’ = (x’) e ai razionali, come Formula per la definizione della derivata aritmetica di numeri razionali.

 

Per i numeri primi vale una regola analoga a quella per le derivate di potenze: (pa)’ = apa – 1.

 

E.J. Barbeau dimostrò che per i numeri interi vale Limiti inferiore e superiore dei valori della derivata aritmetica, dove p è il minimo primo che divida n; le due diseguaglianze diventano uguaglianze se e solo se n è una potenza di 2.

Alexander Loiko, Jonas Olsson e Niklas Dahl dimostrarono che diseguaglianze analoghe sono impossibili per i numeri razionali, perché tra due di essi se ne trovano infiniti altri con valori della derivata aritmetica arbitrariamente grandi o piccoli.

 

Per le somme valgono i limiti Limite che coinvolge la derivata aritmetica e Limite che coinvolge la derivata aritmetica, dove Formula per la definizione di T.

 

La tabella seguente riporta la derivata aritmetica degli interi sino a 20.

n

n

0

0

1

0

2

1

3

1

4

4

5

1

6

5

7

1

8

12

9

6

10

7

11

1

12

16

13

1

14

9

15

8

16

32

17

1

18

21

19

1

20

24

 

Victor Ufnarovski e Bo Åhlander dimostrarono nel 2003 che la derivata aritmetica ha connessioni con alcune famose congetture sui numeri primi:

 

Gli unici valori minori di 1024 per i quali n’ = n sono 0, 4 e 27.

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