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Wilbraham – Gibbs (costante di)

Analisi 

Se approssimiamo con una serie di Fourier Approssimazione di una funzione tramite serie di Fourier una funzione f(x), definita nell’intervallo [–π .. π], con al più un numero finito di discontinuità, tutti “salti” finiti, di quanto l’approssimazione si discosterà dalla funzione?

Consideriamo per esempio un’onda quadra: l’approssimazione è data da Approssimazione di un'onda quadra tramite serie di Fourier; prima di ogni gradino la funzione ha un minimo e poco dopo il gradino un massimo; se m è la media dei valori della funzione (zero nell’esempio) e d è l’altezza del gradino (1 nell’esempio), l'ultimo minimo immediatamente prima del gradino e il primo massimo successivo dell’approssimazione tendono rispettivamente a Limite cui tende l'ultimo minimo prima del gradino e Limite cui tende il primo massimo dopo il gradino, dove G è la costante di Wilbraham – Gibbs (detta anche semplicemente “costante di Gibbs”).

La figura seguente mostra l’approssimazione (in rosso) di un’onda quadra (in blu), con una somma troncata ai primi 10 termini.

Grafico dell'approssimazione tramite serie di Fourier

Come si vede, in prossimità del salto l’approssimazione converge non a – 1 / 2 e 1 / 2, ma a – G / π e G / π. Questo fatto fu notato da Henry Wilbraham nel 1848 (ma il suo lavoro passò quasi inosservato) e Josiah Willard Gibbs nel 1899, poi M. Bôcher nel 1906 generalizzò il risultato, dimostrando che la relazione tra i limiti dei massimi e minimi dell’approssimazione e il valore della funzione vale per qualsiasi funzione. La costante quindi fornisce una misura di quanto siano alti i picchi in prossimità di un salto. All’aumentare del numero di termini della serie di Fourier utilizzati i picchi si avvicinano al bordo del gradino e divengono sempre più stretti, ma non tendono ad annullarsi, perché dipendono intrinsecamente dai limiti dell’approssimazione di salti discreti tramite funzioni continue.

 

La costante è uguale a Valore della costante di Wilbraham – Gibbs.

Qui trovate le prime 1024 cifre decimali della costante (Simon Plouffe).

 

In generale l’n-esimo estremo prima e dopo il gradino tende rispettivamente a Valore cui tende l’n-esimo estremo prima del gradino e Valore cui tende l’n-esimo estremo dopo il gradino.

 

Altri Autori chiamano “costante di Gibbs” il valore Valore cui tende l’n-esimo estremo dopo il gradino.

 

Un fenomeno analogo si verifica con altre approssimazioni, come spline, wavelet e approssimazioni di Padé: in ciascun caso esiste una costante analoga.

 

Le serie di Fourier costituiscono la miglior approssimazione alla funzione nel senso dei minimi quadrati; utilizzando invece altri polinomi trigonometrici, che minimizzano la distanza tra funzione e approssimazione (in pratica, l’area complessiva delle parti comprese tra la funzione e la sua approssimazione), E. Moskona, P. Petrushev e E.B. Saff dimostrarono nel 1995 che esiste una costante analoga alla costante di Gibbs, uguale a Valore analogo alla costante di Wilbraham – Gibbs nel caso di polinomi trigonometrici, dove g è il massimo per x > 1 della funzione Funzione per la definizione di g e vale circa 0.0657838882.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante di Wilbraham – Gibbs.

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