Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Genocchi di prima specie (numeri di)

Matematica combinatoria 

Sono chiamati “numeri di Genocchi di prima specie” i coefficienti Gk definiti dalla funzione generatrice Funzione generatrice dei numeri di Genocchi di prima specie, analoga a quelle che definiscono i numeri di Bernoulli e di Eulero.

Sono così chiamati in onore del matematico italiano Angelo Genocchi (Piacenza, 5/3/1817 – Torino, 7/31889).

 

Con l’eccezione di G1 = –1, i numeri di indice dispari sono nulli.

Alcune formule che coinvolgono i numeri di Genocchi di prima specie:

Formula per il calcolo dei numeri di Genocchi di prima specie, per n > 1;

Gn = 2(1 – 2n)Bn, per n > 1;

Gn = nEn – 1(0), dove En(x) è un polinomio di Eulero, per n > 1;

Formula che coinvolge i numeri di Genocchi di prima specie.

 

Domenique Dumont esaminò due tipi di permutazioni dei numeri naturali; le permutazioni di Dumont del primo tipo sono caratterizzate dalle seguenti proprietà:

  • ogni intero pari è seguito da uno minore;

  • ogni intero dispari è seguito da uno maggiore o chiude la sequenza.

Le permutazioni di Dumont del secondo tipo hanno invece le seguenti proprietà:

  • ogni numero di posto m pari è inferiore a m;

  • ogni numero di posto m dispari è non inferiore a m.

Dumont dimostrò che il numero di permutazioni dei due tipi degli interi da 0 a 2n – 2 è uguale al valore assoluto di G2n.

Per esempio, vi sono 17 permutazioni di Dumont del primo tipo degli interi da 1 a 6:

  • { 2, 1, 4, 3, 6, 5 },

  • { 2, 1, 5, 6, 4, 3 },

  • { 2, 1, 6, 4, 3, 5 },

  • { 3, 4, 2, 1, 6, 5 },

  • { 3, 5, 6, 4, 2, 1 },

  • { 3, 6, 4, 2, 1, 5 },

  • { 4, 2, 1, 3, 6, 5 },

  • { 4, 2, 1, 5, 6, 3 },

  • { 4, 2, 1, 6, 3, 5 },

  • { 4, 3, 5, 6, 2, 1 },

  • { 4, 3, 6, 2, 1, 5 },

  • { 5, 6, 2, 1, 4, 3 },

  • { 5, 6, 3, 4, 2, 1 },

  • { 5, 6, 4, 2, 1, 3 },

  • { 6, 2, 1, 4, 3, 5 },

  • { 6, 3, 4, 2, 1, 5 },

  • { 6, 4, 2, 1, 3, 5 }.

Anche le permutazioni di Dumont del secondo tipo degli interi da 1 a 6 sono 17:

  • { 4, 1, 5, 2, 6, 3 },

  • { 3, 1, 5, 2, 6, 4 },

  • { 5, 1, 4, 2, 6, 3 },

  • { 3, 1, 4, 2, 6, 5 },

  • { 5, 1, 3, 2, 6, 4 },

  • { 4, 1, 3, 2, 6, 5 },

  • { 4, 1, 5, 3, 6, 2 },

  • { 2, 1, 5, 3, 6, 4 },

  • { 5, 1, 4, 3, 6, 2 },

  • { 2, 1, 4, 3, 6, 5 },

  • { 4, 1, 6, 2, 5, 3 },

  • { 3, 1, 6, 2, 5, 4 },

  • { 6, 1, 4, 2, 5, 3 },

  • { 6, 1, 3, 2, 5, 4 },

  • { 4, 1, 6, 3, 5, 2 },

  • { 2, 1, 6, 3, 5, 4 },

  • { 6, 1, 4, 3, 5, 2 }.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Genocchi di prima specie diversi da zero fino a G20.

n

Gn

1

1

2

–1

4

1

6

–3

8

17

10

–155

12

2073

14

–38227

16

929569

18

–28820619

20

1109652905

 

D. Terr dimostrò nel 2004 che –3 e 17 sono gli unici primi, in valore assoluto.

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol II, 1999.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.