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Gelfond (costante di)

Algebra 

Si chiama “costante di Gelfond” il numero eπ ≈ 23.1406926328, che è trascendente in virtù del dal teorema di Aleksandr Gelfond (24/10/1906 – 7/11/1968), che afferma che ab è trascendente se a è algebrico e diverso da 0 e 1 e b è algebrico irrazionale. Infatti, Costante di Gelfond espressa come numero algebrico elevato a potenza irrazionale e i è algebrico, ma irrazionale.

La costante puo essere calcolata con la ricorrenza Valore di k(0), Ricorrenza per il calcolo della costante di Gelfond, utilizzando l’approssimazione Approssimazione della costante di Gelfond, che converge molto rapidamente a eπ.

 

Una curioso legame unisce la costante alle ipersfere a n dimensioni: il volume di una sfera a n dimensioni di raggio unitario è infatti Formula per il volume di una sfera a n dimensioni di raggio unitario; la somma di tali volumi su tutte le sfere di dimensione pari dà la costante di Gelfond: Costante di Gelfond come somma di volumi.

Anche la somma dei volumi delle sfere di dimensione dispari è legata alla costante di Gelfond, ma in modo lievemente più complesso: Serie legata alla costante di Gelfond. Pertanto Serie legata alla costante di Gelfond.

Queste somme non hanno naturalmente alcun senso geometrico (sono somme di entità di dimensioni diverse), ma vanno intese in senso puramente analitico.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Una curiosa approssimazione è π + 20, che dà 4 cifre decimali corrette.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

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