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Gauss – Kuzmin – Wirsing (costante di)

Analisi  Probabilità e statistica 

Supponiamo di scegliere un numero reale x a caso tra 0 e 1 e di rappresentarlo come frazione continua semplice Rappresentazione di x come frazione continua; definiamo quindi Definizione di x(n) tramite una frazione continua. I vari xn sono compresi tra 0 e 1 e danno in un certo senso una misura della bontà dell’approssimazione ottenuta troncando lo sviluppo della frazione continua.

 

Nel 1812 Gauss esaminò la funzione di distribuzione F(n, x), definita come la probabilità che xn < x, ritenendo d’aver provato che il limite, al crescere di n, è Limite della probabilità che x(n) < x al crescere di n. Solo nel 1928 apparve una dimostrazione corretta, dovuta a R. Kuzmin, poi nel 1974. E. Wirsing stabilì che Limite dimostrato da Wirsing, dove Ψ(x) è una funzione analitica che si annulla per x = 0 e x = 1 e λ ≈ –0.3036630029. Quattro anni dopo K. I. Limite dimostrato da Babenko stabilì che Limite dimostrato da Wirsing, dove le varie Ψk(x) sono funzioni definite come autovalori di un operatore in uno spazio di funzioni.

 

Il valore assoluto della costante λ si chiama “costante di Gauss – Kuzmin – Wirsing”.

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante.

Qui trovate le prime 380 cifre decimali di λ (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella riporta i record nel calcolo di questa costante.

Cifre

Autori

Anno

20

E. Wirsing

1974

30

P. Flajolet e B. Vallée

1995

40

J. Hershberger

1997

100

P. Sebah

2000

468

Keith Briggs

2003

 

Vedi anche

Frazioni continue.

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