Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Le frazioni sono rappresentazioni di numeri razionali nella forma Rappresentazione di un numero razionale come frazione, con m e n interi positivi.

 

Una frazione si dice:

  • “propria” se minore di uno, cioè se m < n;

  • “impropria” se maggiore di uno, cioè se m > n;

  • “apparente”, se rappresenta un intero, ossia se m = kn per un intero k.

 

Convertendo una frazione ridotta ai minimi termini in notazione decimale, quale che sia la base della rappresentazione si ottiene:

  • un numero finito, se tutti i fattori primi del denominatore dividono la base,

  • un numero periodico in caso contrario.

La lunghezza del periodo dipende dalla base b e dal denominatore n ed è il minimo intero r tale che br – 1 sia multiplo di n. In particolare r divide λ(n), dove λ(n) è la funzione di Carmichael.

 

In genere se p è primo, la lunghezza del periodo di Reciproco del quadrato di p è p volte la lunghezza del periodo di Reciproco di p; gli unici primi noti per i quali ciò non accada sono 3, 487 e 56598313, ovvero gli unici primi noti tali che 10p – 1 ≡ 1 mod p2 (v. primi di Wieferich). Se ve ne sono altri, sono maggiori di 3.4 • 1013.

 

Fissato un intero n maggiore di 1, la somma delle frazioni 1 / (p * q) con p e q primi tra loro, 0 < p < qn e p + q > n è 1 / 2. Per esempio, per n = 10 abbiamo Somma di frazioni uguale a 1 / 2.

Bibliografia

  • Winkler, Peter;  Mathematical Puzzles, Wellesley, A.K. Peters Ltd., 2004.

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