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Socievoli (numeri)

Teoria dei numeri 

Due o più numeri naturali si dicono “socievoli” se la somma dei divisori di ognuno (escluso il numero stesso) è uguale al successivo e la somma dei divisori dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) è uguale al primo, formando un ciclo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri socievoli sono una generalizzazione dei numeri perfetti, che formano cicli di ordine 1, e dei numeri amichevoli, che formano cicli di ordine 2; nonostante queste due categorie fossero note sin dall’antichità, la scoperta dell’esistenza di numeri socievoli è relativamente recente.

 

Nel 1907 Meissner suppose l’esistenza di cicli di ordine maggiore di 2, ma senza riuscire a trovarne uno.

 

I primi numeri socievoli, escludendo i numeri perfetti e amichevoli, noti dall’antichità, furono scoperti dal matematico belga Paul Poulet (1887 – 1946) che nel 1918 trovò il ciclo di numeri socievoli di ordine 5 (12496, 14288, 15472, 14536, 14264) e quello di ordine 28 (14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716), ancora oggi il più lungo mai trovato.

 

Altri cicli furono scoperti solo nel 1965 da K.D. Fryer, che trovò i cicli di ordine 4 (1264460, 1547860, 1727636, 1305184) e (2115324, 3317740, 3649556, 2797612) e da allora le scoperte si susseguirono velocemente.

 

Walter Borho trovò nel 1969 il ciclo di ordine 4: 28158165, 29902635, 30853845, 29971755, che è il minimo formato da numeri dispari, e da allora sono stati trovati oltre 200 altri cicli, esclusivamente tramite ricerche condotte con l’aiuto di elaboratori elettronici.

 

Walter Borho trovò nel 1972 una formula che permette in teoria di scoprire cicli di ordine 4: se a e b sono interi differenti, i 6 numeri Formula per p1, Formula per p2, Formula per p3, Formula per p4, Formula per r1Formula per r2 sono primi, p1 è diverso da p2, p3 è diverso da p4, p1 e p2 non dividono a, p3 e p4 non dividono b, r1 non divide a e r2 non divide b, allora i numeri ap1p2, ar1, bp3p4 e br2 formano un ciclo di ordine 4.

Non conosco però alcun ciclo che sia stato trovato grazie a queste formule: gli insiemi di 6 primi richiesti, se esistono, sono estremamente rari e potrebbero non esistere affatto.

 

Henri Cohen verificò tutti gli interi sotto 60000000, trovando in tutto sette cicli di ordine 4, tra i quali quello con i numeri minimi possibili: 1264460, 1547860, 1727636, 1305184.

 

Si conoscono cicli del genere con numero di elementi uguale a 1, 2, 4, 5, 6, 8, 4, 9 e 28, ma nessuno di 3 elementi, nonostante le ricerche siano state estese a tutti i possibili cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è inferiore a 5 • 1012, tanto che alcuni matematici sospettano che cicli del genere non esistano.

La tabella riporta il minimo numero noto per le varie lunghezze di ciclo.

Lunghezza dei ciclo

Numero cicli noti

Minimo numero

1

48

6

2

Circa 12000000

220

3

Nessuno

 

4

228

1264460

5

1

12496

6

5

21548919483

7

Nessuno

 

8

4

1095447416

9

1

805984760

28

1

14316

 

Non si conoscono cicli contenenti sia numeri pari che dispari, e anche per questi si dubita che esistano.

 

I cicli di lunghezza 4 composti da numeri minori di 109 sono:

  • 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 (K.D. Fryer );

  • 2115324, 3317740, 3649556, 2797612 (K.D. Fryer );

  • 2784580, 3265940, 3707572, 3370604 (Henri Cohen, 1970);

  • 4938136, 5753864, 5504056, 5423384 (Henri Cohen, 1970);

  • 7169104, 7538660, 8292568, 7520432 (Henri . Cohen, 1970);

  • 18048976, 20100368, 18914992, 19252208 (Henri Cohen, 1970);

  • 18656380, 20522060, 28630036, 24289964 (Henri Cohen, 1970);

  • 28158165, 29902635, 30853845, 29971755 (W. Borho, 1969);

  • 46722700, 56833172, 53718220, 59090084 (Henri Cohen, 1970);

  • 81128632, 91314968, 96389032, 91401368 (S.C. Root, 1972);

  • 174277820, 205718020, 262372988, 210967684 (S.C. Root, 1972);

  • 209524210, 246667790, 231439570, 230143790 (S.C. Root, 1972);

  • 330003580, 363003980, 399304420, 440004764 (S.C. Root, 1972);

  • 498215416, 506040584, 583014136, 510137384 (S.C. Root, 1972).

Qui trovate i cicli di lunghezza 4 noti.

 

I cicli di lunghezza 6 noti sono:

  • 21548919483, 23625285957, 24825443643, 26762383557, 25958284443, 23816997477 (David Moews e P.C. Moews, 1993);

  • 90632826380, 101889891700, 127527369100, 159713440756, 129092518924, 106246338676 (David Moews e P.C. Moews, 1993);

  • 1771417411016, 1851936384424, 2118923133656, 2426887897384, 2200652585816, 2024477041144 (Needham, 2006);

  • 3524434872392, 4483305479608, 4017343956392, 4574630214808, 4018261509992, 3890837171608 (Needham, 2006);

  • 4773123705616, 5826394399664, 5574013457296, 5454772780208, 5363145542992, 5091331952624 (Needham, 2006).

 

I cicli di lunghezza 8 noti sono:

  • 1095447416, 1259477224, 1156962296, 1330251784, 1221976136, 1127671864, 1245926216, 1213138984 (Akin Flammenkamp, 1991);

  • 1276254780, 2299401444, 3071310364, 2303482780, 2629903076, 2209210588, 2223459332, 1697298124 (Akin Flammenkamp, 1991);

  • 7914374573864, 8650595472376, 10411746556424, 9975530282296, 8742998984504, 8619257340616, 8922674399864, 8890420285336 (A. Needham, 2006);

  • 138344559911415, 150752214775305, 156933404745975, 184555138588425, 187273077168375, 202982671777545, 203423555666295, 168479018493705 (Dmitry Bodyagin).

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 9 è 805984760, 1268997640, 1803863720, 2308845400, 3059220620, 3367978564, 2525983930, 2301481286, 1611969514 (Akin Flammenkamp, 1991).

 

Il ciclo oggi conosciuto con i numeri maggiori è: 24604969601522730119812483081690177911114675451920256511530819984744010, 29380170319863500892339892502331399034100294620489917702058830906007990, 35082116418090090751430321709203100961767254346549696524874398302465610, 29380170319863500892339892502360608774950013665995101325117337838539190 (Karsten Blankenagel e W. Borho).

 

Per ogni valore di k, i numeri socievoli che formano cicli di lunghezza non superiore a k hanno densità asintotica nulla.

Non è noto se tutti i numeri socievoli abbiano densità asintotica nulla, tuttavia, Mitsuo Kobayashi e Paul Pollack dimostrarono nel 2009 che quelli pari hanno densità asintotica nulla.

 

Mitsuo Kobayashi, Paul Pollack e Carl Pomerance dimostrarono nel 2009 che i cicli di ordine fissato con interi inferiori a n sono meno di Limite superiore per il numero di cicli di ordine fissato di numeri socievoli inferiori a n, per n abbastanza grande; e che quelli che formano cicli di ordine fino a k sono meno di Limite superiore per il numero di cicli di ordine fino a k di numeri socievoli inferiori a n.

Paul Pollack dimostrò nel 2010 che i cicli di lunghezza dispari k fissata con interi inferiori a n sono meno di n / log(n).

Dato che oltre ai numeri perfetti e amichevoli, si conoscono relativamente pochi cicli, nonostante le ricerche fino oltre 1012, si tratta evidentemente ancora di due colossali sovrastime, almeno per i cicli di ordine maggiore di 2.

 

Cohen propose di chiamare “regolari” i cicli nei quali il massimo comun divisore dei numeri che formano il ciclo è divisore unitario di tutti i numeri. In altre parole sono regolari i cicli nei quali se pn divide tutti i numeri, nessuno è divisibile per una potenza superiore di p.

Con questa definizione Kobayashi, Pollack e Pomerance dimostrarono nel 2009 che il numero di cicli irregolari di ordine fissato con elementi minori di n è inferiore a Limite superiore per il numero di cicli irregolari di ordine fissato di numeri socievoli inferiori a n per n abbastanza grande e quelli di lunghezza non superiore a k sono meno di Limite superiore per il numero di cicli irregolari di ordine fino a k di numeri socievoli inferiori a n.

 

Si conoscono cicli sono formati da numeri non multipli di quadrati; il minimo è (209524210, 246667790, 231439570, 230143790) (S.C. Root, 1972) i questi casi i numeri sono anche socievoli unitari, bi-unitari, infinito-unitari ed esponenziali.

Qui trovate i cicli noti formati da numeri non multipli di quadrati.

 

Che succede in generale se s’inizia con un numero, si calcola la somma dei divisori e si itera, calcolando ogni volta la somma dei divisori dell’ultimo intero trovato?

Secondo la congettura di Catalan – Dickson si arriva sempre a 1 o a un numero perfetto o socievole. Per altre informazioni v. congettura di Catalan – Dickson.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 22, giugno 1970, pag. 92 – 96.
  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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