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Lemniscata (costante della)

Geometria 

L’ellisse può essere definita come il luogo dei punti del piano tali che la somma delle loro distanze da due punti fissi, detti fuochi, sia costante.

Se sostituiamo il prodotto alla somma nella definizione e conveniamo che tale prodotto sia a2, dove a è la distanza di ciascun fuoco dal centro, otteniamo la lemniscata di Bernoulli, mostrata nella figura seguente.

 

Grafico della lemniscata

 

 

Quando Bernoulli pubblicò un famoso articolo su di essa nel 1694 in Acta Eruditorum, non sapeva che è un caso particolare di ovale di Cassini, da questi descritti nel 1680.

In coordinate polari la sua equazione è r2 = 2a2cos2θ, in coordinate cartesiane l’equazione diventa (x2 + y2)2 = 2a2(x2y2), che ha per soluzione parametrica Equazione parametrica per la coordinata x della lemniscata, Equazione parametrica per la coordinata y della lemniscata.

 

L’area dei due lobi è a2 e la lunghezza dell’intera curva è Lunghezza della lemniscata; se a = 1 la lunghezza è Lunghezza della lemniscata per a = 1.

La metà della lunghezza, cioè circa 2.6220575543, corrispondente alla lunghezza di uno dei lobi, o un quarto, secondo altri Autori, viene chiamata “costante della lemniscata” o “prima costante della lemniscata” e gioca per la curva un ruolo analogo a quello di π per il cerchio.

Qui trovate le prime 5000 cifre decimali della costante della lemniscata (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il punto che biseca l’arco di lemniscata ha ascissa Ascissa del punto che biseca l’arco di lemniscata, ordinata Ordinata del punto che biseca l’arco di lemniscata e distanza dall’origine Distanza dall'origine del punto che biseca l’arco di lemniscata.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali dell'ascissa del punto di bisezione.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali dell'ordinata del punto di bisezione.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della distanza dall'origine del punto di bisezione.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante della lemniscata, delle coordinate del punto che biseca l’arco e della sua distanza dall’origine.

 

La lunghezza della lemniscata era stata trovata da Jacob Bernoulli 3 anni prima, risolvendo un problema di meccanica. Supponiamo di avere una barra flessibile, che viene piegata sino a quando le sue estremità sono orizzontali e separate verticalmente da una distanza l, come mostrato nella figura: quanto è lunga la barra?

 

Grafico della curva elastica

 

Bernoulli dimostrò che la lunghezza della curva, detta “curva elastica”, è Lunghezza della curva elastica e che la parte superiore della curva è descritta dall’equazione Equazione della curva elastica. Per a = l = 1 la lunghezza è metà della costante della lemniscata.

 

Gauss, che usava per questa costante il simbolo ῶ, dimostrò che è legata alla costante di Gauss M dalla relazione Relazione tra la costante della lemniscata e la costante di Gauss M.

 

Nel 1826 Abel dimostrò che si può dividere la lemniscata in n archi di uguale lunghezza con riga e compasso se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per primi di Fermat distinti, ossia negli stessi casi nei quali è possibile dividere la circonferenza in n archi di uguale lunghezza (v. numeri di Fermat).

David A. Cox e Jerry Shurman dimostrarono nel 2005 che si può dividere la lemniscata in n archi di uguale lunghezza con riga, compasso e trisettore se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 7 o della forma 4k + 1 (quindi escludendo 19, 163, 487, 1459 e 39367) (v. primi di Pierpont).

 

Alcune formule per il calcolo della costante:

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata (Lehmer 1948);

Formula per il calcolo della costante della lemniscata (B. Muckenhoupt, 1964);

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata;

Formula per il calcolo della costante della lemniscata.

 

T. Schneider dimostrò nel 1937 che ω̃ è un numero trascendente.

 

Se U(n) è il numero di primi non superiori a n che possono essere espressi come a2 + b4, con a e b interi, e V(n) il numero di interi esprimibili allo stesso modo, J. Friedlander e H. Iwaniec dimostrarono nel 1997 che Limite asintotico per il numero di primi non superiori a n che possono essere espressi come a^2 + b^4 e Limite asintotico per il numero di interi non superiori a n che possono essere espressi come a^2 + b^4.

Vedi anche

Costante di Gauss.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

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