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Laguerre (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Laguerre Ln(x) sono le soluzioni dell’equazione differenziale di Laguerre Equazione differenziale di Laguerre, con λ = 0.

 

Possono essere calcolati tramite la formula di Rodriguez Formula di Rodriguez per il calcolo dei polinomi di Laguerre, da cui Formula per il calcolo dei polinomi di Laguerre, o tramite la ricorrenza L0(x) = 1, L1(x) = –x + 1, Formula per il calcolo dei polinomi di Laguerre

 

Il polinomio di Laguerre Ln(x) è un polinomio di grado n a coefficienti razionali, con denominatore uguale a n!.

 

Alcune proprietà:

Ln(0) = 1;

Formula per il calcolo della derivata dei polinomi di Laguerre;

Formula che coinvolge le derivate dei polinomi di Laguerre;

Ln(x)2Ln + 1(x)Ln – 1(x) > 0, per x ≠ 0 (diseguaglianza di Turán);

Formula che coinvolge i polinomi di Laguerre;

Formula che coinvolge i polinomi di Laguerre, che converge se e solo se Parte reale di z maggiore di un mezzo e z ≠ –1.

 

Se una funzione f(x) può essere espressa come Espressione di una funzione come somma di polinomi di Laguerre, i coefficienti fn si ricavano come Formula per il calcolo dei coefficienti per l'espressione di una funzione come somma di polinomi di Laguerre e vale Condizione soddisfatta dai coefficienti.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Laguerre, ossia Funzione generatrice dei polinomi di Laguerre, per |t| < 1.

 

Alcuni integrali che coinvolgono polinomi di Laguerre:

Integrale che coinvolge i polinomi di Laguerre, dove il cammino di integrazione circonda l’origine, ma non il punto z = 1 ed è percorso in senso antiorario;

Integrale che coinvolge i polinomi di Laguerre;

Integrale che coinvolge i polinomi di Laguerre.

I polinomi di Laguerre sono ortogonali nell’intervallo [ 0 .. ∞ ), rispetto alla funzione di peso Funzione di peso per i polinomi di Laguerre, ossia Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Laguerre.

 

Al crescere di n, Ln(x) tende a Limite asintotico al crescere di n per i polinomi di Laguerre con argomento positivo e Ln(–x) tende a Limite asintotico al crescere di n per i polinomi di Laguerre con argomento negativo, per x > 0.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Laguerre.

 

Grafico dei primi polinomi di Laguerre 

 

 

La tabella seguente mostra i primi polinomi di Laguerre.

n

Ln(x)

0

1

1

x + 1

2

Polinomio di Laguerre L2(x)

3

Polinomio di Laguerre L3(x)

4

Polinomio di Laguerre L4(x)

5

Polinomio di Laguerre L5(x)

6

Polinomio di Laguerre L6(x)

7

Polinomio di Laguerre L7(x)

8

Polinomio di Laguerre L8(x)

9

Polinomio di Laguerre L9(x)

10

Polinomio di Laguerre L10(x)

11

Polinomio di Laguerre L11(x)

12

Polinomio di Laguerre L12(x)

13

Polinomio di Laguerre L13(x)

14

Polinomio di Laguerre L14(x)

15

Polinomio di Laguerre L15(x)

16

Polinomio di Laguerre L16(x)

17

Polinomio di Laguerre L17(x)

18

Polinomio di Laguerre L18(x)

19

Polinomio di Laguerre L19(x)

20

Polinomio di Laguerre L20(x)

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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