I numeri ottaedrici centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un ottaedro centrato, cioè un ottaedro che ne contiene uno con spigolo ridotto di un’unità, che a sua volta ne contiene uno con spigolo ridotto di un’altra unità ecc., come mostra la figura.
Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici centrati.
Si può anche realizzare la stessa figura tramite la costruzione di Haüy, che consiste nell’unire per la base due piramidi, costituite da strati di quadrati centrati; per questo questi numeri sono anche chiamati “numeri ottaedrici di Haüy”.
L’n-esimo numero ottaedrico centrato è dato da 
.
Ogni numero ottaedrico centrato può essere espresso come somma di 8 numeri tetraedrici: O’n = Tn + 3Tn – 1 + 3Tn – 2 + Tn – 3.
Ogni numero ottaedrico centrato può essere espresso come somma di 2 numeri ottaedrici: O’n = On + On – 1.
Per le somme dei numeri ottaedrici centrati e dei loro reciproci valgono le formule:
;
;
;
;
;
;
.
La funzione generatrice è 
e la funzione generatrice esponenziale è 
.
La tabella seguente mostra i primi 20 numeri ottaedrici centrati.
|
n |
O’n |
|
1 |
1 |
|
2 |
7 |
|
3 |
25 |
|
4 |
63 |
|
5 |
129 |
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6 |
231 |
|
7 |
377 |
|
8 |
575 |
|
9 |
833 |
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10 |
1159 |
|
11 |
1561 |
|
12 |
2047 |
|
13 |
2625 |
|
14 |
3303 |
|
15 |
4089 |
|
16 |
4991 |
|
17 |
6017 |
|
18 |
7175 |
|
19 |
8473 |
|
20 |
9919 |
Molto probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 9 numeri ottaedrici centrati; 9 addendi sono sicuramente sufficienti per numeri abbastanza grandi.
Dato che i numeri ottaedrici centrati divisi per 8 danno resto 1 o 7, servono sicuramente 4 addendi per i numeri della forma 8k + 4.
Sembrano esserci solo 239 interi non esprimibili come somma di 6 numeri ottaedrici centrati: 13, 19, 20, 31, 37, 38, 43, 44, 45, 49, 55, 56, 61, 62, 69, 81, 87, 93, 94, 99, 105, 106, 111, 112, 117, 118, 119, 123, 124, 149, 167, 171, 173, 174, 185, 209, 223, 227, 237, 251, 275, 293, 299, 300, 311, 317, 337, 339, 341, 349, 355, 373, 397, 415, 433, 439, 481, 485, 499, 543, 547, 555, 561, 565, 587, 631, 669, 687, 691, 749, 753, 773, 777, 785, 791, 795, 803, 851, 875, 907, 913, 941, 945, 981, 997, 1007, 1021, 1043, 1059, 1109, 1119, 1137, 1143, 1147, 1149, 1203, 1251, 1265, 1307, 1325, 1333, 1357, 1437, 1457, 1463, 1489, 1495, 1501, 1513, 1525, 1549, 1555, 1581, 1603, 1605, 1617, 1659, 1677, 1683, 1721, 1745, 1763, 1771, 1815, 1839, 1875, 1891, 1901, 1909, 1969, 1975, 2021, 2059, 2115, 2133, 2141, 2189, 2217, 2245, 2283, 2387, 2443, 2453, 2491, 2589, 2595, 2615, 2733, 2813, 2845, 2929, 2973, 2991, 2997, 3043, 3051, 3061, 3093, 3103, 3127, 3169, 3171, 3299, 3341, 3397, 3427, 3539, 3639, 3643, 3645, 3875, 3959, 4051, 4087, 4131, 4259, 4405, 4569, 4611, 4629, 4773, 4779, 4835, 4859, 4877, 4883, 4981, 5213, 5235, 5417, 5559, 5563, 5667, 5731, 5789, 5869, 5897, 5963, 5973, 5997, 6243, 6371, 6557, 6565, 6575, 6933, 7051, 7125, 7499, 7755, 8087, 8157, 8299, 9077, 9643, 9987, 10005, 10859, 10915, 10999, 11371, 11517, 11747, 11813, 12529, 12725, 13039, 13053, 13677, 13743, 14757, 15101, 15371, 15901, 16395, 17099, 20893, 22109, 22213. Se ve ne sono altri, sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2013).
Tra questi, solo 20, 38, 44, 56, 62, 94, 106, 112, 118, 124, 174 e 300 richiedono 8 addendi e solo 45 e 119 ne richiedono 9.
Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri ottaedrici centrati differenti sono in tutto 2568, da 2 a 10621.
Per numeri ottaedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.
L’unico numero ottaedrico centrato primo è O’2 = 7.