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Pentagonali centrati (numeri)

Numeri figurati 

Un numero naturale si dice pentagonale centrato se è il numero di palline che possono essere disposte a formare i lati di pentagoni via via più grandi, uno dentro l’altro, come quelli mostrati nella figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri pentagonali centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali centrati.

 

L’n-esimo numero pentagonale centrato è Formula per il calcolo dei numeri pentagonali centrati.

 

Ogni numero pentagonale centrato si può ottenere come somma di 5 numeri triangolari: Pn = Tn + 3Tn – 1 + Tn – 2.

 

Per le somme dei numeri pentagonali centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri pentagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri pentagonali centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri pentagonali centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri pentagonali centrati.

n

Pn

1

1

2

6

3

16

4

31

5

51

6

76

7

106

8

141

9

181

10

226

11

276

12

331

13

391

14

456

15

526

16

601

17

681

18

766

19

856

20

951

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 7 numeri pentagonali centrati; ne servono 7 per tutti (e soli) gli infiniti interi della forma 5k + 2, dove k non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari (per la dimostrazione v. numeri poligonali centrati).

 

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri pentagonali centrati differenti, tranne: 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 50, 55, 56, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 71, 72, 75, 78, 79, 80, 81, 84, 85, 86, 87, 90, 91, 94, 95, 96, 97, 100, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 125, 126, 131, 132, 135, 136, 139, 140, 145, 146, 151, 152, 155, 156, 161, 162, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 176, 177, 184, 185, 186, 190, 191, 196, 200, 201, 202, 206, 207, 216, 221, 222, 225, 231, 237, 241, 244, 251, 252, 259, 260, 261, 262, 266, 267, 272, 296, 297, 312, 317, 326, 342, 357, 366, 372, 387, 393, 402, 432, 447, 477 e 492.

 

Per numeri pentagonali centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera,  vi sono infiniti numeri pentagonali centrati primi; ve ne sono 1683 minori di 109, che trovate qui.

 

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