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Triangolari centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri triangolari centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a costituire triangoli uno intorno all’altro intorno a una pallina centrale, come mostra la figura.

Raffigurazione dei numeri triangolari centrati

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali centrati.

 

L’n-esimo numero triangolare centrato è la somma di 3 numeri triangolari consecutivi ed è dato da Formula per i numeri triangolari centrati.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri triangolari centrati.

Tn = Tn – 1 + 3n – 3;

Tn = 2Tn – 1 – 2Tn – 2 + 3;

Tn = Tn + Tn – 1 + Tn – 2 per n > 2, ossia ogni numero triangolare centrato maggiore di 10 è uguale alla somma di 3 numeri triangolari consecutivi;

Tn = 3Tn – 1 + T1 = 3Tn – 1 + 1;

Tn = Tn + (n – 1)2.

Tn = TnTn – 3, per n > 3, dove Tn è l’n-esimo numero tetraedrico.

Formula per il calcolo dei numeri triangolari centrati, dove P8(n) è l’n-esimo numero ottagonale centrato (v. numeri poligonali centrati);

Formula per il calcolo dei numeri triangolari centrati.

 

Per n > 1 l’n-esimo numero triangolare centrato è il resto della divisione di n2(n – 1)2 per n2 + (n – 1)2.

 

Per le somme dei numeri triangolari centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri triangolari centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri triangolari centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri triangolari centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri triangolari centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri triangolari;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri triangolari;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri triangolari centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri triangolari centrati è Funzione generatrice dei numeri triangolari centrati e in particolare Somma infinita che coinvolge i numeri triangolari centrati; la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri triangolari centrati.

 

La tabella seguente mostra i numeri triangolari centrati fino a T20.

n

Tn

1

1

2

4

3

10

4

19

5

31

6

46

7

64

8

85

9

109

10

136

11

166

12

199

13

235

14

274

15

316

16

361

17

409

18

460

19

514

20

571

 

Tn è pari se n diviso 4 dà resto 2 o 3.

Nessun numero triangolare centrato è multiplo di 3.

 

Tn è il numero di atomi di carbonio a distanza non maggiore di n volte quella di un legame da un atomo centrale in un reticolo di grafite.

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 5 numeri triangolari centrati; ne servono 5 per tutti (e soli) gli infiniti interi della forma 3k + 2, dove k non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari (per la dimostrazione v. numeri poligonali centrati).

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di numeri triangolari centrati distinti, tranne: 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 48, 49, 52, 53, 58, 59, 62, 63, 67, 71, 72, 73, 102, 103, 112, 122, 148, 157 e 158.

 

Per numeri triangolari centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti numeri triangolari centrati primi.

I numeri triangolari centrati primi minori di 105sono:

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589, 44119, 48871, 51061, 53299, 55009, 57331, 62119, 62731, 69661, 70309, 72271, 72931, 74929, 89671, 98689.

Qui trovate i numeri triangolari centrati primi minori di 109 (M. Fiorentini 2014).

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