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Pentagonali (numeri)

Numeri figurati 

Un numero naturale si dice pentagonale se è il numero di palline che possono essere disposte a formare i lati di pentagoni via via più grandi, ciascuno con un vertice e le palline adiacenti in comune col precedente, come quelli mostrati nella figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri pentagonali

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali.

 

L’n-esimo numero pentagonale è Formula per il calcolo dei numeri pentagonali.

 

Ogni numero pentagonale è un terzo di un numero triangolare: Formula per il calcolo dei numeri pentagonali.

 

Ogni numero pentagonale la somma del corrispondente quadrato e del numero triangolare precedente di ordine immediatamente inferiore: Pn = n2 + Tn – 1.

 

Ogni numero pentagonale la somma dell’indice e del triplo del numero triangolare di indice immediatamente inferiore: Pn = n + 3Tn – 1.

 

Ogni numero pentagonale si può ottenere come somma di 3 numeri triangolari: Pn = Tn + 2Tn – 1.

Inoltre Pn = 3Tn – 1 + n (F. Maurolycus, 1575).

 

Un intero positivo n è un numero pentagonale se e solo se Formula per determinare se un intero è un numero pentagonale è un intero.

 

Per le somme dei numeri pentagonali e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri pentagonali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri pentagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri pentagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri pentagonali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri pentagonali a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri pentagonali e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri pentagonali.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri pentagonali.

n

Pn

1

1

2

5

3

12

4

22

5

35

6

51

7

70

8

92

9

117

10

145

11

176

12

210

13

247

14

287

15

330

16

376

17

425

18

477

19

532

20

590

 

Per numeri pentagonali uguali alla somma di due numeri pentagonali v. numeri poligonali.

 

Cauchy dimostrò che ogni intero positivo si può esprimere come somma di 5 numeri pentagonali.

 

Probabilmente ve ne sono solo 210 non esprimibili come somma di 3 numeri pentagonali: 4, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 26, 30, 31, 33, 38, 42, 43, 50, 54, 55, 60, 65, 67, 77, 81, 84, 88, 89, 90, 96, 99, 100, 101, 111, 112, 113, 120, 125, 131, 135, 138, 142, 154, 159, 160, 166, 170, 171, 183, 195, 204, 205, 207, 217, 224, 225, 226, 229, 230, 236, 240, 241, 243, 255, 265, 275, 277, 286, 306, 308, 345, 346, 348, 359, 371, 375, 383, 395, 396, 402, 417, 418, 429, 436, 440, 441, 450, 453, 486, 491, 520, 523, 525, 536, 551, 558, 561, 573, 597, 615, 619, 631, 643, 648, 655, 680, 681, 690, 696, 701, 761, 810, 840, 843, 846, 890, 894, 905, 906, 951, 975, 985, 987, 1056, 1059, 1095, 1110, 1125, 1165, 1200, 1222, 1251, 1265, 1321, 1381, 1395, 1413, 1416, 1425, 1441, 1463, 1536, 1551, 1563, 1600, 1621, 1676, 1686, 1698, 1737, 1749, 1771, 1776, 1836, 1840, 1866, 1911, 1935, 1975, 2025, 2033, 2073, 2126, 2130, 2221, 2310, 2361, 2398, 2448, 2487, 2505, 2580, 2706, 2736, 2841, 2861, 2910, 2985, 2991, 3010, 3171, 3201, 3210, 3480, 3618, 3801, 3831, 3861, 3948, 4061, 4191, 4300, 4380, 4601, 4776, 4876, 5118, 5341, 5346, 5715, 5829, 6075, 6096, 6225, 6430, 6600, 8055, 8691, 10911, 15216, 18750, 20250, 33066.

 

Dickson dimostrò nel 1934 che gli unici interi che richiedano 5 addendi sono: 9, 21, 31, 43, 55 e 89.

 

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri pentagonali differenti, tranne: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 33, 37, 38, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 50, 54, 55, 59, 60, 61, 65, 66, 67, 72, 77, 80, 81, 84, 89, 94, 95, 96, 100, 101, 102, 107, 112, 116, 124, 136, 137, 141, 142, 147 e 159.

 

Esistono infiniti numeri pentagonali uguali alla somma di due numeri pentagonali, che possono essere trovati con l’identità Identità che coinvolge i numeri pentagonali. Per esempio, per n = 21 otteniamo P24 = P23 + P7, ossia 852 = 782 + 70.

 

La minima coppia di interi pentagonali tali che la loro somma e la loro differenza siano numeri pentagonali è formata da P2167 e P1020: P2167 + P1020 = P2345, P2167 + P1020 = P1912.

 

I minimi interi pentagonali uguali al prodotto di altri due numeri pentagonali maggiori di 1 sono: P87 = P2P39, P187 = P4P40 e P392 = P7P47.

 

Shoichi Hirose dimostrò nel 1981 che esistonono infiniti numeri pentagonali che sono contemporaneamente somma, differenza e prodotto di due numeri pentagonali maggiori di 1 (v. numeri poligonali): se an si ottiene dalla ricorrenza a0 = 4; a1 = 600912, an + 2 = 155234an + 1an – 25872 e bn dalla ricorrenza b0 = 1; b1 = 128115, bn + 2 = 155234bn + 1bn – 25872, allora Formula per un numero pentagonale che è somma, differenza e prodotto di due numeri pentagonali. Per esempio, per n = 0 abbiamo P1305325116409832791152601726155125914057892 = P945235429124361676351884008595091179145370 + P900224218213677787001794293900086837281305 = P3200406873798789718703484691143954592744992P2922110623903242786642312109305349845549775 = P4P278296249895546932061172581838604747195217.

 

Per qualsiasi coppia di interi positivi m e n vale l’identità Identità che coinvolge i numeri pentagonali.

 

Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 che un numero pentagonale maggiore di 1 non può essere una potenza con esponente maggiore di 2.

 

Per numeri pentagonali appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

L’unico numero pentagonale primo è P1 = 5.

Tabelle numeriche

I primi 1000 numeri pentagonali.

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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