Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Fortunati (numeri)

Sequenze  Vari 

Quattro ricercatori dei laboratori di Los Alamos: Gardiner, Lazarus, Metropolis e Stanislav M. Ulam proposero nel 1956 un’interessante variante sul tema del crivello di Eratostene, che nella sua forma originaria, è un metodo per “setacciare” i numeri primi, eliminando quelli composti.

 

Si inizia scrivendo i numeri naturali, da 2 al limite desiderato, diciamo 100:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100.

Il primo numero è 2, quindi si conta di 2 in 2, a partire da 2, cancellando i numeri toccati dal conteggio nell’elenco iniziale. Ecco cosa rimane (il grassetto evidenzia i numeri definitivamente conservati, il rosso quelli eliminati):

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100.

Il primo numero rimasto è 3: si conta allora di 3 in 3, a partire da 3, cancellando i numeri toccati dal conteggio, sempre nell’elenco iniziale. Ecco cosa rimane:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100.

Ora è 5 il primo numero rimasto; ripetendo la procedura otteniamo:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100.

Proseguendo allo stesso modo, i numeri composti “cadono” via via dal setaccio, lasciando i numeri primi:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.

Alcuni numeri vengono toccati più volte dal conteggio, ma dopo essere stati eliminati la prima volta non vengono più ripescati.

 

 

L'idea di Ulam e compagni è stata di modificare leggermente la procedura di eliminazione, includendo 1 tra i numeri iniziali ed eliminando un numero su n di quelli rimasti, a partire da 2. Il primo numero da considerare resta 2 e il passo ci lascia solo i numeri dispari, perché 1 ha sostituito 2 all'inizio della sequenza e 2, che è il secondo numero, è stato eliminato subito, con gli altri numeri pari.

Il primo numero rimasto è ora 3: eliminiamo allora un numero su 3 di quelli rimasti e rimaniamo con:

1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45 49 51 55 57 61 63 67 69 73 75 79 81 85 87 91 93 97 99.

Fino a questo punto abbiamo ottenuto lo stesso risultato della vecchia procedura, a parte lo scambio di 2 con 1. Ora però il primo numero da considerare è 7, quindi ora eliminiamo un numero su 7, non dai numeri originari (quindi non 14, 21, 28, 35 ...), bensì da quelli rimasti (quindi 19, 39, 61, 81 ...), restando con una sequenza molto diversa:

1 3 7 9 13 15 21 25 27 31 33 37 43 45 49 51 55 57 63 67 69 73 75 79 85 87 91 93 97 99.

Continuando allo stesso modo ci restano i numeri che Ulam definì “fortunati”:

1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 97 99.

 

Questi numeri hanno parecchie proprietà in comune coi numeri primi:

  • sono infiniti;

  • hanno la stessa densità (asintotica): il numero di interi fortunati minori di n tende a Limite asintotico per in numero di interi fortunati minori di n;

  • la distribuzione dei numeri fortunati “gemelli”, cioè che differiscono di 2, ha molta somiglianza con la distribuzione dei primi gemelli;

  • sembra valere una congettura analoga alla famosa congettura di Goldbach: ogni numero pari può essere espresso come somma di due numeri fortunati (verificata sino a 1010 da W. Schneider nel 2002);

  • i numeri fortunati delle forme 4n + 1 e 4n + 3 sono all’incirca altrettanto numerosi in ogni intervallo;

  • sembra valere una congettura analoga a una famosa sui numeri primi: per ogni intero n, esiste almeno un intero che può essere scomposto come somma di 2 numeri fortunati in n modi differenti. Nel caso dei numeri fortunati la congettura è stata verificata sino a n = 1769.

Successive ricerche hanno mostrato che queste e altre proprietà, che si ritenevano tipiche dei numeri primi, sono in realtà comuni a molte sequenze generate con analoghe procedure di “setaccio”.

Non si conosce però alcun procedimento ragionevolmente efficiente per determinare se un numero sia fortunato o meno.

Qui trovate i numeri fortunati fino a 107 (Hugo van der Sanden) (4.8 Mbyte).

 

Tra i numeri fortunati vi sono sia numeri composti, sia numeri primi, detti “primi fortunati”; si suppone che questi ultimi siano in numero infinito, ma non è stato dimostrato. Quelli minori di 1000 sono: 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997.

Qui trovate i numeri fortunati primi fino a 106 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Quindi 13 è davvero un numero fortunato!

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.