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Iperottaedrici (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri iperottaedrici

I numeri iperottaedrici sono i numeri di (iper)palline che formano un iperottaedro a d dimensioni; sono quindi numeri figurati.

 

Per d = 2 abbiamo i quadrati, per d = 3 i numeri ottaedrici.

 

Un iperottaedro a d dimensioni con n (iper)palline per spigolo è formato da Formula per i numeri iperottaedrici (iper)palline e in particolare:

  •  Formula per i numeri iperottaedrici a 2 dimensioni per quelli a 2 dimensioni (ossia quadrati);

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 3 dimensioni, per quelli a 3 dimensioni (ossia ottaedrici);

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 4 dimensioni, per quelli a 4 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 5 dimensioni, per quelli a 5 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 6 dimensioni, per quelli a 6 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 7 dimensioni, per quelli a 7 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 8 dimensioni, per quelli a 8 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 9 dimensioni, per quelli a 9 dimensioni;

  • Formula per i numeri iperottaedrici a 10 dimensioni, per quelli a 10 dimensioni.

 

Ogni numero iperottaedrico a d dimensioni può essere espresso come somma di d numeri ipertetraedrici a d dimensioni: Numero iperottaedrico a d dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici e in particolare:

  • Numero ottaedrico a 2 dimensioni come somma di numeri triangolari, per quelli a 2 dimensioni (ossia quadrati);

  • Numero ottaedrico a 3 dimensioni come somma di numeri tetraedrici, per quelli a 3 dimensioni (ossia ottaedrici);

  • Numero iperottaedrico a 4 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 4 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 5 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 5 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 6 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 6 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 7 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 7 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 8 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 8 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 9 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 9 dimensioni;

  • Numero iperottaedrico a 10 dimensioni come somma di numeri ipertetraedrici, per quelli a 10 dimensioni.

 

La somma di numeri iperottaedrici non è in generale esprimibile in modo semplice, ma lo sono i singoli casi:

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;

  • Formula per la somma di numeri iperottaedrici a 10 dimensioni.

 

La somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici e delle loro potenze non è in generale esprimibile in termini di funzioni elementari, tranne in alcuni casi:

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;
  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;
  • Somma dei reciproci dei cubi dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;
  • Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni;

 

La somma a segni alterni dei reciproci dei numeri iperottaedrici e delle loro potenze non è in generale esprimibile in termini di funzioni elementari, tranne in alcuni casi:

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni a segni alternati, e in generale Formula per la somma dei reciproci delle potenze dei numeri iperottaedrici a 2 dimensioni a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 3 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 4 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 5 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 6 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 7 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 8 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 9 dimensioni a segni alternati;

  • Somma dei reciproci dei numeri iperottaedrici a 10 dimensioni a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri iperottaedrici è funzione generatrice dei numeri iperottaedrici.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri iperottaedrici per n fino a 20 e d fino a 10.

n \ d

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

2

4

6

8

10

12

3

9

19

33

51

73

4

16

44

96

180

304

5

25

85

225

501

985

6

36

146

456

1182

2668

7

49

231

833

2471

6321

8

64

344

1408

4712

13504

9

81

489

2241

8361

26577

10

100

670

3400

14002

48940

11

121

891

4961

22363

85305

12

144

1156

7008

34332

142000

13

169

1469

9633

50973

227305

14

196

1834

12936

73542

351820

15

225

2255

17025

103503

528865

16

256

2736

22016

142544

774912

17

289

3281

28033

192593

1110049

18

324

3894

35208

255834

1558476

19

361

4579

43681

334723

2149033

20

400

5340

53600

432004

2915760

 

n \ d

7

8

9

10

1

1

1

1

1

2

14

16

18

20

3

99

129

163

201

4

476

704

996

1360

5

1765

2945

4645

7001

6

5418

10128

17718

29364

7

14407

29953

57799

104881

8

34232

78592

166344

329024

9

74313

187137

432073

927441

10

149830

411280

1030490

2390004

11

284075

845185

2286955

5707449

12

511380

1640640

4772780

12767184

13

880685

3032705

9446125

26986089

14

1459810

5373200

17852030

54284244

15

2340495

9173505

32398735

104535009

16

3644272

15158272

56730512

193664256

17

5529233

24331777

96220561

346615329

18

8197758

38058768

158611106

601446996

19

11905267

58161793

254831667

1014889769

20

16970060

87037120

400030580

1669752016

 

Per numeri iperottaedrici appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

I numeri iperottaedrici primi sono al più in numero finito per ogni numero di dimensioni; in particolare:

  • nessuno per i numeri a 2 dimensioni (ossia quadrati);

  • solo 19 per i numeri a 3 dimensioni (ossia ottaedrici);

  • nessuno per i numeri a 4 dimensioni;

  • nessuno per i numeri a 5 dimensioni;

  • solo 73 per i numeri a 6 dimensioni;

  • solo 14407 per i numeri a 7 dimensioni;

  • nessuno per i numeri a 8 dimensioni;

  • solo 163 e 432073 per i numeri a 9 dimensioni;

  • solo 7001 per i numeri a 10 dimensioni.

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