Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Piramidali (numeri) (II)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri piramidali

Secondo una mia congettura ogni intero positivo si può esprimere come somma di 8 numeri piramidali a 5 lati e di n + 2 numeri piramidali a n lati per n diverso da 5. Per interi abbastanza grandi ne bastano sicuramente 8, e probabilmente 4.

La tabella seguente riporta il numero di interi non rappresentabili come somma di 4 numeri piramidali e il massimo noto, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Numero di interi non rappresentabili come somma di 4 numeri piramidali

Massimo intero non rappresentabile come somma di 4 numeri piramidali

3

241 (v. numeri tetraedrici)

343867

4

5983 (v. numeri piramidali (I))

39606557

5

13613

19303640

6

88328

452221578

7

119286

727797403

8

1447986

9997640717

9

1226709

6360077008

10

774900

2644132615

 

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 5 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 6 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 7 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

Qui trovate gli interi minori di 107 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 8 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (5.8 Mbyte).

Qui trovate gli interi minori di 107 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 9 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (6.5 Mbyte).

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 numeri piramidali a 10 lati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (8.1 Mbyte).

 

La tabella seguente riporta il numero di interi che richiedono 5 addendi e il massimo noto, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Numero di interi che richiedono 5 addendi

Massimo intero che richiede 5 addendi

3

241

343867

4

5965

39606557

5

13507

19303640

6

88074

452221578

7

118778

727797403

8

1446939

19905213392

9

1224219

6360077008

10

772362

2644132615

 

La tabella seguente riporta il numero di interi che richiedono 6 addendi e il massimo noto, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Numero di interi che richiedono 6 addendi

Massimo intero che richiede 6 addendi

4

18

908

5

84

2595

6

229

34613

7

447

32485

8

993

123228

9

2137

135318

10

2149

113615

 

La tabella seguente riporta gli interi fino a 1000 che richiedono 5 addendi, per piramidi fino a 10 lati.

Lati

Interi che richiedono 5 addendi

3

17, 27, 33, 52, 73, 82, 83, 103, 107, 137, 153, 162, 217, 219, 227, 237, 247, 258, 268, 271, 282, 283, 302, 303, 313, 358, 383, 432, 437, 443, 447, 502, 548, 557, 558, 647, 662, 667, 709, 713, 718, 722, 842, 863, 898, 953

4

9, 13, 18, 22, 26, 39, 48, 51, 52, 64, 67, 68, 73, 76, 77, 80, 89, 103, 108, 109, 114, 117, 118, 128, 130, 132, 134, 137, 139, 144, 153, 157, 162, 163, 167, 178, 186, 191, 193, 194, 199, 203, 208, 216, 221, 222, 227, 229, 243, 247, 252, 254, 257, 258, 263, 268, 270, 271, 272, 276, 279, 283, 293, 298, 302, 306, 312, 331, 332, 333, 337, 338, 347, 348, 353, 356, 357, 360, 366, 373, 383, 389, 393, 394, 397, 398, 402, 412, 419, 424, 428, 433, 437, 447, 448, 451, 457, 458, 466, 473, 474, 479, 483, 487, 492, 501, 502, 505, 515, 523, 528, 543, 547, 552, 557, 559, 573, 577, 582, 583, 587, 588, 593, 606, 609, 615, 618, 623, 631, 636, 637, 638, 640, 654, 663, 668, 673, 687, 696, 697, 704, 709, 713, 717, 721, 722, 727, 728, 732, 744, 750, 753, 757, 758, 763, 764, 768, 773, 777, 778, 781, 782, 783, 799, 803, 808, 812, 817, 827, 836, 842, 844, 853, 857, 858, 867, 870, 871, 878, 890, 894, 899, 903, 907, 913, 917, 927, 942, 948, 953, 957, 958, 962, 967, 968, 971, 977, 980, 981, 992, 993, 998

5

5, 10, 15, 22, 27, 32, 39, 44, 49, 56, 61, 66, 71, 73, 79, 84, 89, 90, 96, 101, 106, 110, 113, 118, 123, 130, 135, 140, 147, 153, 158, 164, 170, 175, 179, 181, 187, 192, 200, 205, 210, 217, 218, 222, 227, 234, 235, 239, 244, 249, 251, 256, 261, 266, 268, 274, 279, 284, 286, 287, 297, 299, 302, 304, 305, 309, 314, 319, 321, 326, 331, 336, 338, 339, 343, 348, 350, 353, 356, 357, 359, 360, 366, 371, 372, 373, 376, 383, 385, 388, 390, 391, 395, 400, 419, 422, 427, 431, 434, 436, 440, 458, 461, 462, 465, 470, 471, 474, 475, 477, 479, 483, 493, 497, 500, 501, 505, 506, 509, 510, 512, 514, 517, 522, 527, 528, 534, 535, 539, 544, 547, 548, 554, 566, 579, 581, 584, 585, 598, 605, 618, 621, 623, 629, 633, 635, 638, 639, 640, 645, 653, 654, 655, 660, 662, 664, 667, 668, 672, 674, 679, 684, 687, 689, 690, 692, 696, 704, 707, 709, 710, 713, 715, 719, 721, 723, 724, 725, 730, 731, 735, 737, 741, 743, 749, 754, 759, 760, 761, 771, 776, 779, 781, 788, 789, 793, 795, 796, 799, 800, 805, 809, 814, 818, 823, 830, 831, 832, 833, 835, 848, 849, 855, 860, 863, 866, 867, 869, 875, 880, 883, 887, 897, 899, 900, 901, 902, 905, 906, 908, 909, 911, 915, 917, 920, 921, 926, 930, 935, 950, 952, 959, 969, 971, 975, 985, 986, 989, 992

6

5, 11, 17, 26, 32, 35, 38, 47, 54, 60, 68, 75, 78, 81, 87, 89, 93, 99, 105, 111, 115, 120, 121, 126, 130, 132, 136, 138, 141, 148, 154, 158, 160, 165, 166, 171, 173, 177, 179, 181, 186, 193, 194, 199, 201, 203, 207, 209, 214, 220, 222, 224, 226, 228, 232, 235, 239, 242, 246, 248, 249, 250, 265, 269, 271, 277, 280, 284, 287, 289, 291, 293, 295, 298, 299, 301, 305, 308, 312, 314, 317, 319, 320, 326, 332, 333, 337, 338, 340, 342, 343, 350, 357, 360, 362, 363, 365, 367, 368, 371, 377, 378, 382, 383, 385, 388, 392, 399, 400, 403, 405, 406, 409, 411, 425, 426, 428, 431, 434, 437, 440, 441, 448, 450, 452, 453, 454, 456, 458, 460, 461, 465, 471, 476, 477, 480, 482, 486, 488, 491, 493, 495, 497, 499, 501, 503, 507, 510, 514, 516, 519, 520, 523, 529, 531, 536, 538, 542, 544, 550, 552, 553, 557, 559, 564, 565, 568, 571, 572, 579, 580, 585, 587, 588, 592, 601, 607, 608, 610, 611, 613, 617, 618, 623, 630, 636, 639, 640, 641, 645, 648, 651, 654, 655, 656, 658, 660, 662, 667, 673, 676, 679, 682, 683, 684, 685, 689, 690, 691, 697, 698, 699, 702, 703, 707, 710, 714, 721, 725, 727, 728, 731, 733, 740, 742, 747, 748, 750, 753, 761, 764, 768, 770, 774, 776, 780, 783, 790, 793, 796, 798, 802, 804, 805, 808, 813, 819, 823, 825, 829, 830, 836, 838, 841, 842, 843, 845, 850, 852, 853, 856, 857, 858, 859, 862, 864, 866, 868, 870, 871, 874, 881, 885, 886, 887, 891, 895, 896, 900, 901, 902, 907, 909, 913, 915, 916, 918, 921, 923, 924, 928, 929, 930, 932, 935, 940, 943, 944, 950, 952, 956, 962, 963, 964, 973, 977, 979, 983, 984, 985, 987, 994, 995

7

5, 12, 19, 30, 33, 37, 40, 44, 51, 55, 58, 64, 71, 80, 85, 89, 92, 96, 103, 105, 110, 114, 119, 126, 130, 133, 137, 140, 144, 148, 151, 155, 158, 162, 164, 165, 169, 173, 178, 182, 185, 189, 192, 194, 200, 203, 207, 210, 214, 217, 219, 221, 225, 228, 233, 237, 241, 244, 247, 250, 251, 253, 254, 259, 262, 266, 269, 273, 275, 280, 284, 287, 292, 296, 299, 300, 303, 306, 314, 321, 326, 328, 333, 339, 340, 344, 347, 351, 354, 355, 358, 362, 364, 373, 378, 380, 385, 387, 389, 396, 398, 403, 406, 409, 410, 412, 413, 416, 421, 430, 433, 435, 437, 440, 442, 445, 446, 447, 451, 455, 461, 462, 467, 468, 470, 474, 476, 479, 481, 485, 487, 489, 492, 494, 496, 499, 501, 510, 514, 519, 521, 523, 526, 528, 535, 540, 544, 547, 548, 549, 551, 554, 557, 558, 559, 560, 566, 569, 574, 575, 578, 581, 582, 585, 591, 592, 593, 594, 595, 599, 601, 603, 604, 606, 610, 613, 615, 621, 626, 628, 630, 633, 635, 637, 640, 644, 649, 651, 656, 658, 663, 665, 670, 674, 681, 682, 683, 685, 688, 692, 695, 696, 699, 709, 710, 711, 715, 716, 717, 722, 724, 727, 728, 729, 730, 733, 735, 737, 740, 742, 744, 747, 749, 751, 752, 754, 758, 763, 770, 774, 777, 781, 783, 785, 788, 792, 795, 796, 799, 802, 806, 809, 810, 814, 817, 818, 819, 822, 823, 826, 829, 833, 835, 836, 839, 840, 844, 847, 851, 853, 854, 858, 861, 864, 865, 869, 873, 877, 885, 891, 892, 894, 895, 898, 899, 900, 903, 910, 916, 917, 919, 923, 926, 929, 930, 931, 934, 936, 943, 944, 947, 951, 959, 965, 970, 971, 975, 976, 977, 981, 983, 985, 988, 989, 991, 993, 999

8

5, 16, 27, 38, 47, 49, 58, 60, 69, 80, 89, 91, 100, 108, 111, 119, 122, 131, 142, 150, 152, 153, 161, 173, 183, 184, 192, 203, 211, 214, 215, 222, 231, 234, 242, 244, 245, 253, 262, 264, 273, 275, 276, 284, 293, 295, 304, 306, 314, 315, 323, 325, 335, 336, 337, 345, 346, 354, 360, 365, 367, 371, 376, 377, 382, 393, 396, 398, 402, 404, 407, 415, 417, 424, 426, 428, 435, 437, 438, 444, 446, 455, 457, 459, 463, 466, 468, 474, 477, 486, 497, 499, 505, 508, 516, 518, 520, 527, 528, 529, 538, 539, 547, 558, 560, 566, 571, 575, 577, 582, 586, 588, 589, 593, 597, 600, 606, 608, 613, 617, 619, 621, 624, 628, 630, 635, 639, 646, 648, 650, 655, 659, 661, 667, 669, 670, 674, 678, 680, 685, 689, 690, 697, 701, 707, 709, 711, 716, 720, 722, 727, 731, 737, 738, 739, 748, 751, 758, 762, 768, 770, 777, 779, 781, 786, 788, 790, 797, 799, 800, 808, 810, 812, 819, 821, 823, 829, 830, 832, 839, 840, 841, 852, 863, 871, 874, 878, 880, 882, 885, 889, 894, 896, 900, 901, 902, 905, 913, 916, 921, 922, 926, 927, 930, 931, 932, 937, 941, 948, 955, 958, 959, 961, 962, 963, 968, 972, 974, 979, 981, 983, 988, 990, 992, 997

9

5, 14, 23, 32, 38, 41, 47, 50, 56, 65, 71, 74, 84, 89, 93, 98, 104, 111, 113, 117, 120, 122, 126, 135, 137, 144, 146, 150, 159, 163, 168, 172, 177, 181, 183, 186, 192, 196, 201, 205, 210, 214, 216, 219, 225, 229, 234, 238, 242, 243, 247, 251, 256, 258, 260, 262, 265, 271, 275, 280, 284, 288, 289, 291, 297, 304, 306, 308, 313, 317, 322, 326, 331, 336, 337, 340, 350, 355, 358, 359, 364, 367, 369, 376, 379, 382, 383, 388, 392, 396, 401, 402, 405, 410, 412, 415, 425, 428, 429, 433, 434, 437, 442, 446, 448, 451, 457, 458, 461, 467, 471, 476, 480, 484, 485, 490, 494, 503, 504, 507, 508, 509, 512, 516, 521, 523, 530, 536, 540, 546, 550, 553, 554, 555, 556, 562, 569, 578, 579, 582, 587, 591, 596, 601, 602, 605, 611, 615, 621, 623, 628, 629, 630, 632, 637, 647, 648, 653, 657, 661, 664, 666, 670, 675, 677, 679, 680, 690, 694, 698, 699, 700, 703, 707, 712, 716, 722, 723, 725, 727, 732, 734, 736, 741, 745, 749, 750, 755, 758, 760, 765, 768, 769, 773, 774, 775, 777, 782, 786, 788, 791, 795, 801, 804, 806, 809, 811, 815, 819, 820, 824, 828, 833, 834, 843, 844, 848, 852, 856, 857, 861, 865, 866, 870, 876, 879, 880, 881, 889, 894, 898, 902, 903, 907, 909, 911, 912, 916, 918, 922, 926, 927, 931, 936, 940, 942, 945, 949, 955, 959, 964, 969, 972, 973, 977, 978, 981, 988, 990, 992, 997

10

5, 15, 25, 35, 42, 45, 52, 55, 62, 72, 79, 82, 89, 94, 99, 104, 109, 116, 124, 126, 131, 134, 136, 141, 151, 153, 161, 163, 168, 179, 183, 189, 190, 193, 199, 203, 205, 209, 216, 220, 226, 230, 236, 240, 242, 246, 253, 257, 263, 268, 272, 273, 278, 282, 288, 290, 292, 294, 298, 300, 305, 309, 315, 319, 325, 327, 335, 342, 345, 346, 353, 357, 363, 367, 371, 373, 379, 383, 390, 394, 398, 400, 404, 410, 414, 416, 424, 427, 431, 437, 442, 446, 450, 452, 453, 456, 462, 464, 468, 480, 483, 490, 493, 500, 503, 505, 510, 517, 520, 527, 531, 535, 537, 541, 547, 554, 557, 564, 569, 572, 574, 579, 582, 589, 591, 599, 601, 606, 609, 616, 620, 625, 626, 628, 635, 643, 654, 658, 661, 664, 668, 674, 679, 680, 684, 691, 695, 701, 704, 705, 712, 714, 716, 722, 728, 732, 738, 743, 749, 753, 759, 763, 765, 769, 780, 783, 786, 790, 793, 796, 801, 806, 811, 817, 821, 823, 828, 832, 833, 838, 842, 848, 854, 858, 860, 865, 869, 872, 875, 879, 886, 890, 891, 896, 900, 902, 906, 910, 912, 915, 917, 923, 925, 927, 933, 937, 942, 943, 955, 958, 960, 965, 968, 970, 975, 979, 985, 989, 992, 994, 995, 997

 

La tabella seguente riporta gli interi fino a 1000 che richiedono 6 addendi, per piramidi fino a 10 lati.

Lati

Interi che richiedono 6 addendi

4

23, 27, 53, 78, 81, 82, 158, 277, 284, 307, 361, 362, 367, 403, 488, 813, 872, 908

5

11, 16, 23, 28, 33, 45, 50, 57, 62, 67, 74, 85, 91, 97, 102, 107, 108, 114, 119, 124, 131, 136, 141, 148, 154, 159, 165, 171, 176, 182, 188, 193, 211, 223, 228, 240, 245, 257, 262, 267, 269, 275, 280, 285, 303, 315, 320, 337, 344, 349, 354, 361, 377, 389, 401, 476, 511, 515, 545, 673, 794, 836

6

6, 12, 18, 27, 33, 39, 42, 48, 55, 61, 69, 76, 82, 85, 90, 106, 112, 127, 128, 133, 137, 142, 143, 149, 155, 178, 180, 187, 188, 208, 210, 215, 216, 221, 223, 229, 231, 236, 243, 244, 251, 272, 294, 315, 321, 327, 334, 339, 341, 364, 384, 389, 390, 407, 410, 412, 432, 433, 455, 459, 462, 478, 487, 498, 500, 502, 521, 543, 545, 551, 560, 566, 573, 586, 593, 594, 595, 602, 609, 614, 615, 637, 652, 659, 661, 663, 680, 704, 705, 706, 711, 712, 713, 732, 734, 749, 754, 755, 762, 771, 775, 797, 820, 863, 875, 888, 892, 893, 903, 908, 914, 925, 931, 936, 937, 951, 957, 959, 965, 966, 980, 986

7

6, 13, 20, 31, 38, 41, 45, 48, 56, 59, 65, 66, 72, 81, 90, 93, 97, 100, 106, 111, 127, 134, 145, 152, 156, 159, 163, 166, 170, 174, 179, 186, 190, 195, 208, 211, 215, 218, 226, 229, 234, 242, 245, 252, 255, 260, 263, 267, 270, 276, 277, 279, 281, 285, 288, 293, 297, 301, 304, 307, 315, 322, 329, 341, 348, 352, 356, 359, 365, 366, 374, 381, 388, 390, 399, 404, 407, 411, 414, 415, 417, 422, 438, 441, 443, 448, 463, 469, 471, 477, 493, 495, 497, 500, 502, 511, 522, 527, 529, 536, 545, 552, 555, 561, 562, 570, 583, 586, 600, 607, 608, 609, 611, 612, 629, 634, 638, 641, 659, 664, 666, 675, 689, 690, 693, 718, 719, 725, 741, 743, 745, 748, 750, 753, 755, 756, 759, 771, 778, 782, 789, 797, 800, 803, 804, 807, 811, 830, 831, 834, 837, 845, 852, 855, 859, 862, 866, 870, 878, 886, 911, 918, 937, 945, 952, 978

8

6, 14, 22, 35, 38, 43, 46, 51, 54, 59, 64, 67, 75, 83, 93, 96, 104, 107, 112, 115, 117, 122, 128, 133, 152, 156, 157, 164, 173, 177, 178, 181, 185, 189, 191, 193, 198, 199, 202, 217, 218, 221, 222, 227, 229, 238, 239, 246, 252, 254, 256, 260, 268, 278, 282, 283, 286, 290, 294, 296, 298, 307, 313, 315, 323, 325, 327, 329, 334, 336, 337, 343, 344, 347, 348, 352, 355, 359, 363, 378, 386, 388, 390, 399, 408, 409, 416, 420, 422, 428, 430, 432, 439, 447, 449, 451, 457, 459, 468, 470, 477, 483, 485, 486, 490, 491, 497, 498, 512, 516, 520, 525, 527, 528, 537, 546, 548, 553, 554, 556, 565, 566, 577, 582, 584, 585, 590, 591, 593, 594, 616, 617, 623, 624, 633, 638, 646, 651, 653, 654, 659, 661, 662, 687, 688, 691, 692, 699, 701, 708, 712, 716, 718, 720, 722, 726, 727, 742, 743, 749, 752, 756, 757, 779, 786, 787, 791, 794, 817, 821, 823, 847, 848, 852, 860, 876, 878, 879, 882, 884, 887, 888, 890, 891, 892, 899, 917, 921, 928, 929, 947, 949, 951, 953, 955, 956, 957, 967, 978, 982, 986, 993, 995

9

6, 15, 24, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60, 66, 72, 75, 85, 94, 99, 105, 108, 118, 121, 123, 127, 130, 132, 138, 145, 147, 151, 154, 164, 169, 173, 178, 184, 187, 193, 197, 202, 206, 211, 215, 217, 220, 226, 230, 239, 244, 248, 252, 253, 259, 261, 263, 272, 281, 285, 290, 292, 294, 298, 299, 305, 307, 309, 314, 318, 323, 327, 332, 338, 341, 342, 351, 360, 365, 370, 371, 374, 377, 384, 386, 389, 393, 397, 398, 403, 406, 411, 413, 416, 417, 435, 438, 439, 443, 444, 447, 449, 452, 459, 462, 463, 468, 472, 477, 481, 482, 486, 491, 492, 495, 505, 513, 514, 517, 518, 519, 524, 526, 528, 531, 537, 538, 541, 547, 551, 557, 560, 563, 564, 565, 570, 572, 574, 583, 584, 588, 589, 592, 597, 603, 606, 616, 631, 633, 638, 639, 640, 642, 649, 662, 663, 667, 671, 674, 676, 681, 682, 685, 691, 695, 701, 708, 709, 710, 711, 713, 717, 728, 733, 737, 742, 744, 746, 751, 756, 757, 759, 761, 770, 778, 783, 787, 792, 796, 802, 803, 805, 807, 812, 816, 821, 822, 825, 829, 830, 835, 838, 845, 849, 853, 854, 855, 858, 862, 867, 868, 871, 877, 882, 899, 904, 913, 914, 917, 923, 928, 932, 937, 941, 943, 946, 950, 956, 960, 961, 974, 979, 982, 983, 989, 991, 993, 998

10

6, 16, 26, 36, 43, 46, 53, 56, 63, 66, 73, 80, 83, 95, 100, 105, 110, 117, 120, 127, 132, 135, 137, 142, 145, 147, 154, 162, 164, 169, 172, 174, 184, 194, 200, 201, 206, 210, 217, 221, 227, 228, 231, 237, 241, 243, 247, 254, 258, 264, 269, 274, 279, 280, 283, 284, 291, 293, 295, 299, 306, 310, 311, 316, 320, 326, 328, 330, 332, 336, 338, 343, 347, 354, 358, 364, 365, 368, 374, 380, 382, 384, 395, 401, 405, 409, 411, 417, 421, 425, 428, 432, 435, 436, 438, 443, 447, 448, 454, 457, 461, 463, 465, 469, 473, 475, 484, 491, 494, 501, 502, 504, 506, 511, 518, 521, 528, 532, 538, 540, 542, 543, 546, 548, 555, 558, 565, 570, 573, 575, 580, 583, 585, 592, 593, 595, 600, 607, 610, 612, 617, 621, 627, 629, 631, 636, 637, 639, 644, 646, 647, 655, 659, 665, 666, 669, 672, 675, 681, 685, 696, 699, 702, 706, 713, 715, 717, 718, 723, 725, 729, 733, 739, 744, 750, 751, 754, 760, 764, 766, 770, 774, 776, 781, 787, 791, 794, 797, 802, 803, 804, 807, 812, 818, 824, 829, 834, 839, 843, 844, 849, 855, 859, 861, 866, 870, 871, 873, 876, 880, 887, 892, 897, 898, 901, 907, 911, 913, 918, 924, 928, 929, 934, 936, 938, 940, 944, 948, 950, 956, 961, 962, 966, 969, 971, 976, 980, 981, 986, 996, 998

 

La tabella seguente riporta gli interi che richiedono 7 addendi, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Interi che richiedono 7 addendi

5

17, 29, 34, 51, 63, 68, 103, 109, 125, 137, 142, 149, 177, 183, 189, 194, 229, 263, 355

6

13, 19, 34, 40, 49, 56, 62, 70, 77, 83, 91, 92, 113, 134, 135, 156, 230, 237, 238, 616, 958

7

7, 14, 21, 39, 46, 49, 57, 67, 73, 74, 82, 91, 98, 101, 107, 108, 135, 153, 160, 171, 187, 216, 268, 271, 278, 286, 289, 294, 302, 305, 323, 330, 349, 357, 367, 375, 382, 391, 503, 537, 553, 563, 667, 779, 805, 808, 860, 863, 871, 1067

8

7, 15, 23, 44, 47, 52, 55, 65, 68, 76, 84, 94, 105, 113, 116, 123, 124, 126, 134, 182, 186, 187, 194, 203, 247, 248, 257, 269, 287, 299, 308, 316, 324, 326, 338, 353, 356, 357, 387, 417, 418, 429, 448, 458, 460, 469, 478, 479, 487, 521, 555, 557, 586, 647, 663, 717, 721, 958, 987, 1017, 1025, 1052, 1248, 1292, 1331, 2203, 2233, 2543

9

7, 16, 25, 43, 49, 52, 58, 61, 67, 73, 76, 86, 95, 106, 109, 119, 128, 131, 133, 139, 140, 142, 152, 174, 179, 188, 198, 203, 207, 212, 218, 221, 227, 231, 249, 254, 264, 273, 282, 293, 295, 319, 324, 328, 333, 339, 343, 352, 361, 372, 375, 385, 387, 394, 399, 404, 407, 408, 418, 445, 453, 469, 473, 478, 483, 487, 493, 496, 497, 515, 525, 527, 529, 539, 548, 558, 561, 571, 573, 593, 594, 598, 599, 604, 607, 608, 617, 618, 641, 650, 652, 672, 673, 683, 684, 718, 719, 729, 743, 747, 752, 762, 771, 793, 797, 817, 826, 831, 836, 837, 839, 863, 872, 883, 933, 938, 947, 948, 951, 957, 984, 994, 1008, 1013, 1017, 1023, 1027, 1037, 1059, 1069, 1083, 1087, 1092, 1096, 1102, 1105, 1111, 1115, 1129, 1137, 1138, 1148, 1183, 1217, 1227, 1337, 1353, 1357, 1436, 1469, 1473, 1482, 1491, 1492, 1552, 1603, 1613, 1655, 1692, 1701, 1734, 1738, 1739, 1757, 1799, 1813, 1817, 1818, 1859, 1901, 1911, 1920, 1938, 1957, 1966, 1967, 1971, 1981, 2013, 2017, 2022, 2055, 2065, 2068, 2078, 2087, 2157, 2166, 2199, 2203, 2222, 2278, 2282, 2287, 2297, 2324, 2339, 2343, 2353, 2403, 2408, 2418, 2483, 2529, 2543, 2552, 2557, 2562, 2567, 2604, 2631, 2664, 2668, 2711, 2771, 2808, 2813, 2823, 2832, 2883, 2887, 2892, 2902, 2929, 2933, 2938, 2948, 3037, 3152, 3153, 3157, 3167, 3190, 3227, 3278, 3288, 3352, 3357, 3417, 3422, 3432, 3492, 3501, 3511, 3516, 3538, 3543, 3553, 3562, 3613, 3618, 3622, 3655, 3742, 3743, 3753, 3771, 3772, 3804, 3809, 3814, 3817, 3818, 3874, 3957, 3971, 3981, 4008, 4018, 4083, 4093, 4139, 4237, 4339, 4358, 4367, 4567, 4604, 4637, 4646, 4679, 4716, 4725, 4748, 4758, 4823, 4832, 4902, 4953, 4963, 4972, 4981, 4990, 5023, 5102, 5111, 5223, 5437, 5688, 5842, 5889, 5907, 6438, 6457, 7667

10

7, 17, 27, 37, 47, 54, 57, 64, 67, 74, 81, 84, 96, 106, 111, 118, 121, 133, 138, 143, 146, 148, 155, 156, 158, 165, 170, 173, 185, 195, 207, 211, 212, 222, 232, 238, 239, 244, 248, 255, 259, 275, 285, 296, 307, 317, 318, 321, 322, 329, 331, 333, 337, 344, 348, 349, 359, 369, 370, 375, 376, 381, 385, 396, 406, 412, 418, 420, 422, 433, 439, 444, 449, 455, 458, 459, 466, 470, 472, 474, 485, 486, 495, 507, 512, 513, 522, 529, 533, 539, 544, 549, 551, 556, 559, 576, 581, 584, 586, 594, 596, 608, 611, 618, 622, 623, 630, 632, 633, 638, 645, 648, 650, 660, 670, 676, 677, 682, 683, 686, 697, 707, 724, 726, 734, 736, 737, 740, 745, 755, 756, 761, 762, 767, 771, 775, 792, 805, 808, 813, 814, 819, 825, 830, 835, 840, 841, 845, 850, 856, 862, 877, 881, 882, 893, 908, 909, 919, 930, 935, 939, 945, 947, 949, 951, 967, 972, 977, 982, 987, 988, 999, 1014, 1024, 1026, 1034, 1036, 1041, 1051, 1052, 1062, 1072, 1073, 1088, 1105, 1113, 1115, 1125, 1142, 1147, 1151, 1152, 1162, 1174, 1178, 1199, 1212, 1232, 1236, 1237, 1246, 1248, 1250, 1252, 1263, 1284, 1288, 1289, 1300, 1301, 1315, 1316, 1325, 1331, 1335, 1337, 1342, 1352, 1363, 1373, 1374, 1385, 1406, 1423, 1443, 1448, 1459, 1475, 1502, 1512, 1533, 1537, 1547, 1548, 1549, 1560, 1570, 1581, 1585, 1616, 1636, 1639, 1654, 1670, 1674, 1707, 1711, 1722, 1723, 1744, 1745, 1749, 1759, 1780, 1781, 1792, 1796, 1810, 1813, 1823, 1834, 1844, 1882, 1933, 1934, 1971, 1985, 1986, 2221, 2246, 2248, 2251, 2347, 2358, 2374, 2462, 2839, 2887, 2976, 3160, 3173, 3335, 3362, 3526, 3611, 3625, 3632, 3810, 4076, 4340, 5361, 5449

 

La tabella seguente riporta gli interi che richiedono 8 addendi, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Interi che richiedono 8 addendi

5

35, 69, 143

6

20, 41, 63, 84

7

15, 22, 47, 75, 83, 99, 109, 161, 331, 383

8

8, 16, 24, 53, 56, 77, 85, 95, 114, 125, 317, 488

9

8, 17, 26, 53, 59, 62, 77, 87, 96, 107, 129, 141, 143, 153, 208, 213, 222, 232, 283, 329, 353, 362, 373, 409, 419, 479, 549, 559, 651, 753, 763, 827, 873, 1018, 1028, 1093, 1103, 1139, 1149

10

8, 18, 28, 48, 58, 65, 68, 75, 85, 97, 107, 119, 122, 144, 149, 157, 159, 171, 196, 223, 233, 245, 249, 250, 260, 286, 297, 386, 387, 397, 407, 408, 419, 423, 434, 460, 471, 496, 497, 508, 523, 524, 534, 545, 550, 560, 562, 587, 597, 619, 634, 649, 671, 687, 688, 698, 735, 772, 773, 846, 851, 852, 857, 863, 920, 931, 946, 983, 1025, 1037, 1126, 1163, 1326, 1327, 1338, 1353, 1513, 1760

 

La tabella seguente riporta gli interi che richiedono più di 8 addendi, per piramidi fino a 10 lati; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 per le piramidi fino a 7 lati e di 3 • 1010 per quelle con 8 o più lati (M. Fiorentini, 2013).

Lati

Interi che richiedono 9 addendi

Interi che richiedono 10 addendi

Interi che richiedono 11 addendi

Interi che richiedono 12 addendi

7

23

 

 

 

8

17, 25, 86

26

 

 

9

9, 18, 27, 63, 97, 363

19, 28

29

 

10

9, 19, 29, 59, 69, 86, 108, 160, 234, 261, 561, 598

10, 20, 30, 70

21, 31

32

 

Per piramidi fino a 10 lati ho verificato che ogni intero positivo abbastanza grande può essere espresso come somma di numeri piramidali distinti con numero di lati fissato; probabilmente vale per qualsiasi numero di lati, ma non credo sia stato dimostrato.

La tabella seguente riporta il numero di interi non rappresentabili come somma di numeri piramidali differenti e il massimo, per piramidi fino a 10 lati.

Lati

Numero totale di interi non rappresentabili come somma di numeri piramidali differenti

Massimo intero non rappresentabili come somma di numeri piramidali differenti

3

112

558

4

306

1528

5

531

2266

6

888

3362

7

1383

5117

8

1686

6157

9

2538

9808

10

2986

9947

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 100 non rappresentabili come somma di numeri piramidali distinti, per piramidi fino a 10 lati.

Lati

Interi minori di 100 non rappresentabili come somma di numeri piramidali differenti

3

2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 58, 62, 63, 64, 68, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 82, 83, 93, 97

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