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Piramidali (numeri) (II)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri piramidali

Sono talvolta chiamati “piramidali” i numeri di palline che si possono disporre a formare una piramide di strati di poligoni con lo stesso numero di lati, uno sull’altro, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri piramidali

 

La piramide però è stabile solo se il poligono usato è il triangolo o il quadrato, altrimenti gli strati inferiori hanno cavità, nelle quali cadono le palline degli strati superiori.

 

Un numero piramidale è quindi un numero figurato, uguale alla somma di numeri poligonali consecutivi dello stesso genere a partire da 1.

 

Due casi di particolare interesse sono i numeri piramidali di ordine 3, o numeri tetraedrici, e quelli di ordine 4, spesso chiamati numeri piramidali, senza specificare l’ordine.

 

L’n-esimo numero piramidale di ordine p (cioè con strati p-gonali) è dato dalla formula Formula per il calcolo dei numeri piramidali, dove n-esimo numero p-gonale è l’n-esimo numero p-gonale, che si trova nel Codex Arcerianus, risalente alla metà del V secolo.

 

Ogni numero piramidale di ordine p può essere espresso come somma di p – 2 numeri tetraedrici: Pp(n) = Tn + (p – 3)Tn – 1, dove Tn è l’n-esimo numero tetraedrico.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri piramidali:

Formula per il calcolo dei numeri piramidali;

Pp(n) = Pp – 1(n) + TnTn = Pp – 1(n) + Tn – 1, dove Tn è l’n-esimo numero tetraedrico e Tn è l’n-esimo numero triangolare.

 

Vi sono infinite famiglie, ciascuna contenente infiniti numeri, di numeri sia piramidali che quadrati; due sono semplici:

  • P5(2k2 – 1) = (k(2k – 1))2;
  • Pk2 – 1(2) = k2.

Le altre famiglie infinite hanno la forma Formula per numeri sia piramidali, che quadrati, dove w è un numero NSW e 3(k^2 – 1) / (w^2 – 1) è intero, ossia per k = (w^2 – 1) / 3 * m ± a, per opportuni valori di a, che dipendono da w, e per qualsiasi mintero (Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér, 2004). Le prime famiglie di questo genere sono:

  • Numeri sia piramidali che quadrati, per k uguale a 16m ± 1 o 16m ± 7;
  • Numeri sia piramidali che quadrati, per k uguale a 560m ± 1, 560m ± 41, 560m ± 71, 560m ± 111, 560m ± 169, 560m ± 209, 560m ± 239 o 560m ± 279;
  • Numeri sia piramidali che quadrati, per k uguale a 19040m ± 1, 19040m ± 239, 19040m ± 1121, 19040m ± 1359, 19040m ± 2449, 19040m ± 3569, 19040m ± 3809, 19040m ± 4591, 19040m ± 4929, 19040m ± 5711, 19040m ± 5951, 19040m ± 7071, 19040m ± 8161, 19040m ± 8399, 19040m ± 9281 o 19040m ± 9521.

 

Fissato p, i numeri sia piramidali che quadrati sono infiniti per p = 5, ma in numero finito per altri valori di p; la tabella seguente mostra i numeri sia piramidali che quadrati per p fino a 100 e diverso da 5 (Andrej Dujella, Kálmán Györy e Ákos Pintér, 2010).

p

n

Pp(n) = k2

k

Qualsiasi

1

1

1

3

2

4

2

3

48

19600

140

4

24

4900

70

7

6

196

14

7

49

99225

315

8

2

9

3

11

1681

7126567561

84419

13

24

25600

160

15

2

16

4

15

242

30735936

5544

16

49

275625

525

20

49

354025

595

24

2

25

5

24

1681

17418456441

131979

28

23

52900

230

29

8

2304

48

33

7

1764

42

35

2

36

6

35

49

648025

805

41

4

400

20

41

49

765625

875

45

120

12390400

3520

48

2

49

7

52

96

7376656

2716

53

1681

40377285481

200941

62

49

1177225

1085

63

2

64

8

63

16

41616

204

68

24

152100

390

68

343

443944900

21070

68

57121

2050125447012721

45278311

70

6

2401

49

70

49

1334025

1155

73

833

6840117025

82705

74

8

6084

78

75

10

12100

110

76

289

297735025

17255

76

3479

519336422500

720650

80

2

81

9

80

1681

61752747001

248501

89

7

4900

70

91

4

900

30

91

6

3136

56

97

49

1863225

1365

98

8

8100

90

99

2

100

10

99

57121

3013062390694161

54891369

 

Per numeri piramidali appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numero figurati.

 

Per le somme dei numeri piramidali e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri piramidali, per p diverso da 5;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali, per p diverso da 5;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali, per p diverso da 5.

 

Le tabelle seguenti mostrano le somme dei reciproci dei numeri piramidali e delle loro potenze fino all’ordine 10 e alla quinta potenza.

p

Somma dei reciproci dei numeri piramidali

3

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 3

4

18 – 24log2 ≈ 1.3644676666

5

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 5

6

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 6

7

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 7

8

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 8

9

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali

3

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 3

4

84π2 – 828 ≈ 1.0467696915

5

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 5

6

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 6

7

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 7

8

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 8

9

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali

3

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 3

4

42768 – 11664ζ(3) – 41472log2 ≈ 1.0084093644

5

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 5

6

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 6

7

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 7

8

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 8

9

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 9

10

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali

3

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 3

4

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 4

5

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 5

6

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 6

7

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 7

8

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 8

9

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 9

10

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 10

 

p

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali

3

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 3

4

130310208 – 32892480ζ(3) – 7698240ζ(5) – 119439360log2 ≈ 1.0003219027

5

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 5

6

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 6

7

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 7

8

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 8

9

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 9

10

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 10

 

Le somme a segni alternati dei reciproci dei numeri piramidali e delle loro potenze non si possono esprimere con una formula generale in termini di funzioni elementari, però una rappresentazione del genere esiste per ogni numero di lati fissato. Le tabelle seguenti mostrano le somme a segni alternati dei reciproci dei numeri piramidali e delle loro potenze fino all’ordine 10 e alla quinta potenza; nelle tabelle C è la costante di Catalan.

p

Somma dei reciproci dei numeri piramidali a segni alternati

3

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 3 a segni alternati

4

18 – 6π ≈ –0.8495559215

5

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 5 a segni alternati

6

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 6 a segni alternati

7

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 7 a segni alternati

8

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 8 a segni alternati

9

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 9 a segni alternati

10

Somma dei reciproci dei numeri piramidali di ordine 10 a segni alternati

 

p

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali a segni alternati

3

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 3 a segni alternati

4

576C + 432log2 – 828 ≈ –0.9642357520

5

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 5 a segni alternati

6

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 6 a segni alternati

7

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 7 a segni alternati

8

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9907402310

10

–0.9923292857

 

p

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali a segni alternati

3

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 3 a segni alternati

4

42768 – 432π3 + 324π2 – 10368π ≈ –0.9923323555

5

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 5 a segni alternati

6

–0.9971714372

7

–0.9980996922

8

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9990237154

10

–0.9992656948

 

p

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali a segni alternati

3

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 3 a segni alternati

4

1327104C – 2326320 + 23328ζ(3) + 1088640log2 – 165888i(Li4(i) – Li4(–i)) ≈ –0.9984248931

5

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 5 a segni alternati

6

–0.9995876267

7

–0.9997579756

8

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9999007255

10

–0.9999321640

 

p

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali a segni alternati

3

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 3 a segni alternati

4

130310208 – 25920π5 + 2268π4 – 1244160π3 + 991440 π2 – 29859840π ≈ –0.9996818200

5

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 5 a segni alternati

6

–0.9999406919

7

–0.9999695653

8

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali di ordine 8 a segni alternati

9

–0.9999900217

10

–0.9999938032

 

La funzione generatrice dei numeri piramidali è Funzione generatrice dei numeri piramidali e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri piramidali.

 

La tabella seguente mostra i numeri piramidali per p fino a 10 e n fino a 20.

n \ p

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

5

6

7

8

9

10

11

3

10

14

18

22

26

30

34

38

4

20

30

40

50

60

70

80

90

5

35

55

75

95

115

135

155

175

6

56

91

126

161

196

231

266

301

7

84

140

196

252

308

364

420

476

8

120

204

288

372

456

540

624

708

9

165

285

405

525

645

765

885

1005

10

220

385

550

715

880

1045

1210

1375

11

286

506

726

946

1166

1386

1606

1826

12

364

650

936

1222

1508

1794

2080

2366

13

455

819

1183

1547

1911

2275

2639

3003

14

560

1015

1470

1925

2380

2835

3290

3745

15

680

1240

1800

2360

2920

3480

4040

4600

16

816

1496

2176

2856

3536

4216

4896

5576

17

969

1785

2601

3417

4233

5049

5865

6681

18

1140

2109

3078

4047

5016

5985

6954

7923

19

1330

2470

3610

4750

5890

7030

8170

9310

20

1540

2870

4200

5530

6860

8190

9520

10850

 

A parte le progressioni aritmetiche banali, formate da numeri piramidali del tipo Pn(1), si conoscono alcune progressioni aritmetiche di tre numeri piramidali di ordini diversi (M.A. Golopan, Manju Somanath e K. Geetha, 2013):

  • (P4(n), P12(n), P20(n)),
  • (P8(n), P14(n), P20(n)),
  • (P12(n), P16(n), P20(n)).

 

Gli unici numeri piramidali primi sono della forma Pp – 1(2), per p primo.

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