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Ottaedrici troncati (numeri)

Numeri figurati 

Se tagliamo una piramide a base quadrata da ciascun vertice di un ottaedro regolare, lasciando spigoli tutti della stessa lunghezza, otteniamo un solido archimedeo, delimitato da 8 esagoni regolari e 6 quadrati, chiamato ottaedro troncato. I numeri ottaedrici troncati sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un ottaedro troncato, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri ottaedrici troncati

 

 

I numeri ottaedrici troncati sono dati dalla formula On = 16n3 – 33n2 + 24n – 6.

 

Ogni numero ottaedrico troncato può essere espresso come somma di 96 numeri tetraedrici: On = Tn + 34Tn – 1 + 55Tn – 2 + 6Tn – 3.

 

Aggiungendo 6 piramidi a base quadrata, l’ottaedro troncato ritorna un ottaedro regolare, quindi On + 6Pn - 1 = O3n – 2, dove Pn è l’n-esimo numero piramidale.

 

Per le somme dei numeri ottaedrici troncati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri ottaedrici troncati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri ottaedrici troncati, dove la somma va calcolata sulle tre radici complesse dell’equazione 16x3 – 33x2 + 24x – 6 = 0;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ottaedrici troncati, dove la somma va calcolata sulle tre radici complesse dell’equazione 16x3 – 33x2 + 24x – 6 = 0;

Somma dei reciproci dei numeri ottaedrici troncati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri ottaedrici troncati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri ottaedrici troncati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri ottaedrici troncati.

n

On

1

1

2

38

3

201

4

586

5

1289

6

2406

7

4033

8

6266

9

9201

10

12934

11

17561

12

23178

13

29881

14

37766

15

46929

16

57466

17

69473

18

83046

19

98281

20

115274

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 41 numeri ottaedrici troncati; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 8 numeri ottaedrici troncati, ma probabilmente ne bastano 6.

Sembrano esserci 204960 interi non rappresentabili come somma di 6 numeri ottaedrici troncati, il massimo dei quali è 11585383; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 189 richiede 41 addendi, solo 151 e 188 ne richiedono 40, solo 113, 150 e 187 ne richiedono 39, solo 75, 112, 149 e 186 ne richiedono 38.

Qui trovate gli interi minori di 109 non rappresentabili come somma di 6 numeri ottaedrici troncati, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (1.9 Mbyte).

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri ottaedrici troncati differenti sono in tutto 112694, da 2 a 310111.

 

Per numeri ottaedrici troncati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti numeri ottaedrici troncati primi; ve ne sono 39 minori di 109: 1289, 29881, 69473, 177761, 363161, 1212121, 1804321, 2563489, 4665673, 11020241, 17136001, 23900329, 27864721, 32244913, 37061641, 42335641, 46115921, 48087649, 65920961, 103477753, 121049993, 144632801, 205829209, 233323049, 295442929, 309060281, 330260969, 337537513, 383451841, 399634121, 450899489, 516037681, 576627481, 641783521, 748442161, 812503721, 825739561, 866307961, 951387841 (M. Fiorentini, 2013).

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