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Stella octangula (numeri)

Numeri figurati 

Se aggiungiamo un tetraedro regolare a ciascuna faccia di un ottaedro regolare, otteniamo un solido a 8 punte, al quale Keplero diede il nome di “stella octangula”.

Se la costruzione viene fatta con palline (e nel campo gravitazionale terrestre è impossibile tenerla insieme senza magneti o adesivi), il numero di palline necessarie è un numero figurato, detto “numero stella octangula”, risultante dalla somma di un numero ottaedrico e 8 tetraedrici, dell’ordine immediatamente inferiore, come mostra la figura.

Raffigurazione dei numeri stella octangula

 

I numeri stella octangula sono quindi numeri figurati.

 

I numeri stella octangula sono dati dalla formula Sn = 2n3n; possono essere calcolati anche con le ricorrenze: Sn = Sn – 1 + 6n2 + 6n + 1 e Sn = 3Sn – 1 – 6Sn – 2 + 4Sn – 3Sn – 4.

 

Alcune formule che legano i numeri stella octangula ad altri numeri figurati:

  • Sn = On + 8Tn – 1, dove On è un numero ottaedrico e Tn è un numero tetraedrico;

  • SnSn – 1 = Sn, dove Sn è l’n-esimo numero stellare.

 

Ogni numero stella octangula può essere espresso come somma di 12 numeri tetraedrici: Sn = Tn + 10Tn – 1 + Tn – 2.

 

Per le somme dei numeri stella octangula e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri stella octangula;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri stella octangula a segni alternati;

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri stella octangula a segni alternati;

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri stella octangula a segni alternati;

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri stella octangula a segni alternati;

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri stella octangula a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri stella octangula e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri stella octangula.

 

La tabella seguente mostra i numeri stella octangula fino a S20.

n

Sn

1

1

2

14

3

51

4

124

5

245

6

426

7

679

8

1016

9

1449

10

1990

11

2651

12

3444

13

4381

14

5474

15

6735

16

8176

17

9809

18

11646

19

13699

20

15980

 

I numeri che sono contemporaneamente quadrati e stella octangula si ricavano dalle soluzioni dell’equazione y2 = 2x3x; notando che x e 2x2 – 1 sono primi tra loro e quindi devono essere entrambi quadrati; con opportune sostituzioni di variabili si arriva all’equazione di Ljunggren a2 = 2b4 – 1. Wilhelm Ljunggren (1905 – 1973) dimostrò nel 1942 che le uniche soluzioni sono (±1, ±1) e (±239, ±13), corrispondenti ai numeri S1 = 1 = 12 e S169 = 9653449 = 31072.

 

Non si conoscono numeri stella octangula maggiori di 1 che siano cubi o potenze superiori.

 

Per numeri stella octangula appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero stella octangula è primo.

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 15 numeri stella octangula; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 8 numeri stella octangula, ma probabilmente ne bastano 5.

Sembrano esserci 10420 interi non rappresentabili come somma di 6 numeri stella octangula, il massimo dei quali è 500368; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 41 richiede 15 addendi, solo 27, 40 e 92 ne richiedono 14, solo 13, 26, 39, 78 e 91 ne richiedono 13.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 5 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri stella octangula differenti sono in tutto 5768, da 2 a 19226.

Vedi anche

Numeri figurati.

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