Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Amichevoli (numeri) (I)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Insiemi amichevoli

Esistono due definizioni distinte di numeri amichevoli: la più comune considera due numeri naturali “amichevoli” (o “amicabili”), se ciascuno è uguale alla somma dei divisori propri dell’altro, ossia se ossia se σ(m) – m = n e σ(n) – n = m, ovvero se σ(m) = σ(n) = m + n.

Per esempio, 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, somma dei divisori di 220 e 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142, somma dei divisori di 284.

 

La coppia (220, 284) è nota dall’antichità; la scoperta è generalmente attribuita alla scuola pitagorica, perché così ci raccontò Iamblico di Chalcis (250 circa – 330 circa), ma potrebbe essere più antica: il 220 e il 284 compaiono nella Bibbia, in passi diversi, ma non è chiaro se ciò si debba alle loro proprietà. Nel Medioevo i due numeri venivano incisi su talismani o su frutti, da mangiare poi insieme all’amante.

Il matematico, fisico e astronomo Al-Sābi’ Thābit ibn Qurra al-Harrānī (826 – 18/2/901) notò che se p = 3 • 2n – 1 – 1, q = 3 • 2n – 1 e r = 9 • 22n – 1 – 1 sono primi con n > 1, allora 2npq e 2nr formano una coppia di numeri amichevoli; la coppia 220, 284 corrisponde a n = 2.

 

La coppia successiva, (17296, 18416), corrispondente a n = 4, venne scoperta da Ibn al Banna (1256 – 1321) e riscoperta indipendentemente nel 1636 da Fermat, che riscoprì anche la formula di ibn Qurra, poi Cartesio scoprì nel 1638 la coppia (9363584, 9437056), corrispondente a n = 7, anche se queste coppie erano probabilmente note agli arabi. La formula di ibn Qurra non produce altre coppie amichevoli con n < 20000 e non è noto se ne possa produrre altre.

 

Eulero estese la formula, dimostrando che se p = 2m(2nm + 1) – 1, q = 2n(2nm + 1) – 1 e r = 2n + m(2nm + 1)2 sono primi con n > m > 0, allora 2npq e 2nr formano una coppia di numeri amichevoli; la formula di ibn Qurra corrisponde al caso n = m + 1. Questo permise a Eulero di trovare altre due coppie, corrispondenti a n = 8, m = 1 e a n = 40, m = 29.

Legendre notò nel 1830 che nella formula di Eulero, m e n devono avere parità opposta, altrimenti r è per forza composto, ma con tutta probabilità Eulero stesso ne era consapevole.

 

La tabella seguente riporta tutte le coppie ottenibili con n < 1000.

n

m

p

q

r

Numeri amichevoli

2

1

5

11

71

(220, 284)

4

3

23

47

1151

(17296, 18416)

7

6

191

383

73727

(9363584, 9437056)

8

1

257

33023

8520191

(2172649216, 2181168896)

40

29

1100048498687

2252899325313023

2478298520505800166853312511

(2724918040393706557785752240819405848576, 2724918040396184856306258038787235905536)

 

Con questa e altre formule analoghe Eulero arrivò ad elencare altre 64 coppie, due delle quali errate, che vennero riconosciute tali solo nel 1909 e nel 1914.

 

Walter Borho trovò nel 1972 un’ulteriore generalizzazione del metodo di Eulero: se p = k + σ(k) è un numero primo, a è un intero tale che σ(a) / a = (p – 1) / σ(k), (k + 1)pn – 1 sia primo e non divida pak, (k + 1)σ(k)pn – 1 è primo e non divide pa, pnak ((k + 1)pn – 1) e pna (k + 1)σ(k)pn – 1) formano una coppia di numeri amichevoli; in questo caso k dev’essere un numero composto dispari, diverso da un quadrato e dal triplo di un numero primo. Per esempio, per k = 55, a = 4 e n = 2 abbiamo p = 127, e la coppia 1272 • 4 • 55 • ((55 + 1)1272 – 1) = 3204978428740, 1272 • 4 • ((55 + 1)72 • 1272 – 1) = 4195612705532.

 

Borho trovò varie altre formule per produrre coppie di numeri amichevoli:

  • data una coppia di numeri amichevoli della forma (ak, ar), con r primo, p = k + σ(k) e MCD(a, np) = 1, se q1 = pn(k + 1) – 1 e q2 = pn(k + 1)σ(k) – 1 sono primi che non dividono a, akpnq1 e apnq2 formano una coppia di numeri amichevoli; per esempio, partendo dalla coppia (11498355, 12024045), con a = 4455, k = 2581 e r = 2699, abbiamo p = 5281 e per n = 19 abbiamo q1 = 139175701888775976308855532899186267927088632551744230583288018723382689621, q2 = 375774395099695136033909938827802923403139307889709422574877650553133261979399 e la coppia 4455 • 2581 • 528119 • 139175701888775976308855532899186267927088632551744230583288018723382689621 = 86259376650143596387690953818787166659714840888357774281383581683102264665913329533162256868364964774727067384973129580885368384109913214991276380031055 e 4455 • 528119 • 375774395099695136033909938827802923403139307889709422574877650553133261979399 = 90236465306233130665155201592687078644413045485690038961540360536371993258287019185759580345274700499275323129070333233826784067560738920615666452384945;

  • se, dati due interi a e b, tali che ab = 33 • 7n – 1 • (75 • 7n – 1 + 32), p = (a + 45 * 7^(n – 1)) / 2 – 1q = (b + 45 * 7^(n – 1)) / 2 – 1r = (p + 1) * (q + 1) / 9 – 1 sono primi, 32 • 7n • 13 • 53 • r e 32 • 7n • 5 • 13 • p • q sono una coppia di numeri amichevoli; per esempio, per a = 21 e b = 5013 e n = 2 abbiamo p = 167, q = 2663, r = 49727 e la coppia di numeri amichevoli 15109499223 e 12747927465;

  • se, dati due interi a e b, tali che ab = 24 • 5n • (4 • 5n + 9), p = (a + 8 * 5^n) / 2 – 1q = (b + 8 * 5^n) / 2 – 1r = (p + 1) * (q + 1) / 8 – 1 sono primi, 2 • 5n • 7 • r e 2 • 75n • p • q sono una coppia di numeri amichevoli; non si conoscono però esempi di coppie del genere.

 

Borho trovò anche 5 formule per produrre coppie di numeri amichevoli, per le quali non è stato però trovato alcun valore valido di n; se esiste, è maggiore di 1000 (M. Fiorentini, 2016):

  • se 80 • 113n – 1 e 200 • 113n – 1 sono primi, 16965 • 113n • (80 • 113n – 1) e 6435 • 113n • (2000 • 113n – 1) sono una coppia di numeri amichevoli;

  • se 246 • 433n – 1 e 1148 • 433n – 1 sono primi, 910 • 113n • (246 • 433n – 1) e 238 • 433n • (1148 • 113n – 1) sono una coppia di numeri amichevoli;

  • se 254 • 541n – 1 e 73152 • 541n – 1 sono primi, 2024 • 541n • (254 · 541n – 1) e 8 • 541n • (73152 • 541n – 1) sono una coppia di numeri amichevoli;

  • se 674 • 1297n – 1 e 60660 • 1297n – 1 sono primi, 6670 • 1297n • (674 • 1297n – 1) e 70 • 1297n • (60660 • 1297n – 1) sono una coppia di numeri amichevoli;

  • se 4182 • 8513n – 1 e 18116424 • 8513n – 1 sono primi, 46471815 • 8513n • (4182 • 8513n – 1) e 11115 • 8513n • (18116424 · 8513n – 1) sono una coppia di numeri amichevoli;

 

In seguito sono state trovate nuove “formule” per produrre coppie di numeri amichevoli; per esempio, se p = 3 • 2n – 1 – 1, q = 35 • 2n + 1 – 29, r = 7 • 2n – 1 – 1 e s = 15 • 2n + 1 – 13 sono primi per un qualche valore di n, allora (2npq, 2nrs) è una coppia di numeri amichevoli. Tali quadruple di primi sono però molto rare: : l’unica per n fino a 10000 si ha per n = 2, nel qual caso si ottiene p = 5, q = 251, r = 13, s = 107 e la coppia 5020, 5564 (M. Fiorentini, 2016).

 

Queste formule non permettono tuttavia trovare tutte le coppie con valori inferiori a un limite prefissato: tuttora non si conosce una formula capace di generarle tutteo almeno di generarne infinite. Tutte queste formule, infatti, generano coppie di numeri amichevoli se alcuni numeri sono primi, cosa che capita molto di rado e non è noto se possa capitare infinite volte.

Molte coppie poi non possono essere generate in questo modo, almeno con le formule note: la coppia (1184, 1210) passò inosservata e venne scoperta solo nel 1866 da un certo Nicolò Paganini (omonimo del famoso violinista), allora sedicenne.

 

Due secoli fa le coppie note non arrivavano al centinaio. In seguito Seelhoff (1884), Dickson (1913) e altri estesero lentamente l’elenco e nel 1946 le coppie note erano 390, poi l’avvento dei calcolatori elettronici aprì nuovi orizzonti: nel 1967 Paul Bratley e John McCay completarono l’elenco delle 108 coppie con un numero inferiore a 10000000 e a tutt’oggi si conoscono circa 12 milioni di coppie, incluse tutte le 39374 con un numero inferiore a 1014, alcune delle quali con numeri di migliaia di cifre.

Un esempio di numeri amichevoli enormi è la coppia formata da 34 • 5 • 11 • 528119 • 29 • 89 • (2 • 1291 • 528119 – 1) e 34 • 5 • 11 • 528119 • (23 • 33 • 52 • 1291 • 528119 – 1), trovata da te Riele; i due numeri hanno ciascuno 152 cifre.

Un altro esempio è la coppia 210 • 1033 • 105929 • 74304287 • 474786634663039 • 772448906022612648238733623992115 • 10356003843337392826053832050017647087172656951446278526058086757044310756020217135943505722291507802502499815142620530048318697798205762752105087157476089434796741128884760176840470904049161078027537610844305168453919182977577605698189549219039725681633653138357934234180909217397263637291869527804047483586175737955168285692113159112705043088615320719003106013740042062704887975237400017048505989433374648184357262318321684081712327982902804879459531371717477681359606565399395854099910696251887862319 e 210 • 772448906022612648238733623992115 • 497904165388806121801989872575627366399 • 80370804663939290451610955581894888393255930289672943586703678931804915378896161597725753083517749124251413701912186360538373218054018888164946315185819959660032489261208096400430788907008831792854977938193836358116213112168354926666436340577249122900581817594600397487686250079970768783320160406290797086867177705698510935457068890994912890971264678509242756177369080681616746095746315320550446505765614397824564691936720046305748041364933289614785882021875622233118990326835611812721385341119 (Ball, 2004), i due numeri hanno ciascuno 999 cifre. Qui trovate i numeri.

 

La massima coppia nota ha 24073 cifre (Paul Jobling, 2005). Qui trovate i numeri.

 

Le 42 coppie col minore della coppia inferiore a 1000000 sono:

  • 220, 284 (Pitagora, 500 A.C.);

  • 1184, 1210 (Nicolò Paganini, 1866);

  • 2620, 2924 (Eulero, 1747);

  • 5020, 5564 (Eulero, 1747);

  • 6232, 6368 (Eulero, 1750);

  • 10744, 10856 (Eulero, 1747);

  • 12285, 14595 (Brown, 1939);

  • 17296, 18416 (Ibn al-Banna, 1300);

  • 63020, 76084 (Eulero, 1747);

  • 66928, 66992 (Eulero, 1750);

  • 67095, 71145 (Eulero, 1747);

  • 69615, 87633 (Eulero, 1747);

  • 79750, 88730 (Rolf, 1964);

  • 100485, 124155 (Eulero, 1747);

  • 122265, 139815 (Eulero, 1747);

  • 122368, 123152 (Poulet, 1941/42);

  • 141664, 153176 (Eulero, 1750);

  • 142310, 168730 (Eulero, 1750);

  • 171856, 176336 (Eulero, 1750);

  • 176272, 180848 (Eulero, 1750);

  • 185368, 203432 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 196724, 202444 (Eulero, 1747);

  • 280540, 365084 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 280540, 365084 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 308620, 389924 (Eulero, 1750);

  • 319550, 430402 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 356408, 399592 (Mason, 1921);

  • 437456, 455344 (Eulero, 1750);

  • 469028, 486178 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 503056, 514736 (Eulero, 1747);

  • 522405, 525915 (Eulero, 1747);

  • 600392, 669688 (Mason, 1921);

  • 609928, 686072 (Eulero, 1750);

  • 624184, 691256 (Mason, 1921);

  • 635624, 712216 (Mason, 1921);

  • 643336, 652664 (Eulero, 1750);

  • 667964, 783556 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 726104, 796696 (Mason, 1921);

  • 802725, 863835 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 879712, 901424 (Alanen, Ore e Stemple, 1966);

  • 898216, 980984 (Eulero, 1747);

  • 947835, 1125765 (Escott, 1946);

  • 998104, 1043096 (Alanen, Ore e Stemple, 1966).

Qui trovate l'elenco delle coppie con almeno uno dei numeri inferiore a 1012.

 

Le coppie di numeri amichevoli col minimo e massimo rapporto noto sono: Rapporto tra numeri amichevoliRapporto tra numeri amichevoli (te Riele, 1986); sembra che il rapporto possa avvicinarsi a piacere a 1, mentre non è chiaro se esista un limite inferiore maggiore di zero.

 

La minima coppia di numeri amichevoli dispari è (12285, 14595), scoperta da B. H. Brown nel 1939, mentre la prima a essere scoperta fu (1175265, 1438983), da G.W. Kraft, tre secoli prima.

 

Le prime coppie di numeri amichevoli dispari trovate contenevano sempre numeri multipli di 3, cosa che indusse nel 1968 Bratley e McCay a supporre che tutti i numeri amichevoli dovessero essere multipli di 2 o 3, ma nel 1988 Battiato e Borho trovarono un controesempio, al quale ne seguirono numerosi altri, il minimo dei quali è (42262694537514864075544955198125, 42405817271188606697466971841875). Nel 1997 Y. Kohmoto scoprì una coppia di numeri amichevoli non divisibili per 2, 3 o 5 (di 193 cifre), alla quale seguirono varie altre; al momento si cerca una coppia di numeri non divisibili per 2, 3, 5 o 7. Molti ritengono che esistano coppie con minimo fattore primo grande a piacere, solo che i minimi esempi possono essere spaventosamente grandi.

 

Se m e n sono amichevoli, Teorema di Haas (Haas, 1896): un teorema analogo a quello di Catalan sui numeri perfetti.

 

Erdös dimostrò che i numeri amichevoli hanno densità asintotica nulla.

 

Tra i molti problemi insoluti, ne cito alcuni:

  • non si sa se le coppie di numeri amichevoli siano infinite, anche se è molto probabile; in tal caso però devono diventare progressivamente sempre più rare, perché Pomerance dimostrò nel 1981 che il numero di coppie amichevoli non superiori a n, per n abbastanza grande, è minore di Limite superiore per il numero di coppie amichevoli minori di n (una conseguenza di questo risultato è che la somma dei loro reciproci è finita); dai dati disponibili il limite sembra spaventosamente maggiore del numero di coppie esistenti: per n uguale a 306 miliardi, per esempio, indica che le coppie devono essere meno di 15.5 miliardi circa, ma sappiamo che sono solo 5001;

  • non si conosce un metodo per generarle tutte, o almeno una parte consistente;

  • non si sa se esista una coppia di numeri amichevoli primi tra loro, però se esiste i numeri devono essere di almeno 25 cifre e il loro prodotto di almeno 68 e deve contenere almeno 22 fattori primi distinti;

  • non si sa se esista una coppia con parità opposta;

  • non si sa se esista una coppia di numeri amichevoli dispari, uno solo dei quali multiplo di 3;

  • non si sa se un quadrato possa essere membro di una coppia, tuttavia è stato dimostrato che se una potenza di un primo entra in una coppia, l’esponente è maggiore di 1400 e il numero ha oltre 1500 cifre.

 

Una coppia di numeri amichevoli (m, n) con m < n si dice regolare di tipo (i, j), se, dato g = MCD(m, n), m e n sono primi rispetto a gm diviso gn diviso g non sono multipli di quadrati e hanno rispettivamente i e j fattori primi. Per esempio, nel caso di (220, 284), g = 4, 220 diviso 4 uguale 55, 284 diviso 4 uguale 71, quindi la coppia è regolare di tipo (2, 1), mentre nel caso di (1184, 1210), g = 2, 1184 diviso 2 uguale 592, 1210 diviso 2 uguale 605, e la coppia è irregolare, perché 592 è multiplo di un quadrato, ossia 16.

Non esistono coppie regolari di tipo (1, j), per alcun valore di j.

 

Sono note coppie, triple ecc. di coppie di numeri amichevoli con la stessa somma, te Riele nel 1997 trovò la sestupla (1953433861918, 2216492794082), (1968039941816, 2201886714184), (1981957651366, 2187969004634), (1993501042130, 2176425613870), (2046897812505, 2123028843495), (2068113162038, 2101813493962), con somma 4169926656000 per ogni coppia. Sorprendentemente, i numeri che vi compaiono sono inferiori a quelli di ogni altra quadrupla o quintupla nota.

 

Due numeri amichevoli a e b sono tali che σ(a) = σ(b) = a + b; viene quindi spontaneo ampliare la definizione a triple di interi a, b e c tali che σ(a) = σ(b) = σ(c) = a + b + c e quadruple a, b, c e d tali che σ(a) = σ(b) = σ(c) = σ(d) = a + b + c + d (Dickson, 1913).

L.E. Dickson (1913) trovò le triple (123228768, 103340640, 124015008) e (1945330728960, 2324196638720, 2615631953920), oltre ad altre 8 con due numeri uguali, stabilendo alcune proprietà che triple del genere debbono avere. Da allora non sono stati fatti molti progressi; Shen Zhong-Hua dimostrò (Journal of Hangzhou Teachers College, 2005) che triple del genere non possono contenere numeri di Fermat.

La minima quadrupla nota è (842448600, 936343800, 999426600, 1110817800).

Y. Kohmoto trovò per le quadruple una formula: (Cn • 149 • 173 • 1933058921 • 103540742849, Cn • 173 • 1933058921 • 15531111427499, Cn • 149 • 336352252427 • 103540742849, Cn • 149 • 336352252427 • 15531111427499), dove Cn = 2n – 1 • Mn • 59 • 72 • 114 • 172 • 19 • 292 • 67 • 712 • 109 • 131 • 139 • 179 • 307 • 431 • 521 • 653 • 1019 • 1279 • 2557 • 3221 • 5113 • 5171 • 6949 e Mn è un primo di Mersenne. Se si riuscisse a dimostrare che i primi di Mersenne sono infiniti, ne seguirebbe l’esistenza di infinite quadruple amichevoli.

Non sono a conoscenza di quintuple o insiemi ancora più grandi con la stessa proprietà: probabilmente esistono, ma coinvolgono numeri enormi.

 

Sono state anche trovate coppie di interi di Gauss amichevoli, come (8008 + 3960i, 4232 - 8280i).

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 22, giugno 1970, pag. 92 – 96.
  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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