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Stellari (numeri)

Numeri figurati 

Se aggiungiamo un triangolo regolare a ciascun lato di un esagono regolare, otteniamo una stella a 6 punte; se la costruzione viene fatta con palline, il numero di palline necessarie è un numero figurato, detto “numero stellare”, risultante dalla somma di un numero esagonale e 6 triangolari, dell’ordine immediatamente inferiore, come mostra la figura.

 

Raffigurazione dei numeri stellari

 

 

I numeri stellari sono dati dalla formula Sn = 6n2 – 6n + 1.

Possono essere calcolati con la ricorrenza S1 = 1, Sn = Sn – 1 + 12(n – 1).

 

Alcune semplici relazioni legano i numeri stellari ad altre categorie di numeri figurati:

  • Sn = Tn + 10Tn – 1 + Tn – 2, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare;

  • Sn = 2Tn + 8Tn – 1 + 2Tn – 2 – 1, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare;

  • Sn = 12Tn – 1+ 1, dove Tn è l’n-esimo numero triangolare;

  • 6Sn + 3 = (6n – 3)2;

  • Sn = 2En – 1, dove En è l’n-esimo numero esagonale centrato;

  • Formula che coinvolge i numeri stellari, dove En è l’n-esimo numero esagonale;

  • Formula che coinvolge i numeri stellari, dove P12(n) è l’n-esimo numero poligonale centrato a 12 lati;

  • SnE'n = TSn, dove En è l’n-esimo numero esagonale centrato e Tn è l’n-esimo numero triangolare.

 

Per le somme dei numeri stellari e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri stellari;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri stellari a segni alternati;

Somma dei reciproci dei quadrati dei numeri stellari a segni alternati;

Somma dei reciproci dei cubi dei numeri stellari a segni alternati;

Somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri stellari a segni alternati;

Somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri stellari a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri stellari e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri stellari.

 

La tabella seguente mostra i numeri stellari fino a S20.

n

Sn

1

1

2

13

3

37

4

73

5

121

6

181

7

253

8

337

9

433

10

541

11

661

12

793

13

937

14

1093

15

1261

16

1441

17

1633

18

1837

19

2053

20

2281

 

Dato che un numero stellare è anche un numero poligonale centrato a 12 lati, ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 14 numeri stellari; ne servono 14 per tutti (e soli) gli infiniti interi della forma 12k + 2, dove k non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari (per la dimostrazione v. numeri poligonali centrati).

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri stellari differenti sono in tutto 1911, da 2 a 6782.

 

I numeri sia stellari che triangolari sono 1, 253, 49141, ..., dati dalla formula Formula per i numeri sia stellari che quadrati.

I numeri sia stellari che quadrati sono 1, 121, 11881, ..., dati dalla formula Formula per i numeri sia stellari che triangolari; si possono anche trovare con la ricorrenza a0 = 1, a1 = 1, an = 98an – 1an – 2 + 24.

 

Per numeri stellari appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti numeri stellari primi; ve ne sono 2914 minori di 109.

 

Un caso unico tra i numeri stellari è S77 = 35113 = 13 • 37 • 73: i suoi tre fattori primi sono numeri stellari consecutivi.

 

Un numero stellare diviso 9 dà resto 1 o 4.

 

In base 10 le ultime due cifre di un numero stellare possono essere solo: 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 o 93.

Tabelle numeriche

I numeri stellari fino a S1000.

Vedi anche

Numeri figurati.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 80, aprile 1975, pag. 102 – 107.

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