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Ottaedrici (numeri)

Numeri figurati 

I numeri ottaedrici sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un ottaedro, come nella figura.

 

Raffigurazione dei numeri ottaedrici

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici.

 

L’n-esimo numero ottaedrico è dato da Formula per i numeri ottaedrici.

 

Un ottaedro è formato da due piramidi a base quadrata unite per la base; l’equivalente costruzione con numeri figurati è On = Pn + Pn – 1, dove Pn è un numero piramidale.

 

Ogni numero ottaedrico può essere espresso come somma di 4 numeri tetraedrici: On = Tn + 2Tn – 1 + Tn – 2.

 

Unendo a 4 facce non adiacenti di un ottaedro regolare altrettanti tetraedri regolari con spigoli uguali, si forma un tetraedro regolare; l’equivalente costruzione con numeri figurati è On + 4Tn – 1 = T2n – 1.

Un legame con i cubi è invece On + 2Tn – 1 = n3.

Un legame con i numeri icosaedrici è dato da Formula che collega i numeri ottaedrici ai numeri icosaedrici.

OnOn – 1 = Qn, dove Qn è un numero quadrato centrato, ovvero OnOn – 1 = n2 + (n – 1)2.

 

Per le somme dei numeri ottaedrici e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula che per la somma di numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci dei numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ottaedrici;

Formula che per la somma dei reciproci dei numeri ottaedrici a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri ottaedrici e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri ottaedrici.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri ottaedrici.

n

On

1

1

2

6

3

19

4

44

5

85

6

146

7

231

8

344

9

489

10

670

11

891

12

1156

13

1469

14

1834

15

2255

16

2736

17

3281

18

3894

19

4579

20

5340

 

Molto probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 7 numeri ottaedrici (v. congettura di Pollock); 8 addendi sono sicuramente sufficienti per numeri abbastanza grandi.

Sembrano esserci solo 46431 interi non esprimibili come somma di 4 numeri ottaedrici, il massimo dei quali è 65285683; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 17, 35, 55, 61, 73, 79, 80, 200, 206, 213, 225 e 309 richiedono 7 addendi;

  • solo 11, 16, 29, 34, 36, 42, 49, 54, 60, 67, 72, 74, 78, 115, 118, 121, 128, 140, 156, 162, 163, 169, 181, 187, 194, 199, 205, 207, 212, 219, 224, 230, 242, 248, 260, 265, 266, 273, 285, 286, 290, 291, 303, 308, 315, 327, 333, 387, 392, 393, 411, 412, 417, 418, 443, 453, 456, 461, 472, 478, 494, 499, 504, 522, 532, 537, 538, 555, 557, 560, 562, 563, 570, 598, 604, 607, 616, 617, 623, 629, 634, 645, 649, 650, 687, 711, 725, 736, 749, 769, 772, 790, 791, 804, 810, 832, 838, 848, 857, 870, 874, 875, 876, 881, 882, 888, 906, 950, 959, 972, 1019, 1046, 1079, 1104, 1112, 1145, 1224, 1230, 1258, 1277, 1316, 1319, 1337, 1344, 1357, 1362, 1375, 1423, 1442, 1464, 1480, 1626, 1644, 1687, 1688, 1694, 1705, 1748, 1754, 1760, 1766, 1771, 1779, 1796, 1862, 1946, 2125, 2166, 2210, 2922, 2929, 3065, 3150, 3208, 3229, 3365, 3507, 3612, 3624, 3851, 4072, 4253, 4379, 4704, 6015, 6453, 7275 e 11579 richiedono 6 addendi.

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri ottaedrici differenti sono in tutto 819, da 2 a 3255.

 

Per numeri ottaedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

L’unico numero ottaedrico primo è O3 = 19.

Tabelle numeriche

I primi 1000 numeri ottaedrici.

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