I numeri ottaedrici sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un ottaedro, come nella figura.
Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici.
L’n-esimo numero ottaedrico è dato da 
.
Un ottaedro è formato da due piramidi a base quadrata unite per la base; l’equivalente costruzione con numeri figurati è On = Pn + Pn – 1, dove Pn è un numero piramidale. Di conseguenza i numeri ottaedrici sono numeri piramidali centrati di ordine 4.
Ogni numero ottaedrico può essere espresso come somma di 4 numeri tetraedrici: On = Tn + 2Tn – 1 + Tn – 2.
Unendo a 4 facce non adiacenti di un ottaedro regolare altrettanti tetraedri regolari con spigoli uguali, si forma un tetraedro regolare; l’equivalente costruzione con numeri figurati è On + 4Tn – 1 = T2n – 1.
Un legame con i cubi è invece On + 2Tn – 1 = n3.
Un legame con i numeri icosaedrici è dato da 
.
On – On – 1 = Qn, dove Qn è un numero quadrato centrato, ovvero On – On – 1 = n2 + (n – 1)2.
Per le somme dei numeri ottaedrici e dei loro reciproci valgono le formule:
;
;
;
;
;
;
.
La funzione generatrice è 
e la funzione generatrice esponenziale è 
.
La tabella seguente mostra i primi 20 numeri ottaedrici.
|
n |
On |
|
1 |
1 |
|
2 |
6 |
|
3 |
19 |
|
4 |
44 |
|
5 |
85 |
|
6 |
146 |
|
7 |
231 |
|
8 |
344 |
|
9 |
489 |
|
10 |
670 |
|
11 |
891 |
|
12 |
1156 |
|
13 |
1469 |
|
14 |
1834 |
|
15 |
2255 |
|
16 |
2736 |
|
17 |
3281 |
|
18 |
3894 |
|
19 |
4579 |
|
20 |
5340 |
Molto probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 7 numeri ottaedrici (v. congettura di Pollock); 8 addendi sono sicuramente sufficienti per numeri abbastanza grandi e secondo una mia congettura ne bastano 4.
Sembrano esserci solo 46431 interi non esprimibili come somma di 4 numeri ottaedrici, il massimo dei quali è 65285683; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1011 (M. Fiorentini, 2021).
Tra questi:
-
solo 17, 35, 55, 61, 73, 79, 80, 200, 206, 213, 225 e 309 richiedono 7 addendi;
-
solo 11, 16, 29, 34, 36, 42, 49, 54, 60, 67, 72, 74, 78, 115, 118, 121, 128, 140, 156, 162, 163, 169, 181, 187, 194, 199, 205, 207, 212, 219, 224, 230, 242, 248, 260, 265, 266, 273, 285, 286, 290, 291, 303, 308, 315, 327, 333, 387, 392, 393, 411, 412, 417, 418, 443, 453, 456, 461, 472, 478, 494, 499, 504, 522, 532, 537, 538, 555, 557, 560, 562, 563, 570, 598, 604, 607, 616, 617, 623, 629, 634, 645, 649, 650, 687, 711, 725, 736, 749, 769, 772, 790, 791, 804, 810, 832, 838, 848, 857, 870, 874, 875, 876, 881, 882, 888, 906, 950, 959, 972, 1019, 1046, 1079, 1104, 1112, 1145, 1224, 1230, 1258, 1277, 1316, 1319, 1337, 1344, 1357, 1362, 1375, 1423, 1442, 1464, 1480, 1626, 1644, 1687, 1688, 1694, 1705, 1748, 1754, 1760, 1766, 1771, 1779, 1796, 1862, 1946, 2125, 2166, 2210, 2922, 2929, 3065, 3150, 3208, 3229, 3365, 3507, 3612, 3624, 3851, 4072, 4253, 4379, 4704, 6015, 6453, 7275 e 11579 richiedono 6 addendi.
Qui trovate gli interi minori di 1011 che richiedono più di 4 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.
Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri ottaedrici differenti sono in tutto 819, da 2 a 3255.
Per numeri ottaedrici centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.
L’unico numero ottaedrico primo è O3 = 19.