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Hermite modificati (polinomi di)

Analisi  Polinomi 

I polinomi di Hermite modificati Hen(x) si ottengono con una semplice trasformazione dai polinomi di Hermite: Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite modificati.

Come i polinomi di Hermite, possono essere definiti tramite un integrale al contorno come Formula per la definizione dei polinomi di Hermite modificati, dove il cammino circonda l’origine ed è percorso in senso antiorario, o tramite la ricorrenza He0(x) = 1, He1(x) = x, Hen + 1(x) = xHen(x) – nHen – 1(x) = xHen(x) – Hn(x)’.

 

Hen(x) è un polinomio di grado n, a coefficienti interi, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1.

 

Sono polinomi ortogonali nell’intervallo (–∞ .. ∞) con funzione di peso Funzione di peso dei polinomi di Hermite modificati, vale a dire che Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Hermite modificati, se nm e Formula che dimostra l'ortogonalità dei polinomi di Hermite modificati.

 

In alternativa il coefficiente an, k del termine di grado k in Hen(x) può essere ricavato tramite la ricorrenza a0, 0 = 1, a1, 0 = 0, a1, 1 = 1, an + 1, 0 = –nan – 1, 0, an + 1, k = an, k – 1nan – 1, k, per k > 0.

I valori assoluti dei coefficienti hanno un’interessante interpretazione combinatoria: |an, k| è il numero di modi per suddividere n oggetti in k insiemi di un oggetto e Metà di n - k coppie. Per esempio, 6 oggetti possono essere suddivisi in 4 insiemi da 1 e una coppie in |a6, 4| = 15 modi:

  • { A } { B } { C }, { D }, { E, F };

  • { A } { B } { C }, { E }, { D, F };

  • { A } { B } { D }, { E }, { C, F };

  • { A } { C } { D }, { E }, { B, F };

  • { B } { C } { D }, { E }, { A, F };

  • { A } { B } { C }, { F }, { D, E };

  • { A } { B } { D }, { F }, { C, E };

  • { A } { C } { D }, { F }, { B, E };

  • { B } { C } { D }, { F }, { A, E };

  • { A } { B } { E }, { F }, { C, D };

  • { A } { C } { E }, { F }, { B, D };

  • { B } { C } { E }, { F }, { A, D };

  • { A } { D } { E }, { F }, { B, C };

  • { B } { D } { E }, { F }, { A, C };

  • { C } { D } { E }, { F }, { A, B }.

Di conseguenza sommando i valori assoluti dei coefficienti di Hen(x) si ottiene il numero di involuzioni In: Formula per ottenere i numeri di involuzioni a partire dai polinomi di Hermite modificati.

 

Alcune formule per il calcolo dei polinomi di Hermite modificati:

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite modificati;

Formula per il calcolo dei polinomi di Hermite modificati.

 

Altre formule che coinvolgono i polinomi di Hermite modificati:

Hen(x)’ = nHen – 1(x);

Disuguaglianza di Turán (disuguaglianza di Turán).

 

Il polinomio di Hermite modificato Hen(x) è la soluzione dell’equazione differenziale Equazione differenziale della quale i polinomi di Hermite modificati sono la soluzione.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei polinomi di Hermite modificati.

 

La figura seguente mostra parte del grafico dei primi polinomi di Hermite modificati.

 

Grafico dei primi polinomi di Hermite modificati 

 

 

La tabella seguente mostra i primi polinomi di Hermite modificati.

n

Hen(x)

0

1

1

x

2

x2 – 1

3

x3 – 3x

4

x4 – 6x2 + 3

5

x5 – 10x3 + 15x

6

x6 – 15x4 + 45x2 – 15

7

x7 – 21x5 + 105x3 – 105x

8

x8 – 28x6 + 210x4 – 420x2 + 105

9

x9 – 36x7 + 378x5 – 1260x3 + 945x

10

x10 – 45x8 + 630x6 – 3150x4 + 4725x2 – 945

11

x11 – 55x9 + 990x7 – 6930x5 + 17325x3 – 10395x

12

x12 – 66x10 + 1485x8 – 13860x6 + 51975x4 – 62370x2 + 10395

13

x13 – 78x11 + 2145x9 – 25740x7 + 135135x5 – 270270x3 + 135135x

14

x14 – 91x12 + 3003x10 – 45045x8 + 315315x6 – 945945x4 + 945945x2 – 135135

15

x15 – 105x13 + 4095x11 – 75075x9 + 675675x7 – 2837835x5 + 4729725x3 – 2027025x

16

x16 – 120x14 + 5460x12 – 120120x10 + 1351350x8 – 7567560x6 + 18918900x4 – 16216200x2 + 2027025

17

x17 – 136x15 + 7140x13 – 185640x11 + 2552550x9 – 18378360x7 + 64324260x5 – 91891800x3 + 34459425x

18

x18 – 153x16 + 9180x14 – 278460x12 + 4594590x10 – 41351310x8 + 192972780x6 – 413513100x4 + 310134825x2 – 34459425

19

x19 – 171x17 + 11628x15 – 406980x13 + 7936110x11 – 87297210x9 + 523783260x7 – 1571349780x5 + 1964187225x3 – 654729075x

20

x20 – 190x18 + 14535x16 – 581400x14 + 13226850x12 – 174594420x10 + 1309458150x8 – 5237832600x6 + 9820936125x4 – 6547290750x2 + 654729075

 

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