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de Polignac (congettura di) (II)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura avanzata da Alphonse Armand Charles George Marie, noto come principe de Polignac nel 1849; afferma che per ogni numero pari n esistono infinite coppie di primi consecutivi aventi differenza n; si tratta di una generalizzazione della congettura dei primi gemelli.

 

Sebbene una dimostrazione non sembri per ora alla portata dei matematici, l’opinione più comune è che questa congettura sia vera.

 

Un primo piccolo ma importante passo verso la dimostrazione fu compiuto nel 2013 da Zhang Yitang, che dimostrò che esiste un intero n minore di 70 milioni, tale che vi sono infinite coppie di primi consecutivi con differenza n.

Il limite è stato successivamente ridotto (v. congettura dei primi gemelli), ma la dimostrazione riguarda la validità della congettura per un solo valore di n.

 

Una forma più debole della congettura, universalmente ritenuta vera, ma non ancora provata, è che per ogni numero pari n esistano infinite coppie di primi (anche non consecutivi) aventi differenza n.

In questa forma deriverebbe dalla congettura di Dickson.

 

Hardy e Littlewood avanzarono una congettura più generale, con una stima precisa della crescita asintotica del numero di primi del genere (v. congetture di Hardy e Littlewod sui numeri primi).

 

La tabella seguente mostra la minima coppia di primi e la minima coppia di primi consecutivi con differenza n, per n pari fino a 1000.

n

Minima coppia di primi

Minima coppia di primi consecutivi

2

3, 5

3, 5

4

3, 7

7, 11

6

5, 11

23, 29

8

3, 11

89, 97

10

3, 13

139, 149

12

5, 17

199, 211

14

3, 17

113, 127

16

3, 19

1831, 1847

18

5, 23

523, 541

20

3, 23

887, 907

 

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