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Lucas gaussiani (numeri di)

Sequenze 

Sono così chiamati i numeri appartenenti a una sequenza ottenuta dalla stessa ricorrenza di quella di Lucas, ma iniziando con l0 = 2 – i, l1 = 1 + 2i (dove i è l’unità immaginaria). Sono quindi tutti interi di Gauss.

 

La definizione può anche essere utilizzata all’indietro, definendo numeri di Lucas gaussiani con indice negativo; per questi vale ln = (–1)n(Ln – iLn + 1).

 

In generale ln = Ln + iLn – 1 e quindi Formula per il quadrato del modulo dei numeri di Lucas gaussiani.

 

Molte delle identità valide per i numeri di Lucas gaussiani sono analoghe a quelle valide per i numeri di Lucas. Tra queste, indicando con fn l’n-esimo numero di Fibonacci gaussiano, abbiamo:

  • ln = fn + 1 + fn – 1 (Jordan, 1965);

  • Formula che coinvolge numeri di Lucas gaussiani (Jordan, 1965);

  • fnln = F2n – 1(1 + 2i);

  • Formula che coinvolge numeri di Lucas gaussiani (Jordan, 1965);

  • Formula che coinvolge numeri di Lucas gaussiani (Jordan, 1965).

 

I numeri di Lucas gaussiani hanno inoltre tutte le proprietà dei numeri di Fibonacci generalizzati e per essi valgono le relative formule.

 

Per quanto riguarda i divisori, invece, la particolare struttura dei numeri gaussiani cambia molto le cose; in particolare per |n| > 1 ln è multiplo di 2 – i, quindi composto (Jordan, 1965).

 

La tabella seguente mostra i numeri di Lucas gaussiani fino a l20.

n

ln

0

2 – i

1

1 + 2i

2

3 + i

3

4 + 3i

4

7 + 4i

5

11 + 7i

6

18 + 11i

7

29 + 18i

8

47 + 29i

9

76 + 47i

10

123 + 76i

11

199 + 123i

12

322 + 199i

13

521 + 322i

14

843 + 521i

15

1364 + 843i

16

2207 + 1364i

17

3571 + 2207i

18

5778 + 3571i

19

9349 + 5778i

20

15127 + 9349i

 

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