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Reciproco di Fibonacci (costante del)

Sequenze  Teoria dei numeri 

E’ chiamata “costante del reciproco di Fibonacci” la somma Formula per la definizione della costante del reciproco di Fibonacci, dove Fn è l’n-esimo numero di Fibonacci.

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione della costante del reciproco di Fibonacci.

 

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante del reciproco di Fibonacci (Benoit Cloitre, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

La costante si può anche calcolare come Formula per il calcolo della costante del reciproco di Fibonacci e come Formula per il calcolo della costante del reciproco di Fibonacci.

 

Data una ricorrenza del tipo an = ran – 1 ± an – 2, esistono costanti c1, c2, α e β tali che i termini generali si possono calcolare come an = c1αn + c2βn; Richard André-Jeannin dimostrò nel 1989 che se r, a0 e a1 sono interi non nulli, con |α| > |β|, c1c2 ≠ 0, Serie che coinvolge numeri di Fibonacci generalizzati e ha valore irrazionale è un numero irrazionale per x intero non nullo, |x| < |α| e |c1c2x2| < |α|.

In particolare sono quindi irrazionali la costante del reciproco di Fibonacci, come avevano supposto Paul Erdös, Ronald Graham, e Leonard Carlitz, e Serie che coinvolge numeri di Lucas e ha valore trascendente, poi dimostrata trascendente da Y. Nesterenko nel 1996.

La costante del reciproco di Fibonacci era già stata dimostrata irrazionale da Marc Prévost nel 1977 ed è per questo talvolta chiamata “costante di Prévost”.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della somma dei reciproci dei numeri di Lucas (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

Nel 2003 Tapani Matala-Aho e Marc Prévost dimostrarono che sono irrazionali Serie che coinvolge numeri di Fibonacci e ha valore irrazionale e Serie che coinvolge numeri di Lucas e ha valore irrazionale, per x intero non nullo, a e b interi non nulli e primi tra loro e ab.

Vedi anche

Numeri di Fibonacci.

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