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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Sono state compiute ricerche anche sulla rappresentazione delle potenze in varie basi.

 

Un numero di n cifre può essere una n-esima potenza, come 16 = 42 e 125 = 53; tuttavia gli interi di questo genere sono in numero finito in qualsiasi base. Il massimo in base 2 è 11 = 12 e in base b maggiore di 2 è Massima n-esima potenza di n cifre in base b; in particolare in base 10 è 921 = 109418989131512359209.

 

In qualsiasi base b e per qualsiasi intero n maggiore di 1 e non potenza di b, esistono infinite potenze di n con esponente maggiore di 1, che rappresentate in base b inizino con una sequenza fissata di cifre (per la dimostrazione v. Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, citato nella bibliografia).

 

La tabella riporta gli esponenti delle minime potenze (esclusa la prima) degli interi da 2 a 19 che inizino con le cifre da 1 a 9 in base 10.

Base \ Cifra

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

8

5

2

9

6

46

3

53

3

9

3

18

14

10

8

6

4

2

4

2

4

39

6

51

3

23

53

78

5

3

2

5

11

24

4

7

50

10

6

4

3

2

6

87

10

5

41

176

7

5

4

3

2

8

14

20

7

13

8

8

6

5

4

3

2

22

11

21

9

16

12

9

7

5

4

3

2

22

11

2

8

12

15

17

19

21

22

24

12

2

4

7

8

9

10

11

12

25

13

1

3

5

6

15

7

25

8

26

14

2

3

4

11

5

26

6

20

34

15

1

2

3

15

4

16

5

11

17

16

5

2

22

3

28

4

14

29

39

17

5

2

11

3

12

8

69

4

13

18

4

13

2

22

3

7

19

31

39

19

4

5

2

6

17

3

14

7

25

 Notate che le cifre maggiori richiedono in media esponenti più alti: è una conseguenza della legge di Benford, secondo la quale in qualsiasi base b maggiore di 2 la probabilità che le prime cifre di una potenza di k formino il numero n, se b e k non sono l’uno potenza dell’altro, è Logaritmo in base b di (n + 1) / n.

Per esempio, la probabilità che le prime cifre di una potenza di 2 in base 5 siano 115 = 6 è Logaritmo in base 5 di 7 / 6. Da notare che la probabilità è indipendente da k (per la dimostrazione v. Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, citato nella bibliografia).

 

Vi sono solo tre interi tali che due loro potenze con esponente maggiore di 1 contengano insieme tutte le 10 cifre esattamente una volta: 2, 18 e 69. Infatti:

  • 22 = 4 e 229 = 536870912;

  • 183 = 5832 e 184 = 104976;

  • 692 = 4761 e 693 = 328509.

Vi sono solo due interi tali che due loro potenze con esponente maggiore di 1 contengano insieme tutte le 10 cifre esattamente due volte: 1638 e 6534. Infatti:

  • 16382 = 2683044 e 16384 = 7198725105936;

  • 65342 = 42693156 e 65343 = 278957081304.

 

Per qualsiasi base b ed esponente k, i numeri n tali che la somma delle cifre della loro potenza k-esima sia uguale a n sono in numero finito.

Infatti un numero n ha in base b al massimo logbn + 1 cifre e la sua potenza k-esima ne ha al massimo k(logbn + 1), pertanto la somma delle cifre è al massimo k(b – 1)(logbn + 1). La differenza tra n e questo valore tende a infinito, quindi per n abbastanza grande la somma delle cifre della potenza sarà sempre inferiore a n.

La tabella mostra i numeri uguali alla somma delle cifre della potenza k-esima, in base da 2 a 10, escludendo i casi banali 0 e 1.

k \ b

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2, 4, 5

3

1, 4, 8

5, 10

3, 4, 6, 9, 12

7

8

9

3

4, 8

2, 6, 7, 9, 10

3, 8, 9, 12, 13

9, 11, 15, 16

2, 4, 8, 9, 11, 12, 15, 16

6, 13, 14

3, 7, 15, 16, 23, 32

8, 17, 18, 26, 27

4

3, 5

4

3, 7, 9, 13

4, 9, 12, 13, 16

16, 20, 26

10, 12, 16, 18, 19, 24, 25

2, 4, 15, 25

17, 32

7, 22, 25, 28, 36

5

6, 7, 9

10

2, 10

11, 16, 23, 24

19, 21, 22, 25, 28

19, 22, 26, 29, 30, 33

14, 22

3, 21, 25, 33, 35, 47

28, 35, 36, 46

6

6

10

29

1, 5, 21

24. 25, 27, 31, 40

22, 29, 35

16, 24

18, 45, 54, 64

7

6, 14, 17, 22

2, 6, 25, 17, 31

27, 29, 31, 32, 33, 36

39, 45, 46

25, 37, 38, 48, 51

2, 4, 12, 20, 28, 29, 34, 36, 37, 42, 45, 49, 53

3, 49, 53, 59, 61, 79

18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68

8

6, 14, 17

12, 15, 20, 23, 25

22

29

41, 45, 46

34

43

17, 48, 49

46, 54, 63

9

12, 25, 31, 34, 38

2, 12, 22, 26, 29, 30, 31, 39

20, 48, 51, 57

24, 25, 31, 52, 53

30, 45, 58, 60, 80

49, 55, 85

3, 40, 57, 65, 73, 77, 80, 85, 95

54, 71, 81

10

13, 15, 23

24

33, 37

40, 49, 72

46, 50

27, 51, 57

2, 4, 63, 67, 78

97

1, 82, 85, 94, 97, 106, 117

Come si vede, esistono esempi per quasi tutte le potenze in ogni base, tuttavia per ogni base sembra esserci qualche potenza per la quale nessun numero soddisfa il requisito. La tabella seguente riporta la minima potenza per la quale questo accade, nelle basi da 2 a 10.

Base

Potenza

2

2

3

6

4

12

5

16

6

20

7

94

8

18

9

24

10

105

 

La somma delle cifre di 9019 = 13508517176729920890000000000000000000, 9020 = 1215766545905692880100000000000000000000, 9021 = 109418989131512359209000000000000000000000 e 9022 = 9847709021836112328810000000000000000000000 è 90; non si conosce alcun altro intero che abbia 4 potenze consecutive con la somma delle cifre uguale al numero stesso. Sono state esaminate le basi fino a 8000 e le potenze fino a 2000 cifre (Brian Trial, 2002).

 

Su Mathematical Diamonds (v. la bibliografia) si trova una semplice dimostrazione del fatto che in un intero di almeno 16 cifre si trova una sequenza di cifre (eventualmente ridotta a una sola cifra), il prodotto delle quali è un quadrato.

La dimostrazione si può generalizzare a una qualsiasi base b e a una qualsiasi potenza n: in un intero di almeno kn cifre in base b, dove kn è il numero di primi inferiori a b, si trova una sequenza di cifre, il prodotto delle quali sia una potenza n-esima. Quindi in base 10 in un numero di almeno 64 cifre si trova una sequenza di cifre il cui prodotto è un cubo, in uno di 256 una sequenza di cifre il cui prodotto è un biquadrato e così via.

Bibliografia

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  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Finch, Steven R.;  Mathematical Constants, Cambridge, Cambridge University Press, 2003.
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    Lezione inaugurale dell'anno 1920 all'Università di Oxford

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Kahan, Steven;  "An Anything-but-average Average" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 31 n. 4, ottobre 2003.
  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Livio, Mario;  Dio è un matematico, Milano, Rizzoli, 2009.
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  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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