Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Un problema antico è trovare una potenza che sia uguale a una somma di potenze con lo stesso esponente; il compito in generale non è difficile, se si utilizza un gran numero di potenze uguali a 1: il vero problema è ridurre al minimo il numero di addendi.

 

Dall’antichità si sa che esistono quadrati uguali alla somma di due quadrati. Eulero dimostrò che esistono cubi uguali alla somma di 3 cubi, ma che nessun cubo può essere uguale alla somma di due soli cubi e suppose che valesse una formulazione più generale dell’ultimo teorema di Fermat, cioè che servisse sommare almeno n potenze n-esime per ottenerne un’altra (v. congettura di Eulero).

Nel 1967 però L.J. Lander e T.R. Parkin trovarono un controesempio: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. Controesempi relativi ad altre potenze furono scoperti in seguito.

 

La tabella seguente riporta i minimi casi di potenze uguali a somme di potenze con lo stesso esponente (Manol Iliev, Richard Schroeppel, David W. Wilson, Al Zimmermann, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Esponente

Minima soluzione

Minima soluzione nota col minimo numero di addendi noto

1

21 = 11 + 11

21 = 11 + 11

2

52 = 32 + 42

52 = 32 + 42

3

63 = 33 + 43 + 53

63 = 33 + 43 + 53

4

154 = 44 + 64 + 84 + 94 + 144

4224814 = 958004 + 2175194 + 4145604 (Roger Frye, 1988)

5

125 = 45 + 55 + 75 + 75 + 95 + 115

1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335 (L.J. Lander e T.R. Parkin, 1976)

6

186 = 26 + 56 + 56 + 56 + 76 + 76 + 96 + 96 + 106 + 146 + 176 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

11416 = 746 + 2346 + 4026 + 4746 + 7026 + 8946 + 10776 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

7

407 = 17 + 37 + 57 + 97 + 127 + 147 + 167 + 177 + 187 + 207 + 217 + 227 + 257 + 287 + 397

5687 = 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 (M. Dodrill, 1999)

8

658 = 88 + 88 + 108 + 248 + 248 + 248 + 268 + 308 + 348 + 448 + 528 + 638 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

14098 = 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 12348 (S. Chase e J.-C. Meyrignac)

9

269 = 29 + 29 + 49 + 69 + 69 + 79 + 99 + 99 + 109 + 159 + 189 + 219 + 219 + 239 + 239 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

9179 = 429 + 999 + 1799 + 4759 + 5429 + 5749 + 6259 + 6689 + 8229 + 8519 (J. Wroblewski 2002)

10

1510 = 110 + 110 + 110 + 110 + 110 + 210 + 310 + 610 + 710 + 710 + 710 + 710 + 710 + 710 + 910 + 910 + 910 + 910 + 1010 + 1210 + 1210 + 1310 + 1410 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

22810 = 610 + 1310 + 4910 + 5710 + 5910 + 7310 + 8510 + 12210 + 12810 + 17910 + 18710 + 20410 + 21010 (S. Chase)

11

6811= 411 + 911 + 1411 + 1511 + 1711 + 1811 + 1911 + 2011 + 2111 + 2211 + 2411+ 2711 + 2811 + 3011 + 3111 + 3211 + 3311 + 3611 + 3811 + 3911 + 4511 + 4611 + 4711 + 4911 + 5011 + 5111 + 5311 + 5411 + 5511 + 6511

 

12

8112 = 112 + 512 + 712 + 812 + 912 + 1012 + 2012 + 2112 + 2512 + 2812 + 2912 + 3312 + 3412 + 3612 + 3912 + 4112 + 4412 + 4512 + 4912 + 5112 + 5412 + 5512 + 5712 + 6112 + 6612 + 6812 + 7012 + 7712

 

13

10213 = 113 + 313 + 713 + 913 + 1113 + 1313 + 1413 + 1513 + 1613 + 1813 + 2113 + 2313 + 2413 + 2613 + 2713 + 3013 + 3113 + 3213 + 3313 + 3413 + 3613 + 4113 + 4213 + 4313 + 4413 + 4513 + 4613 + 4713 + 4813 + 5113 + 5213 + 5313 + 5513 + 5613 + 5713 + 5913 + 6013 + 6413 + 6613 + 6713 + 6913 + 7013 + 7113 + 7213 + 7313 + 7413 + 7513 + 7613 + 7713 + 7813 + 7913 + 8013 + 8213 + 8313 + 8613 + 8813 + 8913 + 9013

 

14

9514 = 114 + 214 + 314 + 514 + 1014 + 1214 + 1314 + 1414 + 1814 + 1914 + 2214 + 2414 + 2714 + 2814 + 3114 + 3414 + 3514 + 3614 + 3714 + 3814 + 3914 + 4014 + 4114 + 4214 + 4314 + 4414 + 4814 + 4914 + 5114 + 5214 + 5314 + 5514 + 5714 + 5814 + 5914 + 6214 + 6314 + 6414 + 6514 + 6614 + 7014 + 7214 + 7314 + 7514 + 7714 + 8114 + 8414 + 8614 + 8714

 

15

10415 = 215 + 415 + 615 + 815 + 1015 + 1115 + 1515 + 1615 + 2015 + 2215 + 2315 + 2415 + 2615 + 2915 + 3215 + 3315 + 3515 + 3915 + 4415 + 4715 + 4815 + 4915 + 5015 + 5415 + 5715 + 6215 + 6315 + 6515 + 6815 + 7015 + 7215 + 7515 + 7615 + 7715 + 7815 + 7915 + 8015 + 8115 + 8315 + 8415 + 8515 + 8615 + 8715 + 8815 + 9515 + 9615

 

 

Per altri quadrati uguali alla somma di quadrati v. numeri pitagorici (I).

Per altri cubi uguali alla somma di cubi v. cubi.

Per altri biquadrati uguali alla somma di biquadrati v. biquadrati.

 

Si conoscono tre quinte potenze uguali alla somma di 4 quinte potenze:

  • 1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335 (L.J. Lander e T.R. Parkin, 1976);

  • 2205 + 141325 = 50275 + 62375 + 140685 (B. Scher, E. Seidl 1996);

  • 853595 = 555 + 31835 + 289695 + 852825 (J. Frye, 2004).

 

Si conoscono invece infinite quinte potenze uguali alla somma di 5 quinte potenze, grazie all’identità (75a5 + b5)5 = (75a5b5)5 + (25a5 + b5)5 + (–25a5 + b5)5 + (10a2b3)5 + (50a4b)5, che produce infinite soluzioni, ma non tutte, per qualsiasi coppia di interi positivi a e b; le potenze sono tutte positive se 25^(1 / 5) * a < b < 75^(1 / 5) * a.

 

Si conoscono due seste potenze uguali alla somma di 7 seste potenze:

  • 11416 = 746 + 2346 + 4026 + 4746 + 7026 + 8946 + 10776 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967);

  • 1088056 = 940386 + 855126 + 812216 + 754206 + 658566 + 536766 + 171786 (Greg Childers).

 

La minima sesta potenza uguale alla somma di 8 seste potenze è 2516 = 86 + 126 + 306 + 786 + 1026 + 1386 + 1656 + 2466 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

La minima sesta potenza uguale alla somma di 9 seste potenze è 546 = 16 + 176 + 196 + 226 + 316 + 376 + 376 + 416 + 496 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

La minima sesta potenza uguale alla somma di 10 seste potenze è 396 = 26 + 46 + 76 + 146 + 166 + 266 + 266 + 306 + 326 + 326 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

La minima sesta potenza uguale alla somma di 11 seste potenze è 186 = 26 + 56 + 56 + 56 + 76 + 76 + 96 + 96 + 106 + 146 + 176 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

La minima settima potenza uguale alla somma di 8 settime potenze è 1027 = 127 + 357 + 537 + 587 + 647 + 837 + 857 + 907 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

La minima settima potenza uguale alla somma di 9 settime potenze è 627 = 67 + 147 + 207 + 227 + 277 + 337 + 417 + 507 + 597 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

La minima ottava potenza uguale alla somma di 8 ottave potenze è 14098 = 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 12348 (S. Chase e J.-C. Meyrignac).

La minima ottava potenza uguale alla somma di 9 ottave potenze è 11678 = 1908 + 2718 + 2848 + 3488 + 3668 + 5588 + 5608 + 10408 + 10948 (Nutti Kuosa).

La minima ottava potenza uguale alla somma di 10 ottave potenze è 2358 = 68 + 168 + 448 + 588 + 668 + 1428 + 1528 + 1718 + 1848 + 2268 (Nutti Kuosa).

La minima ottava potenza uguale alla somma di 11 ottave potenze è 1258 = 148 + 188 + 448 + 448 + 668 + 708 + 928 + 938 + 968 + 1068 + 1128 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

La minima ottava potenza uguale alla somma di 12 ottave potenze è 658 = 88 + 88 + 108 + 248 + 248 + 248 + 268 + 308 + 348 + 448 + 528 + 638 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

L’identità (28k + 4 + 1)8 = (28k + 4 – 1)8 + (27k + 4)8 + (2k + 1)8 + 7(25k + 3)8 + 7(23k + 2)8 fornisce infinite ottave potenze uguali alla somma di 17 ottave potenze.

 

La minima nona potenza nota uguale alla somma di 10 none potenze è 9179 = 429 + 999 + 1799 + 4759 + 5429 + 5749 + 6259 + 6689 + 8229 + 8519 (J. Wroblewski 2002).

La minima nona potenza nota uguale alla somma di 11 none potenze è 2529 = 19 + 59 + 89 + 309 + 749 + 879 + 1089 + 1339 + 1679 + 2029 + 2479 (S. Chase).

La minima nona potenza uguale alla somma di 12 none potenze è 1039 = 59 + 139 + 169 + 199 + 429 + 439 + 659 + 689 + 719 + 899 + 919 + 919 (J.-C. Meyrignac, 1997).

Non si conoscono none potenze uguali alla somma di 13 none potenze non nulle.

La minima nona potenza uguale alla somma di 14 none potenze è 669 = 19 + 29 + 79 + 109 + 129 + 219 + 249 + 299 + 359 + 389 + 499 + 519 + 549 + 639 (K.L. Ekl, 1998).

La minima nona potenza uguale alla somma di 15 none potenze è 269 = 29 + 29 + 49 + 69 + 69 + 79 + 99 + 99 + 109 + 159 + 189 + 219 + 219 + 239 + 239 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

La minima decima potenza uguale alla somma di 13 decime potenze è 22810 = 610 + 1310 + 4910 + 5710 + 5910 + 7310 + 8510 + 12210 + 12810 + 17910 + 18710 + 20410 + 21010 (S. Chase).

La minima decima potenza uguale alla somma di 15 decime potenze è 10810 = 110 + 1010 + 1610 + 3310 + 3510 + 4510 + 5210 + 6210 + 6310 + 7610 + 7710 + 7710 + 9110 + 9410 + 10010 (J.-C. Meyrignac, 1999).

La minima decima potenza uguale alla somma di 22 decime potenze è 3310 = 310 + 610 + 710 + 910 + 910 + 1010 + 1010 + 1010 + 1010 + 1010 + 1210 + 1210 + 1310 + 1310 + 1810 + 1910 + 2110 + 2310 + 2610 + 2610 + 3010 + 3010 (K.L. Ekl, 1998).

La minima decima potenza uguale alla somma di 23 decime potenze è 1510 = 110 + 110 + 110 + 110 + 110 + 210 + 310 + 610 + 710 + 710 + 710 + 710 + 710 + 710 + 910 + 910 + 910 + 910 + 1010 + 1210 + 1210 + 1310 + 1410 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

Per contro le due identità (a(an + bn))n + (b(an + bn))n = (an + bn)n + 1 e (2a)n + (2a)n = (2b)k, per bkan = 1, dimostrano che esistono infinite potenze pari alla somma di altre due, con esponente diverso.

 

Una generalizzazione dell’equazione di Fermat (v. ultimo teorema di Fermat) è l’equazione xn + ym = zp, della quale si cercano, fissati gli esponenti, tutti maggiori di 1, le soluzioni con x, y e z interi maggiori di zero e privi di divisori comuni:

 

Un altro problema molto studiato è se una n-esima potenza possa essere la somma di n-esime potenze di interi consecutivi. La risposta è sicuramente sì per somme di interi, quadrati, cubi e quinte potenze, mentre non si conoscono casi con biquadrati o potenze superiori alla quinta.

 

Per somme di interi (ossia con esponente 1) la situazione è semplice:

  • le somme di interi consecutivi a partire da 1 possono essere quadrati, ma non potenze con esponente superiore (v. numeri triangolari);

  • esistono infinite somme di interi consecutivi uguali a potenze con qualsiasi esponente (v. numeri trapezoidali).

 

J.J. Schäffer dimostrò nel 1956 che le uniche combinazioni di esponenti maggiori di 1 per i quali esistano infiniti casi nei quali la somma di potenze consecutive con lo stesso esponente a partire da 1 sia una potenza sono:

  • Somma di interi consecutivi uguale a un quadrato, corrispondenti agli infiniti numeri triangolari che sono quadrati (v. numeri triangolari, numeri figurati);

  • Somma di cubi consecutivi uguale a un quadrato, corrispondenti alle somme di cubi consecutivi a partire da 1, che sono quadrati di numeri triangolari;

  • Somma di cubi consecutivi uguale a un biquadrato, corrispondenti alle somme di cubi consecutivi a partire da 1, che sono quadrati dei numeri triangolari, che sono a loro volta quadrati (v. numeri triangolari);

  • Somma di quinte potenze consecutive, dove la somma è un quadrato se 2n2 + 2n – 1 è il triplo di un quadrato, cioè se Formula per interi n tali che 2 * n^2 + 2 * n – 1 sia il triplo di un quadrato, nel qual caso la somma è Formula per la somma di quinte potenze consecutive uguale a un quadrato.

Nel 1956 J.J. Schäffer dimostrò che, per m e r fissati, le soluzioni dell’equazione Somma di potenze r-esime degli interi da 1 a n uguale a una potenza m-esima oltre a quelle elencate sono in numero finito e avanzò la congettura che l’unica altra soluzione con n > 1 sia Somma dei quadrati degli interi da 1 a 24 uguale al quadrato di 70, corrispondente all’unico numero piramidale (I) che sia un quadrato. M.J. Jacobson, Ákos Pintér e P.G. Walsh dimostrarono nel 2003 che l’equazione Somma dei quadrati degli interi da 1 a n uguale a una potenza non ha altre soluzioni non banali per m pari fino a 58 e Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 che l’equazione Somma di potenze degli interi da 1 a n uguale a una potenza non ha altre soluzioni non banali per m fino a 11 e qualsiasi r.

 

Per somme di quadrati consecutivi uguali a un quadrato v. quadrati.

Per somme di cubi consecutivi uguali a una potenza v. cubi.

Non si conoscono somme di potenze consecutive con esponente maggiore di 3 uguali a una potenza, oltre alle somme di quinte potenze indicate sopra. Se esistono, l’esponente è maggiore di 10 oppure (M. Fiorentini, 2020):

  • per esponente uguale a 4 o 5 almeno una delle basi è maggiore di 105;

  • per esponente uguale a 6 almeno una delle basi è maggiore di 104;

  • per esponente uguale a 7, 8, 9 o 10 almeno una delle basi è maggiore di 103.

 

E’ poco probabile che esista una n-esima potenza uguale alla somma delle n-esime potenze di tutti gli interi inferiori, tranne il caso 11 + 21 = 31; v. congettura di Erdös sulle somme di potenze.

 

Un problema solo parzialmente risolto è determinare in quali casi la somma delle potenze successive di un intero a partire da 1 sia una potenza; sappiamo infatti in quali casi la somma sia una potenza con esponente fino a 4. E’ opinione diffusa che la somma non possa essere una potenza con esponente 5 o superiore, ma non è stato dimostrato; fissato l’esponente, le soluzioni sarebbero comunque in numero finito.

Più precisamente, sulle soluzioni dell’equazione Somma delle potenze di n con esponente da 0 a m uguale a una potenza sappiamo che:

  • 1 + n + n2 è una potenza per n intero solo se n è –1, 0, 18 o –19 (T. Nagell, 1921);

  • 1 + n + n2 + n3 è un quadrato per n intero solo se n è –1, 0, 1 o 7 (Gerono, 1877);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a 2 * m + 1 è un quadrato per |n| > 1 solo nel caso 1 + 7 + 72 + 73 = 400 = 202 (T. Nagell, 1921);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a 2 * m è un quadrato per |n| > 1 solo nel caso 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 = 112 (W. Ljiunggren, 1943);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a m è un cubo per |n| > 1 solo nei casi 1 + 18 + 182 = 343 = 73 e 1 – 19 + (–19)2 = 343 = 73 (W. Ljiunggren, 1943);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a m per |n| > 1 e m > 1 non è una potenza, tranne nei casi citati sopra, se m + 1 è multiplo di 3 o 4 (Nagell, 1920);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a m per n > 1 e m > 1 non è una potenza p-esima (con p primo) se n è multiplo di p, ma non di p2 (D. Suryanarayana, 1967);

  • Somma delle potenze di n con esponente da 0 a m per n > 1 e m > 2 non è un primo di Fermat o una sua potenza (D. Suryanarayana, 1967);

  • se il numero di fattori primi distinti di m + 1 è maggiore di r + 2, le soluzioni sono in numero finito (T.N. Shorey, 1986).

 

Nel 2007 Yann e Bugeaud Preda Mihăilescu dimostrarono che se esistono altre soluzioni con n > 1 e m > 1, oltre a quelle sopra menzionate:

  • il minimo fattore primo di m + 1 è almeno 29;

  • m + 1 ha al più 4 fattori primi, non necessariamente distinti;

  • se r divide m + 1, allora r = m + 1;

  • n ≥ 106;

  • n ≥ 2x + 1.

 

La ricerca di somme di potenze a partire da potenze maggiori di 1 uguali a una potenza si riconduce alla ricerca di somme di potenze a partire da 1 uguali a una potenza. Infatti, se Somma delle potenze di n con esponente da a a b uguale a una potenza m-esima è una potenza m-esima, allora rm è multiplo di na e non di una potenza maggiore di n, quindi rm = smna, con s e n primi tra loro e Somma delle potenze di n con esponente da a a b uguale a una potenza m-esima. Viceversa se Somma delle potenze di n con esponente da 0 a b uguale a una potenza m-esima, allora Somma delle potenze di n con esponente da a * m a b + a * m uguale a una potenza m-esima, per a > 0. In particolare esistono infinite soluzioni con due addendi, perché se n + 1 = km è una potenza m-esima, anche nam + 1 + nam = (nak)m lo è.

 

Sul fronte opposto nel 2000 Browkin dimostrò che se è vera la congettura “abc”, esistono infinite somme somme di potenze consecutive a partire da 1 di qualsiasi intero, che non sono multipli di un quadrato.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Beeckmans, Laurent;  "Squares expressible as sum of consecutive squares" in American Mathematical Monthly, n. 101, 1994, pag. 437 – 442.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Finch, Steven R.;  Mathematical Constants, Cambridge, Cambridge University Press, 2003.
  • Fuller, Chris;  Nichols, Robert H. Jr.;  "Generalized Anti-Waring Numbers" in Journal of Integer Sequences, Vol. 18, 2015.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 135, novembre 1979, pag. 170 – 174.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Some Famous Problems of the Theory of Numbers. -

    Lezione inaugurale dell'anno 1920 all'Università di Oxford

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

  • Kahan, Steven;  "An Anything-but-average Average" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 31 n. 4, ottobre 2003.
  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
  • Livio, Mario;  Dio è un matematico, Milano, Rizzoli, 2009.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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