Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Una domanda alla quale non si conosce risposta è se ogni intero sia esprimibile come differenza tra due potenze e se sia possibile farlo solo in un numero finito di modi. Fissati gli esponenti, le rappresentazioni sono in numero finito, ma il problema generale, ossia la congettura di Pillai, è tuttora aperto.

Tutti e soli gli interi che non siano della forma 4k + 2 si possono esprimere come differenza di quadrati (v. quadrati). Per molti interi della forma 4k + 2 non si conosce invece una rappresentazione come differenza di potenze e in alcuni casi gli esperti sospettano che non esista.

 

La tabella seguente mostra tutte le possibili espressioni di interi fino a 1000 come differenza di potenze inferiori a 1027 (M. Fiorentini, 2019).

Intero

Differenze di potenze

1

1n – 0n, 32 – 23

2

33 – 52

3

22 – 1n, 27 – 53

4

22 – 0n, 23 – 22, 62 – 25, 53 – 112

5

32 – 22, 25 – 33

6

-

7

23 – 1n, 24 – 32, 25 – 52, 27 – 112, 215 – 1812

8

23 – 0n, 32 – 1n, 24 – 23, 3122 – 463

9

32 – 0n, 52 – 24, 62 – 33, 152 – 63, 2532 – 403

10

133 – 37

11

33 – 24, 62 – 52, 562 – 55, 153 – 582

12

24 – 22, 472 – 133

13

72 – 62, 28 – 35, 173 – 702

14

-

15

24 – 1n, 26 – 72, 11382 – 1093

16

24 – 0n, 52 – 32, 25 – 24, 122 – 27

17

52 – 23, 72 – 25, 34 – 26, 34 – 26, 232 – 29, 2822 – 433, 3752 – 523, 3786612 – 52343

18

33 – 32, 35 – 152, 192 – 73

19

33 – 23, 102 – 34, 122 – 53, 73 – 182, 555 – 224342

20

62 – 24, 63 – 142

21

52 – 22, 112 – 102

22

72 – 33, 472 – 37

23

33 – 22, 25 – 32, 122 – 112, 211 – 452

24

52 – 1n, 25 – 23, 72 – 52, 210 – 103, 7368442 – 81583

25

52 – 0n, 53 – 102, 132 – 122

26

33 – 1n, 353 – 2072, 25372 – 235

27

33 – 0n, 62 – 32, 142 – 132, 35 – 63

28

25 – 22, 62 – 23, 26 – 62, 27 – 102, 29 – 222, 373 – 154, 217 – 3622

29

152 – 142

30

832 – 193

31

25 – 1n, 28 – 152

32

25 – 0n, 62 – 22, 26 – 25, 34 – 72, 65 – 882

33

72 – 24, 172 – 28

34

-

35

62 – 1n, 182 – 172, 113 – 64

36

62 – 0n, 102 – 26, 102 – 26, 422 – 123

37

26 – 33, 192 – 182, 37882 – 315

38

372 – 113

39

26 – 52, 202 – 192, 103 – 312, 223 – 1032

40

72 – 32, 112 – 34, 28 – 63, 143 – 522

41

72 – 23, 132 – 27, 212 – 202

42

-

43

222 – 212

44

53 – 34, 122 – 102, 132 – 53

45

72 – 22, 34 – 62, 232 – 222, 213 – 962

46

172 – 35

47

27 – 34, 63 – 132, 35 – 142, 242 – 232, 123 – 412, 633 – 5002

48

72 – 1n, 26 – 24, 132 – 112, 283 – 1482

49

72 – 0n, 34 – 25, 54 – 242, 653 – 5242

50

-

51

102 – 72, 262 – 54

52

142 – 122

53

36 – 262, 293 – 1562

54

34 – 33, 73 – 172

55

26 – 32, 282 – 36, 282 – 36, 563 – 4192

56

26 – 23, 34 – 52, 152 – 132, 183 – 762

57

112 – 26, 112 – 26, 202 – 73, 292 – 282

58

-

59

302 – 292

60

26 – 22, 28 – 142, 1363 – 15862, 765 – 503542

61

53 – 26, 53 – 26, 312 – 302

62

-

63

26 – 1n, 122 – 34, 210 – 312, 5683 – 135372

64

26 – 0n, 102 – 62, 27 – 26, 27 – 26, 172 – 152, 242 – 29

65

34 – 24, 332 – 210, 332 – 210, 532 – 143, 141132 – 5843

66

-

67

342 – 332, 233 – 1102

68

102 – 25, 142 – 27, 182 – 28, 462 – 211, 18742 – 1523

69

132 – 102, 352 – 342

70

-

71

142 – 53, 29 – 212, 64 – 352, 37 – 462

72

34 – 32, 112 – 72, 63 – 122, 192 – 172

73

34 – 23, 102 – 33, 172 – 63, 372 – 64, 6112 – 723, 67172 – 3563

74

35 – 132, 993 – 9852

75

102 – 52, 142 – 112, 382 – 372

76

53 – 72, 202 – 182, 1013 – 10152

77

34 – 22, 392 – 382

78

-

79

27 – 72, 402 – 392, 203 – 892, 3022 – 453

80

34 – 1n, 122 – 26, 122 – 26, 212 – 192, 2922 – 443

81

34 – 0n, 152 – 122, 182 – 35, 412 – 402, 133 – 462

82

-

83

422 – 412, 39 – 1402

84

102 – 24, 222 – 202

85

112 – 62, 432 – 422

86

-

87

28 – 132, 73 – 28, 442 – 432

88

132 – 34, 63 – 27, 232 – 212

89

112 – 25, 53 – 62, 332 – 103, 452 – 442, 912 – 213, 4082 – 553

90

-

91

102 – 32, 63 – 53, 462 – 452

92

102 – 23, 27 – 62, 242 – 222, 213 – 902

93

53 – 25, 172 – 142, 472 – 462, 1302 – 75

94

112 – 33, 4212 – 311

95

122 – 72, 63 – 112, 482 – 472, 67 – 234

96

102 – 22, 112 – 52, 27 – 25, 142 – 102, 54 – 232

97

152 – 27, 74 – 482, 772 – 183

98

53 – 33, 212 – 73

99

102 – 1n, 35 – 122, 182 – 152, 502 – 74

100

102 – 0n, 53 – 52, 152 – 53, 73 – 35, 262 – 242, 103 – 302, 55 – 552, 902 – 203, 1182 – 243, 343 – 1982, 1371902 – 26603

 

Gli interi fino a 1000 per i quali non si conosce una rappresentazione come differenza di potenze sono: 6, 14, 34, 42, 50, 58, 62, 66, 70, 78, 82, 86, 90, 102, 110, 114, 130, 134, 158, 178, 182, 202, 206, 210, 226, 230, 238, 246, 254, 258, 266, 274, 278, 290, 302, 306, 310, 314, 322, 326, 330, 358, 374, 378, 390, 394, 398, 402, 410, 418, 422, 426, 430, 434, 438, 442, 446, 450, 454, 458, 462, 466, 470, 474, 478, 482, 494, 510, 514, 522, 526, 530, 534, 538, 542, 554, 558, 562, 570, 578, 590, 606, 610, 614, 626, 630, 634, 642, 646, 650, 654, 658, 662, 670, 682, 690, 698, 714, 722, 738, 742, 750, 754, 758, 762, 770, 778, 786, 790, 794, 798, 810, 822, 826, 830, 842, 854, 858, 862, 870, 874, 886, 898, 902, 910, 918, 922, 926, 942, 946, 950, 958, 966, 978, 986, 990, 994, 998.

 

Gli interi fino a 1000 per i quali si conosce una sola rappresentazione come differenza di potenze maggiori di zero sono: 1, 2, 10, 29, 30, 38, 43, 46, 52, 59, 122, 126, 138, 142, 146, 150, 154, 166, 170, 173, 181, 190, 194, 214, 222, 234, 263, 270, 282, 283, 298, 317, 318, 332, 338, 342, 347, 349, 354, 361, 370, 379, 382, 383, 386, 406, 419, 428, 436, 461, 467, 479, 484, 486, 490, 491, 498, 502, 509, 518, 523, 529, 546, 550, 566, 569, 571, 574, 582, 586, 594, 607, 613, 619, 638, 641, 643, 653, 661, 666, 677, 678, 686, 691, 694, 709, 710, 726, 730, 733, 734, 746, 773, 774, 787, 788, 806, 811, 814, 818, 827, 834, 838, 839, 853, 877, 878, 881, 883, 894, 906, 907, 911, 930, 934, 938, 941, 947, 956, 962, 970, 974, 982, 983.

 

Se si ammettono basi negative, vi sono alcune rappresentazioni in più; la tabella seguente mostra tutte le possibili espressioni di interi fino a 100 come differenza di due potenze, con una delle basi negativa.

Intero

Differenze di potenze

5

22 – (–1)n

9

23 – (–1)n

10

32 – (–1)n

12

22 – (–2)3

16

23 – (–2)3

17

24 – (–1)n, 32 – (–2)3

24

24 – (–2)3

26

52 – (–1)n

28

33 – (–1)n

31

22 – (–3)3

33

25 – (–1)n, 52 – (–2)3

35

33 – (–2)3

35

23 – (–3)3

36

32 – (–3)3, 22 – (–2)5

37

62 – (–1)n

40

25 – (–2)3, 23 – (–2)5

41

32 – (–2)5

43

24 – (–3)3

44

62 – (–2)3

48

24 – (–2)5

50

72 – (–1)n

52

52 – (–3)3

54

33 – (–3)3

57

72 – (–2)3, 52 – (–2)5

59

25 – (–3)3, 33 – (–2)5

63

62 – (–3)3

64

25 – (–2)5

65

26 – (–1)n

68

62 – (–2)5, 22 – (–4)3

72

26 – (–2)3, 23 – (–4)3

73

32 – (–4)3

76

72 – (–3)3

80

24 – (–4)3

81

72 – (–2)5

82

34 – (–1)n

89

34 – (–2)3, 52 – (–4)3

91

26 – (–3)3, 33 – (–4)3

96

26 – (–2)5, 25 – (–4)3

100

62 – (–4)3

 

Accettando potenze con base negativa si eliminano dal precedente elenco di interi non rappresentabili i numeri: 50, 82, 206, 226, 246, 290, 442, 626, 654, 738, 750, 754, 778, 810, 842, 854, 898, 966.

 

Analogamente accettando basi negative o nulle, dall’elenco dei numeri rappresentabili in un solo modo bisogna eliminare 2, 43, 52, 59, 122, 126, 150, 170, 270, 283, 332, 347, 361, 370, 379, 484, 486, 529, 569, 586, 643, 677, 686, 730, 733, 811, 827, 962.

 

Esistono identità che permettono di esprimere alcuni numeri come differenza tra un quadrato e un cubo in funzione di un unico parametro, ma nessuna genera tutti i casi possibili. Per esempio: Formula per esprimere interi positivi come differenza tra un quadrato e un cubo permette di esprimere infiniti interi per n dispari, il minimo dei quali è 17.

 

Nel 1936 Herschfeld dimostrò che per |d| abbastanza grande 2x – 3y = d ha al massimo una soluzione, ma questo non vale per d piccolo; la tabella mostra tutte le soluzioni con |d| ≤ 10.

d

x

y

–7

1

2

–5

2

2

–1

1

1

–1

3

2

1

2

1

5

3

1

5

5

3

7

4

2

13

4

1

13

8

5

 

Pillai estese in seguito la dimostrazione a qualsiasi coppia di basi, al posto di 2 e 3.

Herschfeld dimostrò anche che se x > 8 o y > 5, |d| > 100.

Pillai determinò i numeri esprimibili in più modi come somma o differenza di potenze di 2 e 3, dimostrando che esistono solo le seguenti soluzioni.

2x – 3y = 2r – 3s

2x – 3y = 3r – 2s

2x + 3y = 2r – 3s

2x + 3y = 3r – 2s

–1 = 2 – 3 = 23 – 32

1 = 22 – 3 = 3 – 2 = 32 – 23

5 = 2 + 3 = 23 – 3 = 25 – 33

5 = 2 + 3 = 32 – 22

5 = 23 – 3 = 25 – 33

5 = 23 – 3 = 25 – 33 = 32 – 22

7 = 22 + 3 = 24 – 32

7 = 22 + 3 = 32 – 2

13 = 24 – 3 = 28 – 35

7 = 24 – 32 = 32 – 2

13 = 22 + 32 = 24 – 3

11 = 2 + 32 = 23 + 3 = 33 – 24

 

23 = 25 – 32 = 33 – 22

29 = 2 + 33 = 25 – 3

17 = 23 + 32 = 34 – 26

 

 

247 = 22 + 35 = 28 – 32

19 = 24 + 3 = 33 – 23

 

 

 

25 = 24 + 32 = 33 – 2

 

 

 

73 = 26 + 32 = 34 – 23

 

Per le differenze di potenze vale la formula Formula per le differenze di potenze, dove Formula per una radice n-esima dell’unità è una radice n-esima dell’unità.

 

Ogni intero si può rappresentare come somma o differenza di 3 quadrati distinti (v. quadrati).

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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