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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze
  6. 6. In costruzione.
  7. 7. Potenze uguali a somme di potenze

Un problema antico è trovare una potenza che sia uguale a una somma di potenze con lo stesso esponente; il compito in generale non è difficile, se si utilizza un gran numero di potenze uguali a 1: il vero problema è ridurre al minimo il numero di addendi.

 

Dall’antichità si sa che esistono quadrati uguali alla somma di due quadrati. Eulero dimostrò che esistono cubi uguali alla somma di 3 cubi, ma che nessun cubo può essere uguale alla somma di due soli cubi e suppose che valesse una formulazione più generale dell’ultimo teorema di Fermat, cioè che servisse sommare almeno n potenze n-esime per ottenerne un’altra (v. congettura di Eulero).

Nel 1967 però L.J. Lander e T.R. Parkin trovarono un controesempio: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. Controesempi relativi ad altre potenze furono scoperti in seguito.

 

La tabella seguente riporta i minimi casi di potenze uguali a somme di potenze con lo stesso esponente (Manol Iliev, Richard Schroeppel, David W. Wilson, Al Zimmermann, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Esponente

Minima soluzione

Minima soluzione nota col minimo numero di addendi noto

1

21 = 11 + 11

21 = 11 + 11

2

52 = 32 + 42

52 = 32 + 42

3

63 = 33 + 43 + 53

63 = 33 + 43 + 53

4

154 = 44 + 64 + 84 + 94 + 144

4224814 = 958004 + 2175194 + 4145604 (Roger Frye, 1988)

5

125 = 45 + 55 + 75 + 75 + 95 + 115

1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335 (L.J. Lander e T.R. Parkin, 1976)

6

256 = 16 + 26 + 36 +56 + 66 + 76 + 86 + 96 + 106 + 126 + 136 + 156 + 166 + 176 + 186 + 236

11416 = 746 + 2346 + 4026 + 4746 + 7026 + 8946 + 10776 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

7

407 = 17 + 37 + 57 + 97 + 127 + 147 + 167 + 177 + 187 + 207 + 217 + 227 + 257 + 287 + 397

5687 = 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 (M. Dodrill, 1999)

8

848 = 18 + 28 + 38 + 58 + 78 + 98 + 108 + 118 + 128 + 138 + 148 + 158 + 168 + 178 + 188 + 198 + 218 + 238 + 248 + 258 + 268 + 278 + 298 + 328 + 338 + 358 + 378 + 388 + 398 + 418 + 428 + 438 + 458 + 468 + 478 + 488 + 498 + 518 + 528 + 538 + 578 + 588 + 598 + 618 + 638 + 698 + 738

14098 = 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 12348 (S. Chase e J.-C. Meyrignac)

9

479 = 19 + 29 + 49 + 79 + 119 + 149 + 159 + 189 + 269 + 279 + 309 + 319 + 329 + 339 + 369 + 389 + 399 + 439

9179 = 429 + 999 + 1799 + 4759 + 5429 + 5749 + 6259 + 6689 + 8229 + 8519 (J. Wroblewski 2002)

10

6310 = 110 + 210 + 410 + 510 + 610 + 810 + 1210 + 1510 + 1610 + 1710 + 2010 + 2110 + 2510 + 2610 + 2710 + 2810 + 3010 + 3610 + 3710 + 3810 + 4010 + 5110 + 6210

22810 = 610 + 1310 + 4910 + 5710 + 5910 + 7310 + 8510 + 12210 + 12810 + 17910 + 18710 + 20410 + 21010 (S. Chase)

11

6811= 411 + 911 + 1411 + 1511 + 1711 + 1811 + 1911 + 2011 + 2111 + 2211 + 2411+ 2711 + 2811 + 3011 + 3111 + 3211 + 3311 + 3611 + 3811 + 3911 + 4511 + 4611 + 4711 + 4911 + 5011 + 5111 + 5311 + 5411 + 5511 + 6511

 

12

8112 = 112 + 512 + 712 + 812 + 912 + 1012 + 2012 + 2112 + 2512 + 2812 + 2912 + 3312 + 3412 + 3612 + 3912 + 4112 + 4412 + 4512 + 4912 + 5112 + 5412 + 5512 + 5712 + 6112 + 6612 + 6812 + 7012 + 7712

 

13

10213 = 113 + 313 + 713 + 913 + 1113 + 1313 + 1413 + 1513 + 1613 + 1813 + 2113 + 2313 + 2413 + 2613 + 2713 + 3013 + 3113 + 3213 + 3313 + 3413 + 3613 + 4113 + 4213 + 4313 + 4413 + 4513 + 4613 + 4713 + 4813 + 5113 + 5213 + 5313 + 5513 + 5613 + 5713 + 5913 + 6013 + 6413 + 6613 + 6713 + 6913 + 7013 + 7113 + 7213 + 7313 + 7413 + 7513 + 7613 + 7713 + 7813 + 7913 + 8013 + 8213 + 8313 + 8613 + 8813 + 8913 + 9013

 

14

9514 = 114 + 214 + 314 + 514 + 1014 + 1214 + 1314 + 1414 + 1814 + 1914 + 2214 + 2414 + 2714 + 2814 + 3114 + 3414 + 3514 + 3614 + 3714 + 3814 + 3914 + 4014 + 4114 + 4214 + 4314 + 4414 + 4814 + 4914 + 5114 + 5214 + 5314 + 5514 + 5714 + 5814 + 5914 + 6214 + 6314 + 6414 + 6514 + 6614 + 7014 + 7214 + 7314 + 7514 + 7714 + 8114 + 8414 + 8614 + 8714

 

15

10415 = 215 + 415 + 615 + 815 + 1015 + 1115 + 1515 + 1615 + 2015 + 2215 + 2315 + 2415 + 2615 + 2915 + 3215 + 3315 + 3515 + 3915 + 4415 + 4715 + 4815 + 4915 + 5015 + 5415 + 5715 + 6215 + 6315 + 6515 + 6815 + 7015 + 7215 + 7515 + 7615 + 7715 + 7815 + 7915 + 8015 + 8115 + 8315 + 8415 + 8515 + 8615 + 8715 + 8815 + 9515 + 9615

 

 

Per altri quadrati uguali alla somma di quadrati v. numeri pitagorici (I).

Per altri cubi uguali alla somma di cubi v. cubi.

Per altri biquadrati uguali alla somma di biquadrati v. biquadrati.

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