Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. In costruzione
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze

Sommando potenze con esponenti (fissati) diversi bastano meno addendi per rappresentare i numeri naturali, ma stabilire il numero minimo di addendi per ogni combinazione di potenze è un problema difficile e relativamente poco studiato.

 

E.J. Scourfield dimostrò nel 1960 che data una sequenza non decrescente di interi nk maggiori di 1, per ogni m esiste un r tale che tutti gli interi abbastanza grandi possono essere espressi come somma di potenze di esponente nm, nm + 1, … nm + r – 1, se e solo se Somma per k da 1 a infinito di 1 / n(k) è divergente. Per ogni sequenza resta però da stabilire il valore di r e, per valori di r uguali o superiori al minimo, quanti siano i numeri non rappresentabili o se si possano rappresentare tutti i numeri naturali.

 

Dato che con 4 quadrati si possono rappresentare tutti gli interi positivi, viene spontaneo chiedersi se esista qualche combinazione di potenze per la quale bastino 3 addendi.

La risposta è negativa, perché 7, 15 e 23 richiedono sicuramente 4 addendi; ci si può allora chiedere se esista una combinazione di 3 potenze che permetta di rappresentare tutti gli interi positivi, tranne un numero finito di eccezioni.

 

Se la somma dei reciproci degli esponenti non supera 1, esistono infiniti interi non rappresentabili, quindi, per esempio, esistono infiniti interi non rappresentabili come x3 + y3 + z3. Di conseguenza, perche 3 addendi bastino, gli esponenti dovrebbero essere:

  • 2, 2, n, per n qualsiasi;

  • 2, 3, 3,

  • 2, 3, 4,

  • 2, 3, 5.

Nel primo caso, sappiamo che:

  • dato che 3 quadrati non bastano (v. quadrati), n dev’essere dispari; in particolare non è possibile esprimere i quadrati dei primi della forma 8k + 7, come somma di due quadrati e un biquadrato (Rainer Dietmann e Christian Elstoltz);

  • non è possibile esprimere gli interi della forma 216p3, con p primo della forma 4k + 1, come somma di due quadrati e una nona potenza, anche negativa (William C. Jagy e Irving Kaplansky);

  • non è possibile esprimere infiniti interi come somma di due quadrati e una potenza n-esima, anche negativa, per n numero composto dispari (William C. Jagy e Irving Kaplansky).

 

L’unica combinazione promettente sembra essere il primo caso con n = 3; per valori superiori di n i numeri non rappresentabili sembrano essere infiniti, come pure nei casi restanti.

Si conoscono solo 434 interi, il massimo dei quali è 5042631, non rappresentabili come somma di due quadrati e un cubo; William C. Jagy e Irving Kaplansky dimostrarono che non ve ne sono altri minori di 50000000, limite poi portato a 1010 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate gli interi minori di 1010 non rappresentabili come somma di due quadrati e un cubo.

Per eliminare le eccezioni non basterebbe aggiungere un’altra potenza, perché 23 non è rappresentabile come somma di due quadrati, un cubo e una potenza con esponente n maggiore di 2. La tabella seguente mostra i numeri non rappresentabili noti; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2019).

n

Interi non rappresentabili

2

-

3

23

4, 5

23, 71

6

23, 71, 455

7

23, 71, 120

8

23, 71, 455

9 .. 11

23, 71, 120, 312, 455

12 .. 16

23, 71, 120, 312, 455, 2136

> 12

23, 71, 120, 312, 455, 2136, 99295

 

Con 4 addendi esistono varie combinazioni di potenze che possono rappresentare tutti gli interi, con un numero finito di eccezioni.

 

Ogni intero positivo si può rappresentare come somma di 3 quadrati e 1 cubo, eventualmente nulli:

  • se non è della forma 4k(8n + 7), bastano i 3 quadrati (v. quadrati);

  • se è della forma 8n + 7, si utilizza 1 come cubo e il numero restante, della forma 8n + 6, può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • se è della forma 43k(8n + 7) con k > 0, si utilizza 8 come cubo e il numero restante, della forma 4(8n + 6), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati.

  • se è della forma 43k + 1(8n + 7), si utilizza 1 come cubo e il numero restante, della forma (8n + 3), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • se è della forma 43k + 2(8n + 7), si utilizza 8 come cubo e il numero restante, della forma 4(8n + 2), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

La dimostrazione si può estendere a tre quadrati e una potenza con esponente n dispari qualsiasi o minore di 7, però in due casi bisogna sostituire 8 con 2n o 3n:

  • per gli interi della forma 43k + 2(8n + 7) e n dispari, si utilizza 3n come potenza n-esima e il numero restante, della forma 4(8n + 5), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati; dato che 3n > 42 • 7 = 112 per n > 4, vi sono numeri minori di 3n non rappresentabili, perché non si può usare 3n come addendo;

  • per gli interi della forma 43k + 2(8n + 7) e n uguale a 4, 5 e 6, si utilizza 2n come potenza n-esima e il numero restante, della forma rispettivamente 4(8n + 6), 4(8n + 5) e 4(8n + 3), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • per gli interi della forma 43k(8n + 7) con k > 0, si utilizza 3n come potenza n-esima e il numero restante, della forma 4(8n + 6) per n pari e 4(8n + 2) per n dispari, può essere rappresentato come somma di 3 quadrati; dato che 3n > 43 • 7 = 448 per n > 5, vi sono numeri minori di 3n non rappresentabili, perché non si può usare 3n come addendo

 

Gli interi non rappresentabili sono in numero finito, tranne per le potenze con esponente pari maggiore di 6; la tabella seguente mostra gli interi non rappresentabili come somma di tre quadrati e una potenza n-esima, per n fino a 20.

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabili

2

Nessuno

-

3

Nessuno

-

4

Nessuno

-

5

Nessuno

-

6

Nessuno

-

7

17

2160

8

Probabilmente infiniti

-

9

191

19568

10

Probabilmente infiniti

-

11

1816

177136

12

Probabilmente infiniti

-

13

16541

1594304

14

Probabilmente infiniti

-

15

149320

14348784

16

Probabilmente infiniti

-

17

1344880

129140160

18

Probabilmente infiniti

-

19

12106148

1162261440

20

Probabilmente infiniti

-

 

Gli interi non rappresentabili come somma di 3 quadrati e una settima potenza sono: 112, 240, 368, 496, 624, 752, 880, 1008, 1136, 1264, 1392, 1520, 1648, 1776, 1904, 2032, 2160.

Gli interi non rappresentabili come somma di 3 quadrati e una nona potenza sono 112, 240, 368, 448, 496, 624, 752, 880, 960, 1008, 1136, 1264, 1392, 1472, 1520, 1648, 1776, 1904, 1984, 2032, 2160, 2288, 2416, 2496, 2544, 2672, 2800, 2928, 3008, 3056, 3184, 3312, 3440, 3520, 3568, 3696, 3824, 3952, 4032, 4080, 4208, 4336, 4464, 4544, 4592, 4720, 4848, 4976, 5056, 5104, 5232, 5360, 5488, 5568, 5616, 5744, 5872, 6000, 6080, 6128, 6256, 6384, 6512, 6592, 6640, 6768, 6896, 7024, 7104, 7152, 7280, 7408, 7536, 7616, 7664, 7792, 7920, 8048, 8128, 8176, 8304, 8432, 8560, 8640, 8688, 8816, 8944, 9072, 9152, 9200, 9328, 9456, 9584, 9664, 9712, 9840, 9968, 10096, 10176, 10224, 10352, 10480, 10608, 10688, 10736, 10864, 10992, 11120, 11200, 11248, 11376, 11504, 11632, 11712, 11760, 11888, 12016, 12144, 12224, 12272, 12400, 12528, 12656, 12736, 12784, 12912, 13040, 13168, 13248, 13296, 13424, 13552, 13680, 13760, 13808, 13936, 14064, 14192, 14272, 14320, 14448, 14576, 14704, 14784, 14832, 14960, 15088, 15216, 15296, 15344, 15472, 15600, 15728, 15808, 15856, 15984, 16112, 16240, 16320, 16368, 16496, 16624, 16752, 16832, 16880, 17008, 17136, 17264, 17344, 17392, 17520, 17648, 17776, 17856, 17904, 18032, 18160, 18288, 18368, 18416, 18544, 18672, 18800, 18880, 18928, 19056, 19184, 19312, 19392, 19440, 19568.

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