Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Sommando potenze con esponenti (fissati) diversi bastano meno addendi per rappresentare i numeri naturali, ma stabilire il numero minimo di addendi per ogni combinazione di potenze è un problema difficile e relativamente poco studiato.

 

Dato che con 4 quadrati si possono rappresentare tutti gli interi positivi, viene spontaneo chiedersi se esista qualche combinazione di potenze per la quale bastino 3 addendi.

La risposta è negativa, perché 7, 15 e 23 richiedono sicuramente 4 addendi; ci si può allora chiedere se esista una combinazione di 3 potenze che permetta di rappresentare tutti gli interi positivi, tranne un numero finito di eccezioni.

 

Se la somma dei reciproci degli esponenti non supera 1, esistono infiniti interi non rappresentabili, quindi, per esempio, esistono infiniti interi non rappresentabili come x3 + y3 + z3. Di conseguenza, perche 3 addendi bastino, gli esponenti dovrebbero essere:

  • 2, 2, n, per n qualsiasi;

  • 2, 3, 3,

  • 2, 3, 4,

  • 2, 3, 5.

Nel primo caso, sappiamo che:

  • dato che 3 quadrati non bastano (v. quadrati), n dev’essere dispari; in particolare non è possibile esprimere i quadrati dei primi della forma 8k + 7, come somma di due quadrati e un biquadrato (Rainer Dietmann e Christian Elstoltz);

  • non è possibile esprimere gli interi della forma 216p3, con p primo della forma 4k + 1, come somma di due quadrati e una nona potenza, anche negativa (William C. Jagy e Irving Kaplansky);

  • non è possibile esprimere infiniti interi come somma di due quadrati e una potenza n-esima, anche negativa, per n numero composto dispari (William C. Jagy e Irving Kaplansky).

 

L’unica combinazione promettente sembra essere il primo caso con n = 3; per valori superiori di n i numeri non rappresentabili sembrano essere infiniti, come pure nei casi restanti.

Si conoscono solo 434 interi, il massimo dei quali è 5042631, non rappresentabili come somma di due quadrati e un cubo; William C. Jagy e Irving Kaplansky dimostrarono che non ve ne sono altri minori di 50000000, limite poi portato a 1010 (M. Fiorentini, 2015).

Qui trovate gli interi minori di 1010 non rappresentabili come somma di due quadrati e un cubo.

Per eliminare le eccezioni non basterebbe aggiungere un’altra potenza SourceURL:file:///F:\Mauro\Numeri\P_2.doc

Per eliminare le eccezioni non basterebbe aggiungere un’altra potenza con esponente maggiore di 2, perché 23 non è rappresentabile come somma di due quadrati, un cubo e una potenza con esponente maggiore di 2.

 

Con 4 addendi esistono varie combinazioni di potenze che possono rappresentare tutti gli interi, con un numero finito di eccezioni.

 

Ogni intero positivo si può rappresentare come somma di 3 quadrati e 1 cubo, eventualmente nulli:

  • se non è della forma 4k(8n + 7), bastano i 3 quadrati (v. quadrati);

  • se è della forma 8n + 7, si utilizza 1 come cubo e il numero restante, della forma 8n + 6, può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • se è della forma 4(8n + 7) con k > 0, si utilizza 1 come cubo e il numero restante, della forma 4(8n + 3), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • se è della forma 42(8n + 7), si utilizza 8 come cubo e il numero restante, della forma (8n + 2), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati;

  • se è della forma 43k(8n + 7) con k > 0, si utilizza 8 come cubo e il numero restante, della forma 4(8n + 6), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati.

La dimostrazione si può estendere a tre quadrati e una potenza con esponente m dispari qualsiasi per interi abbastanza grandi, con la differenza che per gli interi della forma 4k(8n + 7) con k > 1 si utilizza 3m come potenza m-esima e il numero restante, della forma 4(8n + 5), può essere rappresentato come somma di 3 quadrati. Dato che 3m non si può utilizzare come addendo per interi minori di 3m, vi è un numero finito di interi non rappresentabili con questo metodo; per esempio, 112 non è rappresentabile come somma di 3 quadrati e una settima potenza.

 

Per le potenze con esponente dispari gli interi non rappresentabili sono in numero finito, mentre per quelle con esponente pari maggiore di 6 le eccezioni sono probabilmente infinite.

La tabella seguente mostra gli interi non rappresentabili come somma di tre quadrati e una potenza n-esima, per n fino a 20.

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

2

Nessuno

-

3

Nessuno

-

4

Nessuno

-

5

Nessuno

-

6

Nessuno

-

7

17

2160

8

Probabilmente infiniti

-

9

191

19568

10

Probabilmente infiniti

-

11

1816

177136

12

Probabilmente infiniti

-

13

16541

1594304

14

Probabilmente infiniti

-

15

149320

14348784

16

Probabilmente infiniti

-

17

1344880

129140160

18

Probabilmente infiniti

-

19

12106148

1162261440

20

Probabilmente infiniti

-

 

Gli interi non rappresentabili come somma di 3 quadrati e una settima potenza sono: 112, 240, 368, 496, 624, 752, 880, 1008, 1136, 1264, 1392, 1520, 1648, 1776, 1904, 2032, 2160.

Gli interi non rappresentabili come somma di 3 quadrati e una nona potenza sono 112, 240, 368, 448, 496, 624, 752, 880, 960, 1008, 1136, 1264, 1392, 1472, 1520, 1648, 1776, 1904, 1984, 2032, 2160, 2288, 2416, 2496, 2544, 2672, 2800, 2928, 3008, 3056, 3184, 3312, 3440, 3520, 3568, 3696, 3824, 3952, 4032, 4080, 4208, 4336, 4464, 4544, 4592, 4720, 4848, 4976, 5056, 5104, 5232, 5360, 5488, 5568, 5616, 5744, 5872, 6000, 6080, 6128, 6256, 6384, 6512, 6592, 6640, 6768, 6896, 7024, 7104, 7152, 7280, 7408, 7536, 7616, 7664, 7792, 7920, 8048, 8128, 8176, 8304, 8432, 8560, 8640, 8688, 8816, 8944, 9072, 9152, 9200, 9328, 9456, 9584, 9664, 9712, 9840, 9968, 10096, 10176, 10224, 10352, 10480, 10608, 10688, 10736, 10864, 10992, 11120, 11200, 11248, 11376, 11504, 11632, 11712, 11760, 11888, 12016, 12144, 12224, 12272, 12400, 12528, 12656, 12736, 12784, 12912, 13040, 13168, 13248, 13296, 13424, 13552, 13680, 13760, 13808, 13936, 14064, 14192, 14272, 14320, 14448, 14576, 14704, 14784, 14832, 14960, 15088, 15216, 15296, 15344, 15472, 15600, 15728, 15808, 15856, 15984, 16112, 16240, 16320, 16368, 16496, 16624, 16752, 16832, 16880, 17008, 17136, 17264, 17344, 17392, 17520, 17648, 17776, 17856, 17904, 18032, 18160, 18288, 18368, 18416, 18544, 18672, 18800, 18880, 18928, 19056, 19184, 19312, 19392, 19440, 19568.

 

Un’altra combinazione con la quale sembra possibile rappresentare tutti i numeri naturali è costituita da 2 quadrati, un biquadrato e una sesta potenza; non si conoscono eccezioni, se esistono sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2019). Questo significherebbe che è anche possibile rappresentare tutti i numeri naturali con 2 quadrati, un cubo e un biquadrato.

 

Aumentando il numero di addendi esistono naturalmente varie combinazioni che permettono di rappresentare tutti gli interi positivi, ma si conoscono ben poche dimostrazioni.

 

Tra i risultati notevoli, ogni intero abbastanza grande si può esprimere come somma di:

  • 1 quadrato, 3 cubi e 8 quinte potenze (J. Brüdern, 1987);

  • 1 quadrato, 5 cubi e una potenza n-esima, per ogni valore di n (R.C. Vaughan, 1971);

  • 1 quadrato e 9 quarte potenze (J. Brüdern, 1987);

  • 2 quadrati, 1 cubo e una potenza n-esima, per ogni valore di n (R.C. Vaughan, 1971);

  • 2 quadrati, 2 cubi e 2 biquadrati (R.C. Vaughan, 1971);

  • 2 quadrati e 6 quinte potenze (J. Brüdern, 1987);

  • 2 quadrati e 7 seste potenze (J. Brüdern, 1987);

  • 8 quarte potenze e 8 quinte potenze (J. Brüdern, 1987).

 

Per quanto riguarda il quarto caso, la tabella seguente mostra i gli interi minori di 1010 non rappresentabili come somma di 2 quadrati, un cubo e una potenza n-esima (M. Fiorentini, 2015).

n

Interi non rappresentabili

2

-

3

23

4, 5

23, 71

6

23, 71, 455

7, 8

23, 71, 120

9 .. 11

23, 71, 120, 312, 455

12 .. 16

23, 71, 120, 312, 455, 2136

≥ 17

23, 71, 120, 312, 455, 2136, 99295

 

Per quanto riguarda l’ultimo caso, i numeri noti non rappresentabili come somma di 8 biquadrati e altrettante quinte potenze, ma che richiedono un’unità aggiuntiva, sono: 63, 79, 143, 159, 223, e 239; se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2015).

 

Nei restanti casi non si conoscono eccezioni; se ve ne sono, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2015), quindi forse si potrebbe sostituire “abbastanza grande” con “qualsiasi” e persino ridurre gli addendi; perché tutti gli interi fino a 1010 possono essere rappresentati come (M. Fiorentini, 2015):

  • 1 quadrato, 4 quarte potenze e 5 unità.

  • 1 quadrato, 3 cubi e 2 unità.

  • 2 quadrati, un cubo e due unità;

  • 2 quadrati, 2 quinte potenze e 2 unità;

  • 2 quadrati, 2 seste potenza e 3 unità;

Le unità possono naturalmente essere rimpiazzate da potenze qualsiasi.

 

Alla luce dell’evidenza numerica, ho proposto varie congetture sulla possibilità di rappresentare che tutti i numeri naturali, tranne un numero finito di eccezioni, con varie combinazioni di potenze.

 

E.J. Scourfield dimostrò nel 1960 che data una sequenza non decrescente di interi nk maggiori di 1, per ogni m esiste un r tale che tutti gli interi abbastanza grandi possono essere espressi come somma di potenze di esponente nm, nm + 1, … nm + r – 1, se e solo se Somma per k da 1 a infinito di 1 / n(k) è divergente. Per ogni sequenza resta però da stabilire il valore di r e, per valori di r uguali o superiori al minimo, quanti siano i numeri non rappresentabili e quanti addendi sia necessario aggiungere per rappresentare tutti i numeri naturali.

 

Nel caso della sequenza dei numeri naturali, il limite superiore è stato progressivamente abbassato nell’ultimo mezzo secolo:

  • K.F. Roth dimostrò nel 1951 che iniziando dai quadrati bastano 50 potenze;

  • R.C. Vaughan ridusse tale numero a 30 nel 1970 e a 26 l’anno seguente;

  • K. Tanagasalam ridusse il numero a 22 nel 1980;

  • J. Brüdern lo portò a 18 nel 1987;

  • Kevin B. Ford lo ridusse a 15 nel 1995 e poi a 14.

Kevin B. Ford dimostrò che se si inizia dai cubi bastano 72 potenze (con esponenti consecutivi) e se si inizia dalla n-esima potenza ne bastano n2logn per n abbastanza grande.

L’evidenza sperimentale suggerisce però che bastino molte meno potenze; la tabella seguente mostra le eccezioni inferiori a 1010 per alcune combinazioni di potenze con esponenti crescenti (M. Fiorentini, 2019).

Minimo esponente

Massimo esponente

Numero eccezioni

Massima eccezione

2

5

25

26471

2

6

-

-

3

8

529

1725499

3

9

45

14245

3

10

18

678

3

11

4

486

3

12

-

-

4

11

5204

37936329

4

12

720

254472

4

13

485

6781

4

14

357

5403

4

15

265

5403

4

16

186

4635

4

17

120

2588

4

18

71

1471

4

19

33

1215

4

20

10

687

4

21

1

495

4

22

-

-

5

15

5928

5772976

5

16

3479

162559

5

17

2537

74067

5

18

1888

74067

5

19

1450

33107

5

20

1169

32853

5

21

985

16203

5

22

839

9247

5

23

706

9247

5

24

583

9247

5

25

473

9247

5

26

389

7711

5

27

333

3744

5

28

295

3615

5

29

262

3615

5

30

229

3615

5

31

196

3615

5

32

165

3615

5

33

134

3615

5

34

103

3615

5

35

72

3615

5

36

42

3615

5

37

18

3615

5

38

5

1952

5

39

1

1952

5

40

-

-

 

La tabella seguente mostra il minimo esponente al quale bisogna arrivare per non avere eccezioni inferiori a 1010 per esponenti iniziali fino a 10 (M. Fiorentini, 2019).

Minimo esponente

Massimo esponente

2

6

3

12

4

22

5

40

6

74

7

139

8

267

9

525

10

1037

 

Per altre sequenze non si conoscono limiti precisi.

 

Per gli esponenti pari la tabella seguente mostra le eccezioni inferiori a 1010 per potenze con esponenti crescenti a partire da 2 (M. Fiorentini, 2019).

Massimo esponente

Numero eccezioni

Massima eccezione

12

14786

551830185

14

380

569176

16

93

45672

18

37

3896

20

19

2220

22

11

2220

24

5

560

26

1

560

28

-

-

 

La tabella seguente mostra il minimo esponente al quale bisogna arrivare per non avere eccezioni inferiori a 1010 per esponenti iniziali fino a 6 (M. Fiorentini, 2019).

Minimo esponente

Massimo esponente

2

28

4

838

6

23276

 

Per gli esponenti dispari la tabella seguente mostra le eccezioni inferiori a 1010 per potenze con esponenti crescenti a partire da 3 (M. Fiorentini, 2019).

Massimo esponente

Numero eccezioni

Massima eccezione

23

24033

3978160

25

16973

2111535

27

12607

2028745

29

9595

1886412

31

7495

1886412

33

6018

1853646

35

4932

478419

37

4078

286260

39

3371

261437

41

2782

261437

43

2317

261437

45

1956

170066

47

1667

170066

49

1426

170066

51

1219

170066

53

1052

130986

55

913

130986

57

795

130986

59

700

130986

61

620

130986

63

549

130986

65

482

130986

67

426

130986

69

381

127467

71

345

117004

73

316

117004

75

291

117004

77

269

117004

79

248

34702

81

231

34702

83

215

34702

85

200

34702

87

186

34702

89

172

34702

91

159

23750

93

147

23750

95

137

23750

97

127

23750

99

117

23750

101

108

23750

103

99

23750

105

90

15487

107

82

15487

109

74

15487

111

66

15487

113

58

15487

115

52

15487

117

48

15487

119

44

15487

121

40

15487

123

36

15487

125

32

15487

127

29

15487

129

26

15487

131

23

7295

133

21

7295

135

18

7295

137

17

1970

139

16

1970

141

15

1970

143

14

1970

145

13

1970

147

12

1970

149

11

1970

151

10

1970

153

9

1970

155

8

1970

157

7

1970

159

6

1970

161

5

1970

163

4

1970

165

3

1970

167

2

1970

169

1

1970

171

-

-

 

La tabella seguente mostra il minimo esponente al quale bisogna arrivare per non avere eccezioni inferiori a 1010 per esponenti iniziali fino a 7 (M. Fiorentini, 2019).

Minimo esponente

Massimo esponente

3

171

5

3081

7

88089

 

Nel caso della sequenza dei primi, sappiamo dal teorema di Scourfieldche ogni intero abbastanza grande si può esprimere come a2 + b3 + c5 + d7 + … + nr o come a3 + b5 + c7 + d11 + … + ns, o con altre rappresentazioni analoghe aventi come minimo esponente un primo maggiore, ma non conosciamo gli esponenti della massima potenza richiesta.

In questo caso l’evidenza sperimentale suggerisce che bastino relativamente poche potenze, iniziando dall’esponente 2, ma ne servano molte iniziando da esponenti maggiori. La tabella seguente mostra le eccezioni inferiori a 1010 per potenze con esponenti primi crescenti a partire da 2 e 3 (M. Fiorentini, 2019).

Minimo esponente

Massimo esponente

Numero addendi

Numero eccezioni

Massima eccezione

2

11

5

41

4118

2

13

6

11

2166

2

17

7

3

120

2

19

8

1

120

2

23

9

-

-

3

347

68

4945

533479927

3

349

69

4624

533479927

3

353

70

4332

533479927

3

359

71

4063

533479927

3

367

72

3822

533479927

3

373

73

3606

533479927

3

379

74

3410

533479927

3

383

75

3234

118256263

3

389

76

3069

118256263

3

397

77

2920

118256263

3

401

78

2779

118256263

3

409

79

2646

118256263

3

419

80

2516

65095751

3

421

81

2393

65095751

3

431

82

2277

65095751

3

433

83

2163

65095751

3

439

84

2054

65095751

3

443

85

1949

65095751

3

449

86

1854

65095751

3

457

87

1763

65095751

3

461

88

1676

65095751

3

463

89

1594

65095751

3

467

90

1520

65095751

3

479

91

1448

65095751

3

487

92

1379

65095751

3

491

93

1313

65095751

3

499

94

1250

65095751

3

503

95

1191

65095751

3

509

96

1135

39860591

3

521

97

1082

39860591

3

523

98

1030

39860591

3

541

99

985

39860591

3

547

100

942

39860591

3

557

101

900

130997

3

563

102

861

130997

3

569

103

824

130997

3

571

104

788

130997

3

577

105

755

130997

3

587

106

723

130997

3

593

107

691

130997

3

599

108

660

130997

3

601

109

632

130997

3

607

110

606

130997

3

613

111

580

130997

3

617

112

554

130997

3

619

113

529

130997

3

631

114

505

130997

3

641

115

481

130997

3

643

116

458

130997

3

647

117

435

130997

3

653

118

412

130997

3

659

119

392

130997

3

661

120

374

130997

3

673

121

358

130997

3

677

122

343

130997

3

683

123

330

130997

3

691

124

317

130997

3

701

125

305

130997

3

709

126

293

130997

3

719

127

281

130997

3

727

128

270

130997

3

733

129

259

130997

3

739

130

251

130997

3

743

131

244

123816

3

751

132

237

123816

3

757

133

230

123816

3

761

134

223

123816

3

769

135

216

123816

3

773

136

209

123816

3

787

137

203

123816

3

797

138

197

123816

3

809

139

192

123816

3

811

140

188

123816

3

821

141

184

123816

3

823

142

180

123816

3

827

143

176

123816

3

829

144

172

123816

3

839

145

168

123816

3

853

146

164

123816

3

857

147

160

123816

3

859

148

156

123816

3

863

149

152

123816

3

877

150

148

123816

3

881

151

144

123816

3

883

152

140

123816

3

887

153

136

123816

3

907

154

132

123816

3

911

155

128

123816

3

919

156

124

123816

3

929

157

120

123816

3

937

158

116

123816

3

941

159

112

123816

3

947

160

108

123816

3

953

161

104

123816

3

967

162

101

123816

3

971

163

98

123816

3

977

164

95

123816

3

983

165

92

123816

3

991

166

89

123816

3

997

167

86

123816

3

1009

168

83

123816

3

1013

169

80

123816

3

1019

170

77

123816

3

1021

171

74

123816

3

1031

172

71

123816

3

1033

173

69

123816

3

1039

174

67

123816

3

1049

175

65

123816

3

1051

176

63

123816

3

1061

177

61

123816

3

1063

178

59

123816

3

1069

179

57

123816

3

1087

180

55

123816

3

1091

181

53

123816

3

1093

182

51

123816

3

1097

183

59

123816

3

1103 .. 1453

184 .. 230

47 .. 1

123816

3

1459

231

-

-

 

Se si inizia dalla n-esima potenza servono evidentemente almeno 2n – 1 addendi per rappresentare tutti gli interi e generalmente molti di più.

 

Se ci si accontenta di rappresentare quasi tutti gli interi, ossia si ammette un insieme di eccezioni infinito, ma con densità asintotica nulla, allora bastano:

  • un quadrato e due cubi (H. Davenport e H. Heilbronn, 1939);

  • due quadrati e una potenza n-esima, per qualsiasi n dispari maggiore di 2 (H. Davenport e H. Heilbronn, 1939);

  • un quadrato un cubo e un biquadrato (K.F. Roth, 1949);

  • un quadrato un cubo, una quinta potenza e una potenza n-esima, per ogni valore di n (Roger Cook, 1978);

  • un quadrato un cubo, una sesta potenza e una potenza n-esima, per ogni valore di n (Roger Cook, 1978).

 

Utilizzando potenze con esponenti crescenti, M.B.S. La Porta e T.D. Woley dimostrarono nel 2001 che per rappresentare quasi tutti gli interi:

  • se si inizia dai cubi, bastano 10 addendi;

  • se si inizia dai biquadrati, bastano 20 addendi;

  • se si inizia dalla n-esima potenza ne bastano n^2 * sqrt(log(n) per n abbastanza grande.

Anche in questo caso il numero di addendi necessari può probabilmente essere ridotto, come suggerito dagli elenchi precedenti.

 

Se si escludono anche alcune progressioni aritmetiche, quasi tutti gli interi si possono rappresentare come somma di:

  • un quadrato un cubo e una quinta potenza (R.C. Vaughan, 1980);

  • un quadrato, due biquadrati e una potenza n-esima, per qualsiasi n > 0;

  • quattro cubi (H. Davenport, 1939);

  • tre cubi e un biquadrato (J. Brüdern, 1987);

  • tre cubi e una quinta potenza (J. Brüdern, 1987);

  • un cubo e quattro biquadrati (K. Kawada e T.D. Wooley 1999);

  • sei biquadrati (R.C. Vaughan, 1989);

  • cinque biquadrati e una potenza n-esima, con n dispari (K. Kawada e T.D. Wooley 1999).

 

Se non si fissano gli esponenti, bastano naturalmente meno addendi. Gli unici interi noti non rappresentabili come somma di 3 potenze qualsiasi, con esponenti maggiori di 1, sono: 7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375. Se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2015).

 

Gli unici numeri naturali che non siano somma di potenze differenti, anche con esponenti diversi, ma maggiori di 1, sono: 2, 3, 6, 7, 11, 15, 19 e 23.

 

Vi sono infiniti interi che si possono esprimere come somma di un quadrato e un cubo in almeno due modi diversi. La seguente formula permette di trovarne infiniti, ma non tutti: presi m e n interi di parità opposta, con m > n, Formula per numeri esprimibili come somma di un cubo e un quadrato in due modi diversi.

Più in generale si possono prendere due interi m e n, di parità opposta, con m > n, tali che m3n3 non sia primo (per questo basta che m > n + 1), allora Formula per numeri esprimibili come somma di un cubo e un quadrato in due modi diversi per ogni divisore d di a3b3.

Per esempio, prendendo m = 5 e n = 2, otteniamo m3n3 = 117 = 3213 e prendendo 13 come divisore otteniamo 53 + 22 = 129 = 23 + 112.

 

La tabella seguente mostra il minimo intero che possa essere espresso come somma di un quadrato e un cubo in almeno n modi diversi, con potenze maggiori di zero, e in esattamente n modi diversi, con potenze non negative.

n

Almeno n modi, con potenze maggiori di zero

Esattamente n modi, con potenze non negative

0

0

3

1

2

0

2

17

1

3

1737

225

4

1025

1025

5

92025

92025

6

3375900

1334025

7

5472225

5472225

8

35964225

35964225

9

930860225

930860225

10

1000837225

1000837225

11

4979585600

4979585600

12

38515961025

38515961025

13

88154795025

88154795025

14

203947076025

2046945411225

15

88813460025

88813460025

16

5684061441600

5684061441600

17

77806025000000

13052612865600

18

64745012358225

64745012358225

19

4143680790926400?

4143680790926400?

20

203947076025000000?

 

21

56720592225000000?

 

22

6936693633907329600?

 

Per esempio, 1737 = 32 + 123 = 352 + 83 = 392 + 63.

 

Sono stati ottenuti anche vari risultati sulla possibilità di esprimere gli interi come combinazioni di potenze di interi, eventualmente con un numero limitato di fattori primi, primi e potenze di primi:

  • ogni intero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di un primo, un quadrato di un primo, un cubo di un primo, un biquadrato di un primo e una quinta potenza di un primo (Prachar, 1953);

  • quasi tutti gli interi positivi pari possono essere espressi come somma di un quadrato, un cubo, un biquadrato e una quinta potenza, tutti di numeri primi (Prachar, 1953).

  • tutti gli interi abbastanza grandi della forma 24n + 4 possono essere espressi come somma di un quadrato di un primo e 3 quadrati di interi con al massimo 101 fattori primi (D.R. Heath-Brown e D.I. Tolev, 2003); Zhao Lilu ridusse il numero di fattori a 5 nel 2012;

  • tutti gli interi abbastanza grandi della forma 24n + 4 possono essere espressi come somma di 4 quadrati di interi con al massimo 25 fattori primi (D.R. Heath-Brown e D.I. Tolev, 2003); Zhao Lilu risusse il numero di fattori a 4 nel 2012;

  • ogni intero abbastanza grande della forma 240n + k, dove k è 12, 13, 28, 93, 108, 157, 172 o 237, può essere espresso come somma di una quarta potenza di un intero e 12 quarte potenze di primi (X. Ren e K.M. Tsang, 2004);

  • ogni intero abbastanza grande della forma 24n + 3 e non multiplo di 5 può essere espresso come somma di 3 quadrati di interi con al massimo 26 fattori primi (J.Y. Liu e P. Sarnak, 2010);

  • ogni intero pari abbastanza grande può essere espresso come somma di 4 quadrati di primi e 39 potenze di 2 (Zhao Lilu, 2012);

  • ogni intero abbastanza grande della forma 16n + 12 può essere espresso come somma di 6 quarte potenze di interi e 6 quarte potenze di primi (Zhao Lilu, 2012);

  • ogni intero abbastanza grande della forma 240n + 13 può essere espresso come somma di una quarta potenza di un intero con al massimo 2 fattori primi e 12 quarte potenze di primi (Zhao Lilu, 2012);

  • ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma del quadrato di un intero con al massimo 6 fattori primi e 5 cubi di primi (Jinjiang Li e Min Zhang dimostrarono nel 2017).

 

Sommando e sottraendo potenze con esponenti diversi bastano meno addendi: ogni intero positivo, infatti, si può esprimere come somma di due quadrati meno un cubo.

La dimostrazione, semplice e costruttiva, si basa su 4 identità, che permettono di determinare quadrati e cubi, dato il numero:

  • se è dispari, 2x + 1 = (x3 – 3x2 + x)2 + (x2x – 1)2 – (x2 –2x)3;

  • se è pari, ma non divisibile per 4, 4x + 2 = (2x3 – 2x2x)2 + (2x3 – 4x2x + 1)2 – (2x2 – 2x – 1)3;

  • se divisibile per 4, ma non per 8, 8x + 4 = (x3 + x + 2)2 + (x2 – 2x – 1)2 – (x2 + 1)3;

  • se divisibile per 8, 8(x2 + y2z3) = (2x + 2y)2 + (2x – 2y)2 – (2z)3.

 

Ogni intero della forma 3n + 1 si può rappresentare come somma o differenza di due cubi e un quadrato, perché 3n + 1 = (n + 1)3 – (n + 4)3 + (3n + 8)2.

Ogni intero della forma 3n + 2 si può rappresentare come somma o differenza di due cubi e un quadrato, perché 3n + 2 = a3 – (a – 3)3 – (3a – 5)2.

Ogni multiplo di 9 si può rappresentare come somma o differenza di due cubi e un quadrato, perché 9n = (n – 1)3 – (n + 2)3 + (3n + 3)2.

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che tutti i numeri naturali possano essere rappresentati come x4y3 + z2, con x, y e z interi (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

 

Gli unici due interi noti uguali a somme di potenze consecutive di un intero (a partire da 1) in due modi diversi sono: 31 = 1 + 5 + 52 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 e 8191 = 1 + 90 + 902 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 + 212.

La congettura di Bateman afferma che il primo è l’unico caso con basi che siano numeri primi.

La congettura di Goormaghtigh afferma che non vi sono altri casi con 3 o più addendi; curiosamente, sia 31 che 8191 sono primi di Mersenne.

 

Rimando ai testi di Hardy e Wright, Ribenboim e Dickson citati nella bibliografia per un’introduzione più approfondita sull’argomento.

Bibliografia

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  • Beeckmans, Laurent;  "Squares expressible as sum of consecutive squares" in American Mathematical Monthly, n. 101, 1994, pag. 437 – 442.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Finch, Steven R.;  Mathematical Constants, Cambridge, Cambridge University Press, 2003.
  • Fuller, Chris;  Nichols, Robert H. Jr.;  "Generalized Anti-Waring Numbers" in Journal of Integer Sequences, Vol. 18, 2015.
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  • Hardy, Godfrey Harold;  Some Famous Problems of the Theory of Numbers. -

    Lezione inaugurale dell'anno 1920 all'Università di Oxford

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.
  • Honsberger, Ross;  Mathematical Diamonds, The Mathematical Association of America, 2003 -

    Una stupenda raccolta di saggi su argomenti disparati.

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  • Klamkin, Murray S.;  International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, Washington, The Mathematical Association of America, 1986 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

  • Kuczma, E. Marcin;  International Mathematical Olympiads 1986 – 1999, Mathematical Association of America, 2003.
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    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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