Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze
  6. 6. In costruzione.
  7. 7. Potenze uguali a somme di potenze

Il problema di rappresentare tutti i numeri naturali come somma di un numero finito di potenze con uguale esponente è noto come “problema di Waring”, dal nome del matematico che lo propose, nel 1770, nel suo libro Meditationes algebricae. Waring diede anche le soluzioni corrette per quadrati, cubi e biquadrati, ma senza dimostrazioni, per le quali si dovettero aspettare oltre due secoli.

 

Il problema si presta a numerose varianti: nella sua forma più semplice di tratta di determinare per ogni intero n il minimo numero g(n) tale che ogni intero positivo possa essere rappresentato come somma di al massimo g(n) n-esime potenze di interi positivi.

I primi studi mostrarono che, almeno per i primi valori di n, g(n) esiste, ossia che il numero di potenze necessarie è limitato, e che esiste anche un numero, normalmente indicato con G(n), generalmente inferiore, tale che ogni intero, salvo un numero finito di eccezioni, può essere rappresentato come somma di al massimo G(n) n-esime potenze di interi positivi, mentre con un numero inferiore di addendi non tutti gli interi sono rappresentabili

Per ogni n il primo problema consiste quindi nello stabilire che g(n) e G(n) esistono, cioè che basta un numero limitato di potenze; il problema successivo consiste nel trovare questi valori ed eventualmente l’insieme delle eccezioni per le quali g(n) > G(n).

 

Nel 1770 Lagrange dimostrò che G(2) = g(2) = 4 (v. quadrati), come supposto da Fermat oltre un secolo prima.

 

Johann Albrecht Euler (San Pietroburgo, 27/11/1734 – San Pietroburgo, 17/9/1800), figlio di Leonhard Eulero, intorno al 1772 dimostrò che Limite inferiore per g(n).

 

Maillet dimostrò nel 1908 che per qualsiasi valore di n esiste G(n) e di conseguenza esiste g(n).

 

Nel 1912 Stridsberg diede una prova costruttiva dell’identità di Hilbert – Waring, che rese possibile il calcolo di un limite superiore per g(n). Il limite così ottenuto, cioè g(n) ≤ (2n + 1)260(n + 3)3n + 8 (Rieger, 1953), era però astronomicamente superiore ai valori corretti.

 

Sull’argomento esiste una letteratura molto abbondante; per una buona introduzione all’argomento e una rassegna storica delle tappe che hanno permesso di arrivare ai valori sotto riportati rimando a The New Book of Prime Number Records, citato nella bibliografia.

Ragioni di spazio mi impediscono di riportare tutte le tappe che hanno portato ai migliori risultati noti: alcuni sono stati migliorati una quindicina di volte, a partire dalle stime iniziali di Hardy e Littlewood, per arrivare ai valori riportati.

 

La tabella seguente riporta i principali risultati noti; il valore ritenuto corretto per G(n) coincide col limite inferiore.

n

g(n)

G(n)

Autore della dimostrazione per g(n) e anno

Autore della dimostrazione per il limite inferiore di G(n) e anno

Autore della dimostrazione per il limite superiore di G(n) e anno

2

4

4

Legendre, 1770

Legendre, 1770

Legendre, 1770

3

9

4 ≤ G(3) ≤ 7

Wieferich e Kempner, 1912

Maillet, 1895

Linnik, 1943

4

19

16

R. Balasubramanian, J.M. Deshouillers e F. Dress, 1986

A.J.Kempner, 1912

Davenport, 1939

5

37

6 ≤ G(5) ≤ 17

Chen Jingrun, 1964

Maillet, 1892

Vaughan e Wooley, 1995

6

73

9 ≤ G(6) ≤ 24

S.S. Pillai 1940

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 1994

7

143

8 ≤ G(7) ≤ 33

R.M. Stemmler, 1964

Maillet, 1892

Vaughan e Wooley, 1995

8

279

32 ≤ G(8) ≤ 42

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Woolsey, 1993

9

548

13 ≤ G(9) ≤ 50

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 2000

10

1079

12 ≤ G(10) ≤ 59

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 2000

11

2132

12 ≤ G(11) ≤ 67

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

12

4223

16 ≤ G(12) ≤ 76

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

13

8384

14 ≤ G(13) ≤ 84

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

14

16673

15 ≤ G(14) ≤ 92

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

15

33203

16 ≤ G(15) ≤ 100

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

16

66190

64 ≤ G(16) ≤ 109

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

17

132055

18 ≤ G(17) ≤ 117

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

18

263619

27 ≤ G(18) ≤ 125

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

19

526502

20 ≤ G(19) ≤ 134

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

20

1051899

25 ≤ G(19) ≤ 142

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

 

Nel caso generale L.E. Dickson e S.S. Pillai dimostrarono indipendentemente nel 1936 che Formula per g(n), a meno che Condizione che rende non valida la formula per g(n), nel qual caso Formula per g(n), se Condizione sotto la quale vale la formula per g(n), o Formula per g(n), se Condizione sotto la quale vale la formula per g(n).

Queste ultime due stravaganti eccezioni sono al massimo in numero finito (K. Mahler 1957), per n > 471600000 (J.M. Kubina e M.C. Wunderlich, 1990) e per esse (3^n mod 2^n) / 2^n > 1 – 10^(–50) (L.E. Dickson, 1936); sinora non ne è stata trovata traccia e probabilmente non esistono. In particolare non esistono se è vera la congettura “abc”.

 

Le formule sono meno astruse di quanto possa sembrare e si ottengono considerando i casi peggiori, che sono dati dal massimo multiplo di 2n minore di 3n, meno 1. Per n = 3, per esempio, 33 = 27 e il massimo multiplo di 23 = 8 immediatamente inferiore è 24: il caso peggiore è 23, che si può ottenere come somma di 2 volte 8 e 7 volte 1, ossia con 9 addendi. Analogamente per n = 4, 34 = 81 e il massimo multiplo di 24 = 16 immediatamente inferiore è 80: il caso peggiore è 79, che si può ottenere solo somma di 4 volte 16 e 15 volte 1, ossia con 19 addendi. In questo modo si ottiene la formula Formula per g(n), nella quale Numero di addendi uguali a 2^n rappresenta il numero di addendi uguali a 2n e 2n – 1 rappresenta il numero di addendi uguali a 1, corrispondente al caso generale.

L’importanza delle formule sta nella dimostrazione che nessun altro numero richiede più addendi dei casi indicati, anche se anche qualche altro numero può richiederne altrettanti, come dimostra 239 nel caso n = 3, che richiede 9 addendi come 23, limitando le eccezioni a casi ben definiti (e forse inesistenti).

 

David Sinnou dimostrò che se vale una forma particolare della congettura “abc”, si può trovare un limite superiore alle eventuali eccezioni. In particolare se esistono due costanti K e θ tali che per ogni terna di interi a, b e c, privi di divisori comuni  e tali che c = a + b, valga c < KΠ(abc)θ, con Limiti inferiore e superiore per θ, allora gli eventuali valori eccezionali di n sono inferiori a Limite superiore per i valori eccezionali di n. Se si riuscisse a dimostrare la congettura, anche con K molto grande, avremmo eliminato la possibilità di eccezioni.

 

Possiamo quindi affermare che il valore di g(n) è noto per quasi tutti i valori interi di n, mentre il problema della determinazione di G(n) è stato completamente risolto solo per n uguale a 2 e 4.

 

Nel 1936 L.E. Dickson dimostrò che:

  • per 9 ≤ n ≤ 400 ogni intero positivo si può esprimere come somma di g(n) n-esime potenze e p doppi di n-esime potenze, ossia si possono avere p coppie di potenze uguali nella somma, dove Formula per p per n pari e Formula per p per n dispari;

  • per11 ≤ n ≤ 400 e k uguale a 3 o 4 ogni intero positivo si può esprimere come somma di 4n n-esime potenze e Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma n-esime potenze moltiplicate per k, ossia si possono avere Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma gruppi di k potenze uguali nella somma;

  • per 16 ≤ n ≤ 400 e k ≤ 4n ogni intero positivo si può esprimere come somma di 4n + 2kn n-esime potenze e Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma n-esime potenze moltiplicate per k, ossia si possono avere Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma gruppi di k potenze uguali nella somma.

 

M.A. Bennet dimostrò nel 1994 che se si utilizzano solo le potenze 1 e da rn in su, allora ogni intero può essere espresso come somma di Numero massimo di addendi necessari addendi.

 

Stabilita l’esistenza di g(n), di per sé un problema piuttosto difficile, l’esistenza di G(n) segue come conseguenza, solo che non si conoscono metodi universalmente validi per determinarne i valori.

I limiti inferiori noti per G(n) sono:

  • G(n) ≥ n + 1, per n > 1 (Maillet, 1808);

  • G(2n) ≥ 2n + 2, per n > 1 (Hardy e Littlewood);

  • G(3 • 2n) ≥ 2n + 2, per n > 1;

  • G(pn(p – 1)) ≥ pn + 1, per p primo maggiore di 2 (Hardy e Littlewood);

  • Limite inferiore per G(p^n * (p – 1) / 2), per p primo maggiore di 2.

Sono stati stabiliti vari limiti superiori per i valori di G(n); riporto solo alcune delle tappe principali:

  • G(n) ≤ (n – 2)2n – 1 + 5 (Hardy e Littlewood, 1920);

  • Limite superiore per G(n) (Hardy e Littlewood, 1925);

  • G(n) ≤ 32(nlogn)2 (I.M. Vinogradov, 1934);

  • G(n) ≤ n2log4 + (2 – log16)n, per n ≥ 3 (I.M. Vinogradov, 1935);

  • G(n) ≤ 2(n(n – 2)log2 + 2n, per n uguale a 5, 6 e 12(I.M. Vinogradov, 1935);

  • G(n) ≤ n(6logn + 3log6 + 4), per n ≥ 4 (I.M. Vinogradov, 1935);

  • Limite superiore per G(n);

  • G(n) ≤ 2n + 1 (L.-K. Hua, 1938);

  • G(n) ≤ 10n2logn, per n ≥ 3 (I.M. Vinogradov, 1947);

  • G(n) ≤ n(3logn + 11) (I.M. Vinogradov, 1947);

  • Limite superiore per G(n) (L.-K. Hua, 1949);

  • G(n) ≤ n2(logn + loglogn + C), per una costante C (K.B. Ford, 1955);

  • G(n) ≤ n(3logn + 9) (K.-C. Tong, 1957);

  • G(n) ≤ n(3logn + 5.2) (Jing-Run Chen, 1958);

  • G(n) ≤ n(2logn + 4loglogn + 2logloglogn + 13), per n > 170000 (Vinogradov 1959);

  • Limite superiore per G(n) (Balasubramanian e Mozzocchi, 1984);

  • G(n) ≤ n(2logn + 2loglogn + 12), per n ≥ 400 (Anatolii Alexeevitch Karatsuba 1985);

  • G(n) ≤ 2n, per n > 2 (R.C. Vaughan, 1986);

  • G(n) ≤ 7 • 2n – 3 + 1, per n > 5 (D.R. Heath-Brown, 1988);

  • G(n) ≤ n(2logn + 2loglogn + C), per una costante C (R.C. Vaughan, 1989);

  • G(n) ≤ 7 • 2n – 3, per n > 5 (K.D. Boklan, 1994);

  • G(n) ≤ n(3logn + 4.2), per n > 8 (R.C. Vaughan);

  • G(n) ≤ n(logn + loglogn + C), per una costante C (K.B. Ford, 1995).

 

Per maggiori dettagli sui casi di quadrati, cubi e biquadrati v. le voci corrispondenti.

 

Non si sa molto sul massimo intero non rappresentabile con G(n) n-esime potenze; nel 1936 L.E. Dickson dimostrò che:

  • per n > 9 gli interi maggiori di 10100.6621n2 sono rappresentabili con n(6logn + 3log6 + 4) addendi;

  • per n > 8 gli interi maggiori di 102n7 sono rappresentabili con 6n(2logn + log6 + 4) – 2 addendi.

 

Servono 37 quinte potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 17 quinte potenze, ma probabilmente ne bastano 6.

Sembrano esserci 3481 interi non rappresentabili come somma di 17 quinte potenze, il massimo dei quali è 87918; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 223 = 6 • 25 + 31 • 15 richiede 37 addendi;

  • richiedono 36 addendi solo 191 = 5 • 25 + 31 • 15 e 222 = 6 • 25 + 30 • 15;

  • richiedono 35 addendi solo 159 = 4 • 25 + 31 • 15, 190 = 5 • 25 + 30 • 15 e 221 = 6 • 25 + 29 • 15;

  • richiedono 34 addendi solo 127 = 3 • 25 + 31 • 15, 158 = 4 • 25 + 30 • 15, 189 = 5 • 25 + 29 • 15 e 220 = 6 • 25 + 28 • 15;

  • richiedono 33 addendi solo 95 = 2 • 25 + 31 • 15, 126 = 3 • 25 + 30 • 15, 157 = 4 • 25 + 29 • 15, 188 = 5 • 25 + 28 • 15 e 219 = 6 • 25 + 27 • 15;

  • richiedono 32 addendi solo 63 = 25 + 31 • 15, 94 = 2 • 25 + 30 • 15, 125 = 3 • 25 + 29 • 15, 156 = 4 • 25 + 28 • 15, 187 = 5 • 25 + 27 • 15, 218 = 6 • 25 + 26 • 15 e 466 = 14 • 25 + 18 • 15;

  • richiedono 31 addendi solo 31 = 31 • 15, 62 = 25 + 30 • 15, 93 = 2 • 25 + 29 • 15, 124 = 3 • 25 + 28 • 15, 155 = 4 • 25 + 27 • 15, 186 = 5 • 25 + 26 • 15, 217 = 6 • 25 + 25 • 15, 434 = 13 • 25 + 18 • 15 e 465 = 14 • 25 + 17 • 15;

  • richiedono 30 addendi solo 30 = 30 • 15, 61 = 25 + 29 • 15, 92 = 2 • 25 + 28 • 15, 122 = 3 • 25 + 27 • 15, 154 = 4 • 25 + 26 • 15, 185 = 5 • 25 + 25 • 15, 216 = 6 • 25 + 24 • 15, 402 = 12 • 25 + 18 • 15, 433 = 13 • 25 + 17 • 15 e 464 = 14 • 25 + 16 • 15.

 

La tabella seguente riporta i numeri di interi noti e i massimi interi noti che richiedano n quinte potenze, per n da 10 a 37; se ve ne sono altri sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

n

Numero di interi che richiedono n addendi

Massimo intero che richiede n addendi

10

3716395

617597724

11

444523

51033617

12

105744

6293040

13

38107

2103306

14

15980

786159

15

7207

470348

16

3592

312389

17

1925

98604

18

1134

87918

19

737

32016

20

513

30220

21

368

22625

22

259

14914

23

173

10768

24

107

7738

25

64

7138

26

38

6123

27

22

2999

28

14

952

29

11

463

30

10

464

31

9

465

32

7

466

33

5

219

34

4

220

35

3

221

36

2

222

37

1

223

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 17 quinte potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 73 seste potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 24 seste potenze, ma probabilmente ne bastano 9.

Sembrano esserci 33782 interi non rappresentabili come somma di 24 seste potenze, il massimo dei quali è 1414564; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 703 = 10 • 26 + 63 • 16 richiede 73 addendi;

  • richiedono 72 addendi solo 639 = 9 • 26 + 63 • 16 e 702 = 10 • 26 + 62 • 16;

  • richiedono 71 addendi solo 575 = 8 • 26 + 63 • 16, 638 = 9 • 26 + 62 • 16 e 701 = 10 • 26 + 61 • 16;

  • richiedono 70 addendi solo 511 = 7 • 26 + 63 • 16, 574 = 8 • 26 + 62 • 16, 637 = 9 • 26 + 61 • 16 e 700 = 10 • 26 + 60 • 16.

 

La tabella seguente riporta i numeri di interi noti e i massimi interi noti che richiedano n seste potenze, per n da 16 a 73; se ve ne sono altri sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

n

Numero di interi che richiedono n addendi

Massimo intero che richiede n addendi

15

15022977

10768621802

16

3513937

1176985994

17

1278787

249477091

18

573488

85590250

19

266785

32052907

20

125755

15521582

21

60163

9939377

22

31200

6590417

23

18494

3137703

24

12269

1941845

25

8663

1414564

26

6316

898469

27

4665

518804

28

3439

270067

29

2526

270068

30

1850

234691

31

1350

234692

32

983

123967

33

720

121329

34

545

121267

35

432

86142

36

354

86143

37

296

39937

38

251

39938

39

216

20409

40

187

16308

41

162

16309

42

138

16310

43

116

12342

44

97

8696

45

79

8697

46

63

8439

47

49

8440

48

37

8441

49

27

4795

50

19

4796

51

14

3593

52

12

3594

53

11

683

54

11

684

55

11

685

56

11

686

57

11

687

58

11

688

59

11

689

60

11

690

61

11

691

62

11

692

63

11

693

64

10

694

65

9

695

66

8

696

67

7

697

68

6

698

69

5

699

70

4

700

71

3

701

72

2

702

73

1

703

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 24 seste potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 143 settime potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 33 settime potenze, ma probabilmente ne bastano 8.

Sembrano esserci 459614 interi non rappresentabili come somma di 33 settime potenze, il massimo dei quali è 9930770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 2175 = 16 • 27 + 127 • 17 richiede 143 addendi;

  • richiedono 142 addendi solo 2047 = 15 • 27 + 127 • 17 e 2174 = 16 • 27 + 126 • 17;

  • richiedono 141 addendi solo 1919 = 14 • 27 + 127 • 17, 2046 = 15 • 27 + 126 • 17 e 2173 = 16 • 27 + 125 • 17;

  • richiedono 140 addendi solo 1791 = 13 • 27 + 127 • 17, 1918 = 14 • 27 + 126 • 17, 2045 = 15 • 27 + 125 • 17 e 2172 = 16 • 27 + 124 • 17.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 33 settime potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (4.9 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 279 ottave potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 42 ottave potenze, ma probabilmente ne bastano 32.

Sembrano esserci 11086612 interi non rappresentabili come somma di 42 ottave potenze, il massimo dei quali è 858367748; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 6399 = 24 • 28 + 255 • 18 richiede 279 addendi;

  • richiedono 278 addendi solo 6143 = 23 • 28 + 255 • 18 e 6398 = 24 • 28 + 254 • 18;

  • richiedono 277 addendi solo 5887 = 22 • 28 + 255 • 18, 6142 = 23 • 28 + 254 • 18 e 6397 = 24 • 28 + 253 • 18;

  • richiedono 276 addendi solo 5631 = 21 • 28 + 255 • 18, 5886 = 22 • 28 + 254 • 18, 6141 = 23 • 28 + 253 • 18 e 6396 = 24 • 28 + 252 • 18;

  • richiedono 275 addendi solo 5375 = 20 • 28 + 255 • 18, 5630 = 21 • 28 + 254 • 18, 5885 = 22 • 28 + 253 • 18, 6140 = 23 • 28 + 252 • 18 e 6395 = 24 • 28 + 251 • 18.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 60 ottave potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (6.6 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 548 none potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 50 none potenze, ma probabilmente ne bastano 13.

Sembrano esserci 213809005 interi non rappresentabili come somma di 50 none potenze, il massimo dei quali è 5360377770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 19455 = 37 • 29 + 511 • 19 richiede 548 addendi;

  • richiedono 547 addendi solo 18943 = 36 • 29 + 511 • 19 e 19454 = 37 • 29 + 510 • 19;

  • richiedono 546 addendi solo 18431 = 35 • 29 + 511 • 19, 18942 = 36 • 29 + 510 • 19 e 19453 = 37 • 29 + 509 • 19;

  • richiedono 545 addendi solo 17919 = 34 • 29 + 511 • 19, 18430 = 35 • 29 + 510 • 19, 18941 = 36 • 29 + 509 • 19 e 19452 = 37 • 29 + 508 • 19;

  • richiedono 544 addendi solo 17404 = 33 • 29 + 511 • 19, 17918 = 34 • 29 + 510 • 19, 18429 = 35 • 29 + 509 • 19, 18940 = 36 • 29 + 508 • 19 e 19451 = 37 • 29 + 507 • 19.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 120 none potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (4.5 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 1079 decime potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 59 decime potenze, ma probabilmente ne bastano 12.

Sembrano esserci 213809005 interi non rappresentabili come somma di 50 decime potenze, il massimo dei quali è 5360377770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 58367 = 56 • 210 + 1023 • 110 richiede 1079 addendi;

  • richiedono 1078 addendi solo 57343 = 55 • 210 + 1023 • 110 e 58366 = 56 • 210 + 1022 • 110;

  • richiedono 1077 addendi solo 56319 = 54 • 210 + 1023 • 110, 57342 = 55 • 210 + 1022 • 110 e 58365 = 56 • 210 + 1021 • 110;

  • richiedono 1076 addendi solo solo 55295 = 53 • 210 + 1023 • 110, 56318 = 54 • 210 + 1022 • 110, 57341 = 55 • 210 + 1021 • 110 e 58364 = 56 • 210 + 1020 • 110;

  • richiedono 1075 addendi solo 54271 = 52 • 210 + 1023 • 110, 55294 = 53 • 210 + 1022 • 110, 56317 = 54 • 210 + 1021 • 110, 57340 = 55 • 210 + 1020 • 110 e 58363 = 56 • 210 + 1019 • 110.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 400 decime potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (3.5 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

E’ stata considerata anche la possibilità di ammettere potenze negative, ossia di sommare e sottrarre potenze, cercando di determinare il numero di tali potenze, chiamato v(n), necessarie per ottenere qualsiasi intero. Naturalmente v(n) ≤ g(n) per ogni valore di n.

 

Il problema è stato completamente risolto per i quadrati, mentre per cubi e i biquadrati vi è una differenza di una sola unità tra il massimo e il minimo dimostrati e quello ritenuto corretto (per maggiori dettagli v. quadraticubi e biquadrati); sulle potenze superiori si sa ben poco.

 

Sono noti i limiti (Paul Erdös e János Surányi, 2002):

  • Limite superiore per v(n);

  • v(n) ≤ G(n) + 1.

 

La tabella seguente mostra i valori di v(n) per n da 2 a 5.

n

v(n)

2

3

3

4 o 5

4

9 o 10

5

5 ≤ v(5) ≤ 10

 

Per ogni esponente n esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di n-esime potenze distinte (R. Sprague, 1948).

N. Looper e N. Saritzky, dimostrarono che per qualsiasi valore di n, m e k esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di k o più n-esime potenze distinte, non minori di mn.

 

La tabella seguente mostra alcuni risultati (per maggiori dettagli v. quadrati, cubi e biquadrati).

n

Numero interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

Autore

2

31

128

R. Sprague, 1948

3

2788

12758

R.L. Graham, 1964

4

889576

5134240

S. Lin, 1970

5

13912682

67898771

C.D. Patterson, 1992

6

2037573096

11146309947

C. Fuller e R.H. Nichols Jr., 2015

7

 

766834015734

Donovan Johnson, 2010

 

Qui trovate gli interi inferiori a 106 non rappresentabili come somma di quinte potenze distinte (6.5 Mbyte).

 

Il massimo intero non rappresentabile come somma di n-esime potenze distinte è minore di Limite superiore per il massimo intero non rappresentabile come somma di n-esime potenze distinte, dove a = 2n2n! e b = 2n3an  – 1 (Doyon Kim, 2006); il limite indicato dalla formula è però astronomicamente superiore al valore vero: vale 185745935695608 per n = 2 e 877055842043545852460060894335840424505410251936250654961703461088 per n = 3.

 

Se non si fissano gli esponenti, bastano naturalmente meno addendi. Gli unici interi noti non rappresentabili come somma di 3 potenze qualsiasi, con esponenti maggiori di 1, sono: 7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375. Se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2015).

 

Gli unici numeri che non siano somma di potenze differenti, anche con esponenti diversi, ma maggiori di 1, sono: 2, 3, 6, 7, 11, 15, 19 e 23.

 

Š. Porubský dimostrò nel 1979 che per ogni esponente n esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di n-esime potenze di primi distinti, ma sul massimo intero non rappresentabile per le varie potenze si sa molto meno.

La tabella seguente mostra alcuni risultati (per maggiori dettagli v. quadrati, cubi e biquadrati).

n

Numero interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

Autore

1

3 6

 

2

2438

17163

 

3

483370

1866000

 

 

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