Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. In costruzione
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze

Il problema di rappresentare tutti i numeri naturali come somma di un numero finito di potenze con uguale esponente è noto come “problema di Waring”, perché proposto da Edward Waring (Shrewsbury, UK, 1736 – Plealey, UK, 15/8/1798) nel 1782, nella terza edizione di Meditationes algebricae. Waring diede anche le soluzioni corrette per quadrati, cubi e biquadrati, ma senza dimostrazioni, per le quali si dovettero aspettare oltre due secoli.

Il problema si presenta a prima vista come molto difficile, se non impossibile, soprattutto per potenze con esponente elevato: già i quadrati aumentano rapidamente e potenze maggiori aumentano a un ritmo vertiginoso, lasciando intervalli sempre maggiori tra un numero e l’altro. Già con le quinte potenze gli intervalli superano il migliaio dopo il quarto termine. Sembra quindi plausibile che dovendo rappresentare numeri sempre più grandi, serva un numero di addendi che cresce senza un limite; occasionalmente una potenza riporta il numero di addendi a 1, ma poi il loro numero ritorna a crescere.

Non è così semplice, perché nel cercare di ottenere un numero come somma di potenze non bisogna prendere ogni volta la potenza massima possibile, ma bisogna considerare le alternative. Per esempio, se per rappresentare 34 come somma di cubi utilizziamo come primo addendo la massima potenza possibile, ossia 27 = 33, ci resta da rappresentare 7, che richiede altrettante unità; la rappresentazione risultante, 27 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 richiede 8 addendi, ma se usiamo all’inizio un cubo inferiore, ovvero 8 = 23, otteniamo la rappresentazione migliore, 8 + 8 + 8 + 8 + 1 + 1, con solo 6 addendi.

Aumentando il numero da rappresentare, aumentano le combinazioni possibili e, abbastanza sorprendentemente, si riesce a limitare il numero di addendi per qualsiasi potenza.

 

Il problema si presta a numerose varianti: nella sua forma più semplice di tratta di determinare per ogni intero n il minimo numero g(n), tale che ogni intero positivo possa essere rappresentato come somma di al massimo g(n) n-esime potenze di interi positivi.

I primi studi mostrarono che, almeno per i primi valori di n, g(n) esiste, ossia che il numero di potenze necessarie è limitato, e che esiste anche un numero, normalmente indicato con G(n), generalmente inferiore, tale che ogni intero, salvo un numero finito di eccezioni, possa essere rappresentato come somma di al massimo G(n) n-esime potenze di interi positivi, mentre con un numero inferiore di addendi non tutti gli interi sono rappresentabili

Per ogni n il primo problema consiste quindi nello stabilire che g(n) e G(n) esistono (l’esistenza dell’uno implica l’esistenza dell’altro), cioè che basta un numero limitato di potenze; il problema successivo consiste nel trovare questi valori ed eventualmente l’insieme delle eccezioni per le quali g(n) > G(n).

 

Nel 1770 Lagrange dimostrò che G(2) = g(2) = 4 (v. quadrati), come supposto da Fermat oltre un secolo prima.

 

Johann Albrecht Euler (San Pietroburgo, 27/11/1734 – San Pietroburgo, 17/9/1800), figlio di Leonhard Eulero, intorno al 1772 dimostrò che Limite inferiore per g(n).

 

E. Maillet dimostrò nel 1908 che per qualsiasi valore di n esiste G(n) e di conseguenza esiste g(n).

 

Nel 1909 Hilbert dimostrò che per ogni potenza esistono identità, dalle quali si può ricavare un limite superiore per g(n), ma la dimostrazione non era costruttiva e richiedeva calcoli relativamente complessi per ogni potenza.

 

Nel 1912 Erik Stridsberg (1871 – 1950) diede una prova costruttiva dell’identità di Hilbert – Waring, che rese possibile il calcolo di un limite superiore per g(n). Il limite così ottenuto, cioè g(n) ≤ (2n + 1)260(n + 3)3n + 8 (Rieger, 1953), era però astronomicamente superiore ai valori corretti.

 

Sull’argomento esiste una letteratura molto abbondante; per una buona introduzione all’argomento e una rassegna storica delle tappe che hanno permesso di arrivare ai valori sotto riportati rimando a The New Book of Prime Number Records, citato nella bibliografia.

Ragioni di spazio mi impediscono di riportare tutte le tappe che hanno portato ai migliori risultati noti: alcuni sono stati migliorati una quindicina di volte, a partire dalle stime iniziali di Hardy e Littlewood, per arrivare ai valori riportati.

 

La tabella seguente riporta i principali risultati noti; il valore ritenuto corretto per G(n) coincide col limite inferiore.

n

g(n)

G(n)

Autore della dimostrazione per g(n) e anno

Autore della dimostrazione per il limite inferiore di G(n) e anno

Autore della dimostrazione per il limite superiore di G(n) e anno

2

4

4

Legendre, 1770

Legendre, 1770

Legendre, 1770

3

9

4 ≤ G(3) ≤ 7

Wieferich e Kempner, 1912

Maillet, 1895

Linnik, 1943

4

19

16

R. Balasubramanian, J.M. Deshouillers e F. Dress, 1986

A.J. Kempner, 1912

A.H. Davenport, 1939

5

37

6 ≤ G(5) ≤ 17

Chen Jingrun, 1964

Maillet, 1892

Vaughan e Wooley, 1995

6

73

9 ≤ G(6) ≤ 24

S.S. Pillai 1940

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 1994

7

143

8 ≤ G(7) ≤ 33

R.M. Stemmler, 1964

Maillet, 1892

Vaughan e Wooley, 1995

8

279

32 ≤ G(8) ≤ 42

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Woolsey, 1993

9

548

13 ≤ G(9) ≤ 50

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 2000

10

1079

12 ≤ G(10) ≤ 59

R.M. Stemmler, 1964

Hardy e Littlewood, 1922

Vaughan e Wooley, 2000

11

2132

12 ≤ G(11) ≤ 67

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

12

4223

16 ≤ G(12) ≤ 76

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

13

8384

14 ≤ G(13) ≤ 84

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

14

16673

15 ≤ G(14) ≤ 92

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

15

33203

16 ≤ G(15) ≤ 100

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

16

66190

64 ≤ G(16) ≤ 109

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

17

132055

18 ≤ G(17) ≤ 117

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

18

263619

27 ≤ G(18) ≤ 125

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

19

526502

20 ≤ G(19) ≤ 134

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

20

1051899

25 ≤ G(19) ≤ 142

 

 

Vaughan e Wooley, 2000

 

Nel caso generale L.E. Dickson e S.S. Pillai dimostrarono indipendentemente nel 1936 che Formula per g(n), a meno che Condizione che rende non valida la formula per g(n), nel qual caso Formula per g(n), se Condizione sotto la quale vale la formula per g(n), o Formula per g(n), se Condizione sotto la quale vale la formula per g(n).

Queste ultime due stravaganti eccezioni sono al massimo in numero finito (K. Mahler 1957), per n > 471600000 (J.M. Kubina e M.C. Wunderlich, 1990) e per esse (3^n mod 2^n) / 2^n > 1 – 10^(–50) (L.E. Dickson, 1936); sinora non ne è stata trovata traccia e probabilmente non esistono. In particolare non esistono se è vera la congettura “abc”.

 

Le formule sono meno astruse di quanto possa sembrare e si ottengono considerando i casi peggiori, che sono dati dal massimo multiplo di 2n minore di 3n, meno 1. Per n = 3, per esempio, 33 = 27 e il massimo multiplo di 23 = 8 immediatamente inferiore è 24: il caso peggiore è 23, che si può ottenere come somma di 2 volte 8 e 7 volte 1, ossia con 9 addendi. Analogamente per n = 4, 34 = 81 e il massimo multiplo di 24 = 16 immediatamente inferiore è 80: il caso peggiore è 79, che si può ottenere solo somma di 4 volte 16 e 15 volte 1, ossia con 19 addendi. In questo modo si ottiene la formula Formula per g(n), nella quale Numero di addendi uguali a 2^n rappresenta il numero di addendi uguali a 2n e 2n – 1 rappresenta il numero di addendi uguali a 1, corrispondente al caso generale.

L’importanza delle formule sta nella dimostrazione che nessun altro numero richiede più addendi dei casi indicati, anche se anche qualche altro numero può richiederne altrettanti, come dimostra 239 nel caso n = 3, che richiede 9 addendi come 23, limitando le eccezioni a casi ben definiti (e forse inesistenti).

 

David Sinnou dimostrò che se vale una forma particolare della congettura “abc”, si può trovare un limite superiore alle eventuali eccezioni. In particolare se esistono due costanti K e θ tali che per ogni terna di interi a, b e c, privi di divisori comuni  e tali che c = a + b, valga c < KΠ(abc)θ, con Limiti inferiore e superiore per θ, allora gli eventuali valori eccezionali di n sono inferiori a Limite superiore per i valori eccezionali di n. Se si riuscisse a dimostrare la congettura, anche con K molto grande, avremmo eliminato la possibilità di eccezioni.

 

Possiamo quindi affermare che il valore di g(n) è noto per quasi tutti i valori interi di n, mentre il problema della determinazione di G(n) è stato completamente risolto solo per n uguale a 2 e 4.

 

Da notare che si suppone che G(n), a differenza di g(n) non sempre cresca al crescere di n.

 

Nel 1936 L.E. Dickson dimostrò che:

  • per 9 ≤ n ≤ 400 ogni intero positivo si può esprimere come somma di g(n) n-esime potenze e p doppi di n-esime potenze, ossia si possono avere p coppie di potenze uguali nella somma, dove Formula per p per n pari e Formula per p per n dispari;

  • per11 ≤ n ≤ 400 e k uguale a 3 o 4 ogni intero positivo si può esprimere come somma di 4n n-esime potenze e Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma n-esime potenze moltiplicate per k, ossia si possono avere Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma gruppi di k potenze uguali nella somma;

  • per 16 ≤ n ≤ 400 e k ≤ 4n ogni intero positivo si può esprimere come somma di 4n + 2kn n-esime potenze e Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma n-esime potenze moltiplicate per k, ossia si possono avere Numero di gruppi di k potenze uguali nella somma gruppi di k potenze uguali nella somma.

 

M.A. Bennet dimostrò nel 1994 che se si utilizzano solo le potenze 1 e da rn in su, allora ogni intero può essere espresso come somma di Numero massimo di addendi necessari addendi.

 

Stabilita l’esistenza di g(n), di per sé un problema piuttosto difficile, l’esistenza di G(n) segue come conseguenza, solo che non si conoscono metodi universalmente validi per determinarne i valori.

I limiti inferiori noti per G(n) sono:

  • G(n) ≥ n + 1, per n > 1 (Maillet, 1808);

  • G(2n) ≥ 2n + 2, per n > 1 (Hardy e Littlewood);

  • G(3 • 2n) ≥ 2n + 2, per n > 1;

  • G(pn(p – 1)) ≥ pn + 1, per p primo maggiore di 2 (Hardy e Littlewood);

  • Limite inferiore per G(p^n * (p – 1) / 2), per p primo maggiore di 2.

Sono stati stabiliti vari limiti superiori per i valori di G(n); riporto solo alcune delle tappe principali:

  • G(n) ≤ (n – 2)2n – 1 + 5 (Hardy e Littlewood, 1920);

  • Limite superiore per G(n) (Hardy e Littlewood, 1925);

  • G(n) ≤ 32(nlogn)2 (I.M. Vinogradov, 1934);

  • G(n) ≤ n2log4 + (2 – log16)n, per n ≥ 3 (I.M. Vinogradov, 1935);

  • G(n) ≤ 2(n(n – 2)log2 + 2n, per n uguale a 5, 6 e 12(I.M. Vinogradov, 1935);

  • G(n) ≤ n(6logn + 3log6 + 4), per n ≥ 4 (I.M. Vinogradov, 1935);

  • Limite superiore per G(n);

  • G(n) ≤ 2n + 1 (L.-K. Hua, 1938);

  • G(n) ≤ 10n2logn, per n ≥ 3 (I.M. Vinogradov, 1947);

  • G(n) ≤ n(3logn + 11) (I.M. Vinogradov, 1947);

  • Limite superiore per G(n) (L.-K. Hua, 1949);

  • G(n) ≤ n(3logn + 9) (K.-C. Tong, 1957);

  • G(n) ≤ n(3logn + 5.2) (Jing-Run Chen, 1958);

  • G(n) ≤ n(2logn + 4loglogn + 2logloglogn + 13), per n > 170000 (Vinogradov 1959);

  • Limite superiore per G(n) (Balasubramanian e Mozzocchi, 1984);

  • G(n) ≤ n(2logn + 2loglogn + 12), per n ≥ 400 (Anatolii Alexeevitch Karatsuba 1985);

  • G(n) ≤ 2n, per n > 2 (R.C. Vaughan, 1986);

  • G(n) ≤ 7 • 2n – 3 + 1, per n > 5 (D.R. Heath-Brown, 1988);

  • G(n) ≤ n(2logn + 2loglogn + C), per una costante C (R.C. Vaughan, 1989);

  • G(n) ≤ 7 • 2n – 3, per n > 5 (K.D. Boklan, 1994);

  • G(n) ≤ n(3logn + 4.2), per n > 8 (R.C. Vaughan);

  • G(n) ≤ n(logn + loglogn + C), per una costante C (Kevin B. Ford, 1995).

 

Per maggiori dettagli sui casi di quadrati, cubi e biquadrati v. le voci corrispondenti.

 

Non si sa molto sul massimo intero non rappresentabile con G(n) n-esime potenze; nel 1936 L.E. Dickson dimostrò che:

  • per n > 9 gli interi maggiori di 10100.6621n2 sono rappresentabili con n(6logn + 3log6 + 4) addendi;

  • per n > 8 gli interi maggiori di 102n7 sono rappresentabili con 6n(2logn + log6 + 4) – 2 addendi.

 

Servono 37 quinte potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 17 quinte potenze, ma probabilmente ne bastano 6.

Sembrano esserci 3481 interi non rappresentabili come somma di 17 quinte potenze, il massimo dei quali è 87918; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 223 = 6 • 25 + 31 • 15 richiede 37 addendi;

  • richiedono 36 addendi solo 191 = 5 • 25 + 31 • 15 e 222 = 6 • 25 + 30 • 15;

  • richiedono 35 addendi solo 159 = 4 • 25 + 31 • 15, 190 = 5 • 25 + 30 • 15 e 221 = 6 • 25 + 29 • 15;

  • richiedono 34 addendi solo 127 = 3 • 25 + 31 • 15, 158 = 4 • 25 + 30 • 15, 189 = 5 • 25 + 29 • 15 e 220 = 6 • 25 + 28 • 15;

  • richiedono 33 addendi solo 95 = 2 • 25 + 31 • 15, 126 = 3 • 25 + 30 • 15, 157 = 4 • 25 + 29 • 15, 188 = 5 • 25 + 28 • 15 e 219 = 6 • 25 + 27 • 15;

  • richiedono 32 addendi solo 63 = 25 + 31 • 15, 94 = 2 • 25 + 30 • 15, 125 = 3 • 25 + 29 • 15, 156 = 4 • 25 + 28 • 15, 187 = 5 • 25 + 27 • 15, 218 = 6 • 25 + 26 • 15 e 466 = 14 • 25 + 18 • 15;

  • richiedono 31 addendi solo 31 = 31 • 15, 62 = 25 + 30 • 15, 93 = 2 • 25 + 29 • 15, 124 = 3 • 25 + 28 • 15, 155 = 4 • 25 + 27 • 15, 186 = 5 • 25 + 26 • 15, 217 = 6 • 25 + 25 • 15, 434 = 13 • 25 + 18 • 15 e 465 = 14 • 25 + 17 • 15;

  • richiedono 30 addendi solo 30 = 30 • 15, 61 = 25 + 29 • 15, 92 = 2 • 25 + 28 • 15, 122 = 3 • 25 + 27 • 15, 154 = 4 • 25 + 26 • 15, 185 = 5 • 25 + 25 • 15, 216 = 6 • 25 + 24 • 15, 402 = 12 • 25 + 18 • 15, 433 = 13 • 25 + 17 • 15 e 464 = 14 • 25 + 16 • 15.

 

La tabella seguente riporta i numeri di interi noti e i massimi interi noti che richiedano n quinte potenze, per n da 10 a 37; se ve ne sono altri sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

n

Numero di interi che richiedono n addendi

Massimo intero che richiede n addendi

10

3716395

617597724

11

444523

51033617

12

105744

6293040

13

38107

2103306

14

15980

786159

15

7207

470348

16

3592

312389

17

1925

98604

18

1134

87918

19

737

32016

20

513

30220

21

368

22625

22

259

14914

23

173

10768

24

107

7738

25

64

7138

26

38

6123

27

22

2999

28

14

952

29

11

463

30

10

464

31

9

465

32

7

466

33

5

219

34

4

220

35

3

221

36

2

222

37

1

223

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 17 quinte potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 73 seste potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 24 seste potenze, ma probabilmente ne bastano 9.

Sembrano esserci 33782 interi non rappresentabili come somma di 24 seste potenze, il massimo dei quali è 1414564; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 703 = 10 • 26 + 63 • 16 richiede 73 addendi;

  • richiedono 72 addendi solo 639 = 9 • 26 + 63 • 16 e 702 = 10 • 26 + 62 • 16;

  • richiedono 71 addendi solo 575 = 8 • 26 + 63 • 16, 638 = 9 • 26 + 62 • 16 e 701 = 10 • 26 + 61 • 16;

  • richiedono 70 addendi solo 511 = 7 • 26 + 63 • 16, 574 = 8 • 26 + 62 • 16, 637 = 9 • 26 + 61 • 16 e 700 = 10 • 26 + 60 • 16.

 

La tabella seguente riporta i numeri di interi noti e i massimi interi noti che richiedano n seste potenze, per n da 16 a 73; se ve ne sono altri sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

n

Numero di interi che richiedono n addendi

Massimo intero che richiede n addendi

15

15022977

10768621802

16

3513937

1176985994

17

1278787

249477091

18

573488

85590250

19

266785

32052907

20

125755

15521582

21

60163

9939377

22

31200

6590417

23

18494

3137703

24

12269

1941845

25

8663

1414564

26

6316

898469

27

4665

518804

28

3439

270067

29

2526

270068

30

1850

234691

31

1350

234692

32

983

123967

33

720

121329

34

545

121267

35

432

86142

36

354

86143

37

296

39937

38

251

39938

39

216

20409

40

187

16308

41

162

16309

42

138

16310

43

116

12342

44

97

8696

45

79

8697

46

63

8439

47

49

8440

48

37

8441

49

27

4795

50

19

4796

51

14

3593

52

12

3594

53

11

683

54

11

684

55

11

685

56

11

686

57

11

687

58

11

688

59

11

689

60

11

690

61

11

691

62

11

692

63

11

693

64

10

694

65

9

695

66

8

696

67

7

697

68

6

698

69

5

699

70

4

700

71

3

701

72

2

702

73

1

703

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 24 seste potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 143 settime potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 33 settime potenze, ma probabilmente ne bastano 8.

Sembrano esserci 459614 interi non rappresentabili come somma di 33 settime potenze, il massimo dei quali è 9930770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 2175 = 16 • 27 + 127 • 17 richiede 143 addendi;

  • richiedono 142 addendi solo 2047 = 15 • 27 + 127 • 17 e 2174 = 16 • 27 + 126 • 17;

  • richiedono 141 addendi solo 1919 = 14 • 27 + 127 • 17, 2046 = 15 • 27 + 126 • 17 e 2173 = 16 • 27 + 125 • 17;

  • richiedono 140 addendi solo 1791 = 13 • 27 + 127 • 17, 1918 = 14 • 27 + 126 • 17, 2045 = 15 • 27 + 125 • 17 e 2172 = 16 • 27 + 124 • 17.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 33 settime potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (4.9 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 279 ottave potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 42 ottave potenze, ma probabilmente ne bastano 32.

Sembrano esserci 11086612 interi non rappresentabili come somma di 42 ottave potenze, il massimo dei quali è 858367748; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 6399 = 24 • 28 + 255 • 18 richiede 279 addendi;

  • richiedono 278 addendi solo 6143 = 23 • 28 + 255 • 18 e 6398 = 24 • 28 + 254 • 18;

  • richiedono 277 addendi solo 5887 = 22 • 28 + 255 • 18, 6142 = 23 • 28 + 254 • 18 e 6397 = 24 • 28 + 253 • 18;

  • richiedono 276 addendi solo 5631 = 21 • 28 + 255 • 18, 5886 = 22 • 28 + 254 • 18, 6141 = 23 • 28 + 253 • 18 e 6396 = 24 • 28 + 252 • 18;

  • richiedono 275 addendi solo 5375 = 20 • 28 + 255 • 18, 5630 = 21 • 28 + 254 • 18, 5885 = 22 • 28 + 253 • 18, 6140 = 23 • 28 + 252 • 18 e 6395 = 24 • 28 + 251 • 18.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 60 ottave potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (6.6 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 548 none potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 50 none potenze, ma probabilmente ne bastano 13.

Sembrano esserci 213809005 interi non rappresentabili come somma di 50 none potenze, il massimo dei quali è 5360377770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 19455 = 37 • 29 + 511 • 19 richiede 548 addendi;

  • richiedono 547 addendi solo 18943 = 36 • 29 + 511 • 19 e 19454 = 37 • 29 + 510 • 19;

  • richiedono 546 addendi solo 18431 = 35 • 29 + 511 • 19, 18942 = 36 • 29 + 510 • 19 e 19453 = 37 • 29 + 509 • 19;

  • richiedono 545 addendi solo 17919 = 34 • 29 + 511 • 19, 18430 = 35 • 29 + 510 • 19, 18941 = 36 • 29 + 509 • 19 e 19452 = 37 • 29 + 508 • 19;

  • richiedono 544 addendi solo 17404 = 33 • 29 + 511 • 19, 17918 = 34 • 29 + 510 • 19, 18429 = 35 • 29 + 509 • 19, 18940 = 36 • 29 + 508 • 19 e 19451 = 37 • 29 + 507 • 19.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 120 none potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (4.5 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Servono 1079 decime potenze per rappresentare tutti gli interi; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 59 decime potenze, ma probabilmente ne bastano 12.

Sembrano esserci 213809005 interi non rappresentabili come somma di 50 decime potenze, il massimo dei quali è 5360377770; se ve ne sono altri, sono superiori a 2 • 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi:

  • solo 58367 = 56 • 210 + 1023 • 110 richiede 1079 addendi;

  • richiedono 1078 addendi solo 57343 = 55 • 210 + 1023 • 110 e 58366 = 56 • 210 + 1022 • 110;

  • richiedono 1077 addendi solo 56319 = 54 • 210 + 1023 • 110, 57342 = 55 • 210 + 1022 • 110 e 58365 = 56 • 210 + 1021 • 110;

  • richiedono 1076 addendi solo solo 55295 = 53 • 210 + 1023 • 110, 56318 = 54 • 210 + 1022 • 110, 57341 = 55 • 210 + 1021 • 110 e 58364 = 56 • 210 + 1020 • 110;

  • richiedono 1075 addendi solo 54271 = 52 • 210 + 1023 • 110, 55294 = 53 • 210 + 1022 • 110, 56317 = 54 • 210 + 1021 • 110, 57340 = 55 • 210 + 1020 • 110 e 58363 = 56 • 210 + 1019 • 110.

 

Qui trovate gli interi noti non rappresentabili come somma di 400 decime potenze, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari (3.5 MByte) (M. Fiorentini, 2013).

 

Per ogni esponente n e ogni intero m > G(n), esiste un numero finito di interi positivi non rappresentabili come somma di esattamente m n-esime potenze non nulle; inoltre esiste un intero k(n) tale che se m > k(n), le eccezioni sono tutti e soli gli interi da 1 a m – 1 e della forma m + x, dove x appartiene a un insieme S(n) dipendente da n, ma non da m.

La tabella seguente mostra alcuni risultati.

n

Numero elementi di S(n)

Massimo elemento di S(n)

k(n)

2

7

13

5

3

75

149

13

4

1321

2461

20

5

3175

6261

56

Per esempio, S(2) = { 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 } e k(2) = 5 e quindi gli interi non rappresentabile come somma di m = 6 quadrati non nulli sono quelli minori di m e quelli ottenibili come somma di m e di un elemento di S(2), cioè: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 16 e 19 (v. quadrati).

 

Ogni intero maggiore di 6n può essere rappresentato come a2n + b3n, cioè come somma di potenze n-esime maggiori di 1; la tabella seguente mostra gli interi non rappresentabili in questo modo, per n fino a 10 (M. Fiorentini, 2019).

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

1

1

1

2

12

23

3

91

181

4

600

1199

5

3751

7501

6

22932

45863

7

138811

277621

8

836400

1672799

9

5028751

10057501

10

30203052

60406103

 

I numeri naturali non rappresentabili come a2n + b3n per n uguale a 2 e 4 sono quelli non rappresentabili come somma di potenze qualsiasi maggiori di 1 (v. sotto).

I numeri naturali non rappresentabili come a23 + b33 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 82, 84, 85, 87, 90, 92, 93, 95, 98, 100, 101, 103, 106, 109, 111, 114, 117, 119, 122, 125, 127, 130, 133, 138, 141, 146, 149, 154, 157, 165, 173, 181.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili come a25 + b35.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili come a26 + b36.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili come a27 + b37.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili come a28 + b38 (6.4 Mbyte).

 

Ammettendo l’uso di potenze qualsiasi, sempre maggiori di 1, gli interi non rappresentabili naturalmente diminuiscono; la tabella seguente mostra gli interi non rappresentabili come somma di potenze n-esime maggiori di 1, per n fino a 10 (M. Fiorentini, 2019).

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

1

1

1

2

12

23

3

83

154

4

600

1199

5

3058

5314

6

18222

34928

7

130411

256117

8

783480

1565279

9

3418488

6519069

10

24857930

49304891

 

Per i numeri naturali non rappresentabili come somma di quadrati maggiori di 1 v. quadrati.

Per i numeri naturali non rappresentabili come somma di cubi maggiori di 1 v. cubi.

Per i numeri naturali non rappresentabili come somma di biquadrati maggiori di 1 v. biquadrati.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili per n = 5.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili per n = 6.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili per n = 7.

Qui trovate i numeri naturali non rappresentabili per n = 8 (6 Mbyte).

 

E’ stata considerata anche la possibilità di ammettere potenze negative, ossia di sommare e sottrarre potenze, cercando di determinare il numero di tali potenze, chiamato v(n), necessarie per ottenere qualsiasi intero. Naturalmente v(n) ≤ g(n) per ogni valore di n.

Il problema è stato completamente risolto per i quadrati, mentre per cubi e i biquadrati vi è una differenza di una sola unità tra il massimo e il minimo dimostrati e quello ritenuto corretto (per maggiori dettagli v. quadraticubi e biquadrati); sulle potenze superiori si sa ben poco.

Sono noti i limiti (Paul Erdös e János Surányi, 2002):

  • Limite superiore per v(n);

  • v(n) ≤ G(n) + 1.

 

La tabella seguente mostra i valori di v(n) per n da 2 a 5.

n

v(n)

2

3

3

4 o 5

4

9 o 10

5

5 ≤ v(5) ≤ 10

 

Per ogni esponente n esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di n-esime potenze distinte (R. Sprague, 1948).

In seguito N. Looper e N. Saritzky, dimostrarono che per qualsiasi valore di n, m e k esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di k o più n-esime potenze distinte, non minori di mn.

 

La tabella seguente mostra alcuni risultati (per maggiori dettagli v. quadrati, cubi e biquadrati).

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

Autore

2

31

128

R. Sprague, 1948

3

2788

12758

R.L. Graham, 1964

4

889576

5134240

S. Lin, 1970

5

13912682

67898771

C.D. Patterson, 1992

6

2037573096

11146309947

C. Fuller e R.H. Nichols Jr., 2015

7

 

766834015734

Donovan Johnson, 2010

 

Qui trovate gli interi inferiori a 106 non rappresentabili come somma di quinte potenze distinte (6.5 Mbyte).

 

Il massimo intero non rappresentabile come somma di n-esime potenze distinte è minore di Limite superiore per il massimo intero non rappresentabile come somma di n-esime potenze distinte, dove a = 2n2n! e b = 2n3an  – 1 (Doyon Kim, 2006). Il limite indicato dalla formula è però astronomicamente superiore al valore vero: vale 185745935695608 per n = 2 e 877055842043545852460060894335840424505410251936250654961703461088 per n = 3.

 

Nel 1954 K. F. Roth e G. Szekeres generalizzarono il teorema a qualsiasi polinomio con coefficiente di grado massimo positivo e tale che non tutti i valori assunti dal polinomio siano multipli di uno stesso primo.

 

Il problema di Waring – Goldbach consiste nello stabilire il valore V(n), tale che ogni intero abbastanza grande possa essere ottenuto come somma di V(n) potenze n-esime di numeri primi. Il problema si pone solo per numeri abbastanza grandi, perché, non essendo 1 un numero primo, vi sono vari numeri che non possono essere espressi come somma di potenze di primi di esponente fissato (per esempio, 7 non può essere espresso come somma di quadrati o potenze superiori di primi).

Naturalmente per ogni n V(n) ≥ G(n).

 

Vinogradov dimostrò nel 1937 e 1938 che per ogni intero n esiste V(n).

 

I limiti superiori noti per i valori di V(n) sono:

  • V(n) ≤ 2n + 1 (L.-K. Hua, 1965);

  • Limite superiore per il numero di n-esime potenze di primi necessarie per rappresentare ogni intero abbastanza grande, per una costante C.

 

La strategia di attacco più comune, delineata da L.-K. Hua nel 1938, consiste nel dimostrare che ogni intero abbastanza grande della forma ak + b può essere rappresentato come somma di un certo numero di potenze n-esime, per poi trattare gli altri resti modulo a sommando un certo numero di potenze di primi piccoli. In particolare Subbayya Sivasankaranarayana Pillai colmò nel 1940 le lacune e trovò limiti inferiori per V(n) per le potenze fino alla decima.

 

La tabella mostra i migliori valori noti di V(n); è probabile che alcuni possano essere migliorati.

n

V(n) per n della forma ak + b

Forma di n

V(n) per n qualsiasi

Autore della dimostrazione per il limite superiore di V(n) e anno

1

V(1) = 3

n dispari

3 ≤ V(1) ≤ 4

I.M. Vinogradov 1937

2

V(2) ≤ 5

24k + 5

7 ≤ V(2) ≤ 9

L.-K. Hua, 1938

3

V(3) ≤ 9

n dispari

6 ≤ V(3) ≤ 10

L.-K. Hua, 1938

4

V(4) ≤ 14

240k + 14

20 ≤ V(4) ≤ 29

K. Kawada e T.D. Wooley, 2001

5

V(5) ≤ 21

n dispari

7 ≤ V(5) ≤ 22

K. Kawada e T.D. Wooley, 2001

6

V(6) ≤ 33

168k + 33

20 ≤ V(6) ≤ 45

K. Thanigasalam, 1987

7

V(7) ≤ 47

n dispari

9 ≤ V(7) ≤ 47

Kumchev

8

V(8) ≤ 63

96k + 63

41 ≤ V(8) ≤ 94

K. Thanigasalam, 1987

9

V(9) ≤ 83

n dispari

13 ≤ V(9) ≤ 84

K. Thanigasalam, 1987

10

V(10) ≤ 107

264k + 107

23 ≤ V(10) ≤ 118

K. Thanigasalam, 1987

 

 Nel 2009 Jack Buttcane dimostrò limiti inferiori e superiori per V’(n), definito come il minimo numero tale che ogni numero abbastanza grande possa essere espresso come somma di esattamente V’(n) potenze n-esime di numeri primi non nulli e che n + 2 ≤ V’(n) ≤ 4nlogn + (2 + eγ)nloglogn + O(n). La tabella seguente mostra i suoi risultati.

n

V’(n)

1

3 ≤ V’(1) ≤ 4

2

12 ≤ V’(2) ≤ 14

3

7 ≤ V’(3) ≤ 10

4

26 ≤ V’(4) ≤ 35

5

8 ≤ V’(5) ≤ 22

6

29 ≤ V’(6) ≤ 54

7

9 ≤ V’(7) ≤ 47

8

47 ≤ V’(8) ≤ 100

9

14 ≤ V’(9) ≤ 84

10

31 ≤ V’(10) ≤ 126

 

Š. Porubský dimostrò nel 1979 che per ogni esponente n esiste un numero finito di interi non rappresentabili come somma di n-esime potenze di primi distinti, ma sul massimo intero non rappresentabile per le varie potenze si sa molto meno.

La tabella seguente mostra alcuni risultati (per maggiori dettagli v. quadrati, cubi e biquadrati).

n

Numero di interi non rappresentabili

Massimo intero non rappresentabile

Autore

1

3 6

 

2

2438

17163

 

3

483370

1866000

 

 

Gli unici interi che non sono somma di primi distinti sono 1, 4 e 6.

 

Un altro problema è cercare numeri esprimibili come somma di potenze, con esponente fissato, in più modi. La tabella mostra i minimi interi noti che possano essere espressi come somma di potenze con lo stesso esponente in due modi diversi (v. anche quadrati, cubi e biquadrati).

Esponente

Due potenze

Tre potenze, anche nulle

Tre potenze non nulle

Tre potenze diverse e non nulle

2

25 = 52 + 02 = 42 + 32

18 = 32 + 32 + 02 = 42 + 12 + 12

27 = 32 + 32 + 32 = 52 + 12 + 12

62 = 62 + 52 + 12 = 72 + 32 + 22

3

1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

 

251 = 13 + 53 + 53 = 23 + 33 + 63

1009 = 103 + 23 + 13 = 243 + 93 + 63

4

635318657 = 1584 + 594 = 1344 + 1334

4802 = 84 + 54 + 34 = 74 + 74 + 04

2673 = 74 + 44 + 24 = 64 + 64 + 34

6578 = 94 + 24 + 14 = 84 + 74 + 34

5

Nessuno noto; esaminati sino a 1026.

563661204304422162432 = 141325 + 2205 = 140685 + 62375 + 50275

 

1375298099 = 625 + 545 + 35 = 675 + 285 + 245

6

Nessuno noto; esaminati sino a 7 • 1026.

Nessuno noto

 

160426514 = 226 + 196 + 36 = 236 + 156 + 106

 

Non si conoscono interi rappresentabili in due modi diversi come somma di due potenze con esponente uguale e maggiore di 4.

 

Non si conosce alcun numero rappresentabile come somma di due quinte potenze in due modi diversi, ma se si considerani gli interi di Gauss esistono infinite soluzioni. In particolare si conosce una formula parametrica: –8(t2 + s2)(t4 – 2st3 – 6s2t2 + 2s3t + s4)(t4 + 2st3 – 6s2t2 – 2s3t + s4) = (s2 + t2 – i(s2 – 2stt2))5 + (s2 + t2 + i(s2 – 2stt2))5 = (s2 + t2 – i(s2 + 2stt2))5 + (s2 + t2 + i(s2 + 2stt2))5; l’esempio minimo è 3800 = (5 + i)5 +(5 – i)5 = (5 + 7i)5 +(5 – 7i)5.

 

Il minimo intero che può essere espresso come somma di n quarte potenze in due modi diversi, per 3 < n < 15, è 255 + n = 44 + 14 + 14 + 14 + (n – 4)14 = 34 + 34 + 34 + 24 + (n – 4)14 e per n > 15, è 240 + n = 16 • 44 + (n – 16)14 = 34 + 34 + 34 + (n – 13)14.

 

La tabella seguente mostra il minimo intero che possa essere espresso come somma di n o n + 1 potenze non nulle con lo stesso esponente, per n = 2 e 3. Per n > 3 basta aggiungere una o più unità al caso n = 3; per esempio, il minimo intero che possa essere espresso come somma di 4 o 5 quarte potenze non nulle è 2433 + 1 = 2434: 2434 = 74 + 24 + 24 + 14 = 64 + 54 + 44 + 44 + 14.

Esponente

2 o 3 potenze

3 o 4 potenze

2

17 = 42 + 12 = 32 + 22 + 22

18 = 42 + 12 + 12 = 32 + 22 + 22 + 12

3

344 = 73 + 13 = 63 + 43 + 43

81 = 33 + 33 + 33 = 43 + 23 + 23 + 13

4

4802 = 74 + 74 = 84 + 54 + 34

2433 = 74 + 24 + 24 = 64 + 54 + 44 + 44

5

563661204304422162432 = 141325 + 2205 = 140685 + 62375 + 50275 (Bob Scher e Ed Seidl, 1997)

14919500 = 255 + 225 + 35 = 275 + 145 + 85 + 15 (K.S. Rao, 1934)

6

Nessun numero noto

194153023074 = 736 + 586 + 416 = 706 + 656 + 326 + 156 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

 

Per altri interi esprimibili in più modi come somma di quadrati v. quadrati.

Per altri interi esprimibili in più modi come somma di cubi v. cubi.

Per altri interi esprimibili in più modi come somma di biquadrati v. biquadrati.

 

Per potenze superiori alla sesta il minimo valore di n per il quale siano note soluzioni aumenta; riporto le soluzioni minime col minimo valore di n noto:

  • 1053372878371 = 507 + 437 + 167 + 127 = 527 + 297 + 267 + 117 + 37 (A. Gloden, 1949);

  • 5721040327741685409 = 2218 + 1088 + 948 + 948 = 1958 + 1948 + 1888 + 1268 + 388;

  • 7239039183139 = 368 + 368 + 338 + 258 + 218 = 388 + 348 + 328 + 158 + 158 + 138;

  • 106993875652234272 = 729 + 679 + 669 + 539 + 439 + 379 + 359 + 299 + 199 + 69 + 59 = 719 + 709 + 639 + 559 + 409 + 399 + 339 + 329 + 179 + 99 + 29 + 19; non è noto se sia la soluzione minima.

 

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 4 quinte potenze è 20511392 = 295 + 35 = 285 + 205 + 105 + 45.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 o 6 quinte potenze è 7632966 = 225 + 175 + 165 + 65 + 55 = 215 + 205 + 125 + 105 + 25 + 15 (A. Moessner e A. Gloden, 1944).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 quinte potenze in due modi diversi è 1375298099 = 625 + 545 + 35 = 675 + 285 + 245.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 quinte potenze in due modi diversi, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 51445 = 85 + 65 + 65 + 55 = 75 + 75 + 75 + 45 (K.S. Rao, 1934).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 quinte potenze in tre modi diversi, senza numeri uguali in tutte le rappresentazioni, è 1479604544 = 615 + 525 + 485 + 35 = 645 + 515 + 365 + 135 = 665 + 445 + 365 + 185 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 6 quinte potenze in due modi diversi, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 87648573773376 = 5405 + 4965 + 3965 + 2645 + 2335 + 875 = 5235 + 5225 + 3665 + 3095 + 2065 + 905 (K.S. Rao, 1934).

 

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 5 seste potenze è 2150734582950343769 = 11176 + 7706 = 10926 + 8616 + 6026 + 2126 + 846 (E. Brisse, 1999).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 6 seste potenze è 195930618283010 = 2416 + 176 = 2186 + 2106 + 1186 + 636 + 636 + 426 ((K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 7 seste potenze è 598710231497 = 916 + 566 = 786 + 786 + 696 + 586 + 366 + 226 + 186 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 8 seste potenze, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 4403992034 = 376 + 356 = 366 + 336 + 306 + 246 + 156 + 126 + 106 + 86 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 9 seste potenze, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 85812777 = 216 + 66 = 196 + 176 + 136 + 136 + 136 + 76 + 56 + 56 + 16 ( (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 10 seste potenze, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 5971968 = 126 + 126 = 116 + 116 + 116 + 96 + 76 + 46 + 46 + 16 + 16 + 16 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 seste potenze in due modi diversi è 160426514 = 226 + 196 + 36 = 236 + 156 + 106 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 seste potenze in due modi diversi, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 1063010 = 96 + 96 + 26 + 26 = 106 + 66 + 56 + 36 (A. Rao, 1934).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 seste potenze in tre modi diversi, senza numeri uguali in tutte le rappresentazioni, è 1885800643779 = 1116 + 496 + 346 + 16 = 1106 + 696 + 436 + 76 = 1096 + 776 + 256 + 186 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 6 settime potenze è 476841744674549 = 1257 + 247 = 1217 + 947 + 837 + 617 + 577 + 277 (J.-C. Meyrignac).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 8 settime potenze è 42628442977 = 337 + 107 = 317 + 287 + 207 + 157 + 157 + 77 + 67 + 57 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 10 settime potenze è 10460353331 = 277 + 27 = 237 + 237 + 227 + 187 + 167 + 147 + 147 + 137 + 47 + 87 = 237 + 227 + 227 + 207 + 187 + 147 + 137 + 97 + 77 + 77 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 5 settime potenze è 75339912423370 = 967 + 417 + 177 = 867 + 777 + 777 + 687 + 567 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 7 settime potenze è 51771810176 = 307 + 307 + 267 = 317 + 287 + 277 + 167 + 127 + 77 + 77 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 5 settime potenze è 1053372878371 = 507 + 437 + 167 + 127 = 527 + 297 + 267 + 117 + 37 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 settime potenze in due modi diversi è 2056364173794800 = 1467 + 1297 + 907 + 157 = 1497 + 1237 + 147 (K.L. Ekl, 1998).

Vi sono infiniti interi rappresentabili come somma di 5 settime potenze in due modi diversi; il minimo esempio, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 1229250016 = 187 + 177 + 157 + 127 + 27 = 197 + 167 + 137 + 87 + 87 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967); il minimo con interi tutti differenti è 10500437728 = 267 + 217 + 187 + 127 + 117 = 247 + 237 + 227 + 107 + 97 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967)

Vi sono infiniti interi rappresentabili come somma di 6 settime potenze in due modi diversi; il minimo esempio, senza numeri uguali tra le due rappresentazioni, è 73310704 = 127 + 127 + 77 + 77 + 17 + 17 = 137 + 107 + 67 + 67 + 37 + 27 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

L’unico intero noto rappresentabile come somma di 2 o 7 ottave potenze è 10911629173522697152074242 = 13038 + 11278 = 2728 + 4018 + 5168 + 6238 + 6488 + 9768 + 13348 (S. Chase e J.-C. Meyrignac).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 8 ottave potenze è 83320486334230786 = 958 + 1298 = 208 + 558 + 578 + 748 + 828 + 868 + 928 + 1288 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 9 ottave potenze è 282643895362 = 118 + 278 = 28 + 78 + 88 + 168 + 178 + 208 + 208 + 248 + 248 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 5 ottave potenze è 765381793634649192581218 = 818 + 5398 + 9668 = 1588 + 3108 + 4818 + 7258 + 9548 (S. Chase e J.-C. Meyrignac).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 7 ottave potenze è 18966465342862817 = 58 + 688 + 1088 = 68 + 268 + 378 + 528 + 888 + 888 + 1028 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 8 ottave potenze è 39069492534657 = 88 + 178 + 508 = 68 + 128 + 168 + 168 + 388 + 388 + 408 + 478 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 5 ottave potenze è 5721040327741685409 = 948 + 948 + 1088 + 2218 = 388 + 1268 + 1888 + 1948 + 1958 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 6 ottave potenze è 24311963447043 = 58 + 128 + 298 + 478 = 38 + 238 + 268 + 308 + 408 + 458 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 7 ottave potenze è 2277691429122 = 68 + 118 + 208 + 358 = 78 + 98 + 168 + 228 + 228 + 288 + 348 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 7 ottave potenze è 2277691429122 = 68 + 118 + 208 + 358 = 78 + 98 + 168 + 228 + 228 + 288 + 348 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 o 6 ottave potenze è 7239039183139 = 218 + 258 + 338 + 368 + 368 = 138 + 158 + 158 + 328 + 348 + 388 (K.L. Ekl, 1998); il minimo rappresentabile come somma di 5 o 6 ottave potenze diverse è 8069626618819 = 168 + 198 + 208 + 218 + 418 = 88 + 98 + 178 + 308 + 318 + 408 (K.L. Ekl, 1998).

L’unico intero noto rappresentabile come somma di 4 ottave potenze in due modi diversi è 9299777658352887974911487459 = 8618 + 19538 + 20128 + 31138 = 11288 + 25578 + 27678 + 28238 (Nuutti Kuosa).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 ottave potenze in due modi diversi è 11714114636483 = 58 + 288 + 328 + 358 + 418 = 18 + 108 + 118 + 208 + 438 (A. Letac, 1942).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 6 ottave potenze in due modi diversi è 80992339299 = 38 + 68 + 88 + 108 + 158 + 238 = 58 + 98 + 98 + 128 + 208 + 228 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 7 ottave potenze in due modi diversi è 836264356 = 18 + 38 + 58 + 68 + 68 + 88 + 138 = 48 + 78 + 98 + 98 + 108 + 118 + 128 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 8 ottave potenze in due modi diversi è 647282661 = 18 + 38 + 78 + 78 + 78 + 108 + 108 + 128 = 48 + 58 + 58 + 68 + 68 + 118 + 118 + 118 (S. Sastry, 1934).

 

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 9 none potenze è 34136900087370061299921485 = 4299 + 6869 = 1069 + 1409 + 2039 + 2369 + 2909 + 3269 + 4849 + 5899 + 6619 (J. Wroblewski 2002).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 10 none potenze è 17036868493407780206 = 699 + 1379 = 99 + 149 + 269 + 289 + 529 + 899 + 1159 + 1169 + 1169 + 1219 (L. Morelli 1999).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 2 o 11 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 12 none potenze è 832723405956 = 159 + 219 = 29 + 29 + 29 + 29 + 39 + 39 + 49 + 79 + 169 + 179 + 199 + 199 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 2 o 13 none potenze non nulle.

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 2 o 14 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 9 none potenze è 330432202545379 = 39 + 389 + 389 = 99 + 129 + 139 + 139 + 189 + 209 + 209 + 239 + 419 (K.L. Ekl, 1998).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 3 o 10 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 3 o 11 none potenze è 19762323976109 = 139 + 169 + 309 = 29 + 39 + 69 + 79 + 99 + 99 + 199 + 199 + 219 + 259 + 299 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 6 none potenze è 405592518786825734 = 359 + 359 + 649 + 909 = 169 + 279 + 439 + 629 + 809 + 869 (K.L. Ekl, 1998).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 4 o 7 none potenze non nulle.

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 4 o 8 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 9 none potenze è 191660883204383 = 29 + 129 + 319 + 389 = 39 + 49 + 89 + 139 + 159 + 309 + 329 + 329 + 369 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 10 none potenze è 868161256794 = 59 + 129 + 169 + 219 = 29 + 69 + 69 + 99 + 109 + 119 + 149 + 189 + 199 + 199 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 5 o 6 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 o 7 none potenze è 84327188849953 = 129 + 159 + 159 + 269 + 359 = 69 + 89 + 149 + 169 + 249 + 329 + 339 (K.L. Ekl, 1998).

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 5 o 8 none potenze non nulle.

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 5 o 9 none potenze non nulle.

Non si conoscono interi rappresentabili come somma di 5 o 10 none potenze non nulle.

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 o 11 none potenze è 1740104835911 = 79 + 89 + 149 + 209 + 229 = 39 + 59 + 59 + 99 + 99 + 129 + 159 + 159 + 169 + 219 + 219 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 none potenze in due modi diversi è 356099046047451719360 = 269 + 309 + 919 + 1019 + 1929 = 129 + 179 + 1169 + 1759 + 1809 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 6 none potenze in due modi diversi è 2041381997362 = 59 + 99 + 109 + 159 + 219 + 229 = 19 + 139 + 139 + 149 + 189 + 239 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 2 o 12 decime potenze è 401023028335301365225 = 9910 + 11210 = 510 + 510 + 1510 + 2010 + 5210 + 5910 + 5910 + 7210 + 7910 + 8310 + 10310 + 10910 (V. Pliousnine, 2000).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 13 decime potenze è 120168323734455625 = 3210 + 5110 = 310 + 510 + 910 + 1010 + 1010 + 1510 + 2510 + 2610 + 2810 + 3710 + 4110 + 4310 + 4910 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 15 decime potenze è 2758547353574674 = 310 + 3510 = 110 + 110 + 710 + 910 + 1110 + 1210 + 1310 + 1310 + 1310 + 2010 + 2010 + 2110 + 2410 + 3210 + 3310 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 2 o 19 decime potenze è 2019480684850 = 910 + 1710 = 210 + 210 + 210 + 210 + 210 + 510 + 610 + 1010 + 1110 + 1110 + 1110 + 1110 + 1110 + 1110 + 1210 + 1210 + 1510 + 1510 + 1510 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 3 o 11 decime potenze è 71708665908982665318665250 = 8810 + 20910 + 38510 = 1210 + 6410 + 7610 + 18410 + 21610 + 22810 + 28510 + 29310 + 30410 + 31810 + 36810 (J. Wroblewski, 2002).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 3 o 12 decime potenze è 619200866160861209600 = 2210 + 4410 + 12010 = 210 + 510 + 2310 + 3710 + 4110 + 5110 + 5110 + 6510 + 8510 + 9010 + 10210 + 11610 (T. Nolan, 2000).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 3 o 13 decime potenze è 43573207312410624 = 2210 + 3210 + 4610 = 310 + 310 + 410 + 610 + 910 + 910 + 1210 + 1610 + 1710 + 2610 + 2710 + 4310 + 4310 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 3 o 14 decime potenze è 886686767744000 = 410 + 2810 + 3010 = 210 + 210 + 510 + 910 + 910 + 910 + 1010 + 1610 + 1710 + 1710 + 2010 + 2010 + 2310 + 3110 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 4 o 9 decime potenze è 281485652251469417045219826341874 = 24610 + 104010 + 147710 + 172310 = 11010 + 55010 + 109310 + 113010 + 114410 + 122110 + 150010 + 154210 + 162810 (J. Wroblewski, 2002).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 4 o 10 decime potenze è 103416335057597722168878852723 = 7510 + 10310 + 26010 + 79710 = 14310 + 26410 + 32310 + 35210 + 39210 + 54110 + 57210 + 64610 + 70410 + 74810 (J. Wroblewski, 2002).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 4 o 11 decime potenze è 1803636488567749048422154 = 6610 + 9910 + 20910 + 26410 = 2910 + 5610 + 6210 + 7610 + 8110 + 14010 + 15010 + 18410 + 19610 + 24010 + 25210 (S. Chase).

Il minimo intero noto rappresentabile come somma di 4 o 12 decime potenze è 229308752165140825 = 2210 + 4410 + 4410 + 5110 = 410 + 710 + 1310 + 1610 + 1710 + 1710 + 2810 + 2910 + 3910 + 4310 + 4910 + 5110 (E. Bainville, 1999).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 4 o 15 decime potenze è 165706044854596 = 2310 + 2310 + 2310 + 2310 = 410 + 410 + 410 + 610 + 1210 + 1510 + 1710 + 1710 + 1710 + 1810 + 1810 + 1810 + 1810 + 1810 + 2610 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 5 o 16 decime potenze è 1389840142674 = 310 + 310 + 810 + 1410 + 1610 = 110 + 110 + 110 + 110 + 210 + 410 + 410 + 610 + 1210 + 1210 + 1310 + 1310 + 1310 + 1310 + 1310 + 1510 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 6 o 16 decime potenze è 3668322075522 = 210 + 310 + 1010 + 1110 + 1210 + 1810 = 410 + 510 + 610 + 610 + 610 + 610 + 710 + 710 + 710 + 710 + 1310 + 1310 + 1310 + 1310 + 1610 + 1710 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 6 decime potenze in due modi diversi è 63130456038464578275 = 1610 + 2510 + 2810 + 3210 + 7110 + 9510 = 510 + 2310 + 3410 + 3410 + 8510 + 9210 (K.L. Ekl, 1998).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 7 decime potenze in due modi diversi è 8092702748691875 = 110 + 810 + 1510 + 2610 + 2610 + 3310 + 3810 = 2210 + 2310 + 2410 + 2910 + 3210 + 3510 + 3610 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

Il minimo intero rappresentabile come somma di 7 decime potenze diverse in due modi diversi è 3082802618899752700 = 110 + 2810 + 3110 + 3210 + 5510 + 6110 + 6810 = 1710 + 2010 + 2310 + 4410 + 4910 + 6410 + 6710 (L.J. Lander, T.R. Parkin e J.L. Selfridge, 1967).

 

La tabella seguente riporta i minimi valori noti di m, per i quali si conoscono interi esprimibili come somma di n o m k-esime potenze; in quasi tutti i casi non è stato dimostrato che non possano esistere soluzioni con m minore.

Esponente

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

1

1

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

3

3

2

 

 

 

 

4

3

2?

 

 

 

 

5

4

3?

 

 

 

 

6

7

5?

3?

 

 

 

7

7

6?

5?

4?

 

 

8

8

7?

5?

5?

 

 

9

10

9?

8?

6?

5?

 

10

13

12?

11?

9?

7?

6?

 

La tabella seguente riporta i minimi valori noti di m, per i quali si conoscono interi esprimibili come somma di n o m k-esime potenze; in quasi tutti i casi non è stato dimostrato che non possano esistere soluzioni con m minore.

Esponente

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

1

1

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

3

3

2

 

 

 

 

4

3

2?

 

 

 

 

5

4

3?

 

 

 

 

6

7

5?

3?

 

 

 

7

7

6?

5?

4?

 

 

8

8

7?

5?

5?

 

 

9

10

9?

8?

6?

5?

 

10

13

12?

11?

9?

7?

6?

 

Vi sono infiniti interi rappresentabili in 2 modi come come aba, con a e b interi positivi: fissato p > 1, basta prendere due interi r e s maggiori di zero e calcolare k = spr + r dopodichè per qualsiasi q > 1 vale l’identità pkqpk = pr(psqpspr)pr. Per esempio, per p = 2, r = 2 e s = 1, otteniamo k = 6 e l’identità 64q64 = 4(2q16)4 per qualsiasi q > 1.

Un’altra famiglia infinita di casi si ottiene prendendo 6 interi maggiori di zero a1, a2, b1, b2, p e q, calcolando k1 = pa1qb1 e k2 = pa2qb2, poi trovando r1, r2, s1 e s2 tali che a1 + r1k1 = a2 + r2k2 e b1 + s1k1 = b2 + s2k2 (operazione sempre possibile se a1 ≡ a2 mod (pq)min(a1a2) e b1 ≡ b2 mod (pq)min(b1b2)); vale l’identità pa1qb1(pr1qs1)pa1qb1 = pa2qb2(pr2qs2)pa2qb2. Per esempio, prendendo p = 2, q = 3, a1 = 7, b1 = 1, a2 = 1 e b2 = 7, avremo k1 = 384, k2 = 4374, e si può prendere r1 = 467, r2 = 41, s1 = 262, s2 = 23 per ottenere 384(24673262)384 = 4374(241323)4374.

Sono possibili infinite altre identità analoghe più complesse, che permettono di dimostrare che esistono infiniti interi rappresentabili come aba in un numero di modi grande a piacere.

 

Gli interi minori di 1010 rappresentabili come aba in più modi diversi sono:

648 = 3 • 63 = 2 • 182;

2048 = 8 • 28 = 2 • 322;

4608 = 9 • 29 = 2 • 482;

5184 = 4 • 64 = 3 • 123;

41472 = 3 • 243 = 2 • 1442;

52488 = 8 • 38 = 2 • 1622;

472392 = 3 • 543 = 2 • 4862;

500000 = 5 • 105 = 2 • 5002;

524288 = 8 • 48 = 2 • 5122;

2654208 = 3 • 963 = 2 • 11522;

3125000 = 8 • 58 = 2 • 12502;

4718592 = 18 • 218 = 2 • 15362;

10125000 = 3 • 1503 = 2 • 22502;

13436928 = 8 • 68 = 2 • 25922;

21233664 = 4 • 484 = 3 • 1923;

30233088 = 3 • 2163 = 2 • 38882;

46118408 = 8 • 78 = 2 • 48022;

76236552 = 3 • 2943 = 2 • 61742;

134217728 = 8 • 88 = 2 • 81922;

169869312 = 3 • 3843 = 2 • 92162;

344373768 = 8 • 98 = 3 · 4863 = 2 • 131222;

402653184 = 24 • 224 = 3 • 5123;

512000000 = 5 • 405 = 2 • 160002;

648000000 = 3 • 6003 = 2 • 180002;

737894528 = 7 • 147 = 2 • 192082;

800000000 = 8 • 108 = 2 • 200002;

838860800 = 25 • 225 = 2 • 204802;

922640625 = 5 • 455 = 3 • 6753;

1147971528 = 3 • 7263 = 2 • 239582;

1207959552 = 9 • 89 = 2 • 245762;

1714871048 = 8 • 118 = 2 • 292822;

1934917632 = 3 • 8643 = 2 • 311042;

2754990144 = 4 • 1624 = 3 • 9723;

3127772232 = 3 • 10143 = 2 • 395462;

3439853568 = 8 • 128 = 2 • 414722;

4879139328 = 3 • 11763 = 2 • 493922;

6525845768 = 8 • 138 = 2 • 571222;

6973568802 = 18 • 318 = 2 • 590492;

7381125000 = 3 • 13503 = 2 • 607502.

 

Il minimo intero rappresentabile come aba in 3 modi diversi è 344373768 = 8 • 98 = 3 • 4863 = 2 • 131222.

 

Una generalizzazione del problema consiste nel cercare interi esprimibili come somma di potenze di numeri razionali. Dato che i due numeri razionali devono avere lo stesso denominatore, questo equivale a chiedersi per quali valori di di n l’equazione k = (a / c)^n + (b / c)^n abbia soluzioni intere (anche negative) o equivalentemente, per quali valori esistano soluzioni intere dell’equazione kcn = an + bn.

L’equazione è una generalizzazione dell’equazione di Fermat (v. ultimo teorema di Fermat); per n > 1 possiamo supporre che k non sia multiplo di una potenza n-esima (in caso contrario, dividiamo k per tale potenza e moltiplichiamo c per la base corrispondente); sappiamo che:

  • per n = 1 l’equazione ha infinite soluzioni (banali) per ogni valore di k e c, dati da identità come per esempio k = ((k – a) * c – b) / c + (a * c + b) / c, per qualsiasi valore maggiore di zero di a, b e c ; le soluzioni non degenerano in una somma di interi se acb e MCD(ac + b, c) > 1;

  • per n = 2 l’equazione ha soluzioni se e solo se i fattori primi dispari di k sono tutti della forma 4m + 1; se B(x) è il numero di tali interi minori di x, Limite per x tendente a infinito di B(X) * sqrt(log(x)) = K, dove K è la costante di Landau – Ramanujan;

  • per n = 3 l’equazione ha soluzioni solo per alcuni valori di k; Sylvester e Pepin scoprirono alcune complicate condizioni su n, sufficienti per risolvere l’equazione, ma non necessarie, nel senso che l’equazione si può risolvere anche per alcuni valori di k che non le soddisfano;

  • per n = 5 o n = 7, se k = 2 allora a = b, quindi l’equazione ha solo la soluzione banale a = b = c = 1 (Dénes);

  • per n = 24 e k primo l’equazione ha solo la soluzione banale a = ±1, b = ±1, c = ±1, (J.M. Gandhi, 1964);

  • per n > 3 l’equazione ha soluzioni solo per alcuni dei valori di k, ma non si conosce un metodo generale per trovarli;

  • per n primo e maggiore di 7 e k potenza di 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53 o 59, ma non di n, l’equazione non ha soluzioni (Serre 1987).

 

Una soluzione generale per il problema di trovare un intero rappresentabile come somma di due n-esime potenze di numeri razionali è ((a * c^n + b) / c)^n + ((a * c^n –  b) / c)^n = k, per n dispari, e in particolare ((a^(n – 1) + 1) / 2)^n + ((a^(n – 1) – 1) / 2)^n = k, per n dispari e a pari, ma non è garantito che l’intero risultante non possa essere rappresentato come somma di due n-esime potenze di interi, né che sia il minimo intero con la proprietà richiesta, anche se alcuni suggeriscono che ((2^(n – 1) + 1) / 2)^n + ((2^(n – 1) – 1) / 2)^n = k, cioè il caso a = 2, possa essere la soluzione minima per n dispari e maggiore di 3.

 

La tabella seguente riporta le soluzioni minime dell’equazione k = (a / c)^n + (b / c)^n per alcuni valori di k, incluse quelle nelle quali i numeri razionali sono semplicemente interi.

k

a

b

c

n

1

4

3

5

2

2

1

1

1

3

4

2

0

1

2

5

2

1

1

2

6

37

17

21

3

7

2

–1

1

3

8

2

0

1

3

9

2

1

1

3

10

3

1

1

2

12

89

19

39

3

15

683

397

294

3

17

18

–1

7

3

19

3

–2

1

3

20

19

1

7

3

22

25469

17299

9954

3

26

3

–1

1

3

28

3

1

1

3

43

7

1

2

3

La soluzione per k = 6 e n = 3 risale a Lagrange.

 

La tabella seguente riporta i primi valori di k esprimibili come somma di due potenze n-esime di numeri razionali e il minimo intero esprimibile come somma di due n-esime potenze di razionali non interi, ma non di interi (per n > 4 la tabella riporta il minimo noto, non essendo stato dimostrato che non ve ne sia uno inferiore).

n

Valori di k per i quali si conoscono soluzioni

Minimo intero esprimibile come somma di due n-esime potenze di razionali non interi

2

1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160

Nessuno

3

2, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 26, 28, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 42, 43, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 75, 78, 79, 84, 85, 86, 87, 89, 90, 91, 92, 94, 96, 97, 98, 103, 104, 105, 106, 107, 110, 114, 115, 117, 120, 127, 139, 151, 157, 163, 179, 193, 197, 211, 223, 229, 233, 241, 251, 269, 271, 277, 283, 313, 331, 337, 349, 359, 367, 373, 379, 397, 409, 421, 431, 433, 439, 449, 457, 463, 467, 499, 503, 521

6 = (37 / 21)^3 + (17 / 21)^3

4

2, 17, 32, 82, 97, 162, 257, 272, 337, 512, 626, 641, 706, 881, 1250, 1297, 1312, 1377, 1552, 1921, 2402, 2417, 2482, 2592, 2657, 3026, 3697, 4097, 4112, 4177, 4352, 4721, 4802, 5392, 5906

5906 = (149 / 17)^4 + (25 / 17)^4

5

2, 31, 33, 64, 211, 242, 244, 275, 486, 781, 992, 1023, 1025, 1056, 1267, 2048, 2101, 2882, 3093, 3124, 3126, 3157, 3368, 4149, 4651, 6250, 6752, 7533, 7744, 7775, 7777, 7808, 8019, 8800, 9031, 10901, 13682, 15552, 15783, 15961, 16564, 16775, 16806, 16808, 16839, 17050, 17831, 19932, 24583, 24992, 26281, 29643, 31744, 32525, 32736, 32767, 32769, 32800, 33011, 33614, 33792, 35893, 40544, 40951, 42242, 49575, 51273, 55924, 58025, 58806, 59017, 59048, 59050, 59081, 59292, 60073, 61051, 62174, 65536, 66825, 67232, 68101

68101 = (17 / 2)^5 + (15 / 2)^5?

6

 

164634913 = (117 / 5)^6 + (44 / 5)^6?

7

 

69071941639 = (65 / 2)^7 + (63 / 2)^7?

8

 

1434291092727300876006605516889300193474781454764897 = (42169019 / 17)^8 + (16838996 / 17)^8?

9

 

18456877714042519561 = (257 / 2)^9 + (255 / 2)^9?

10

 

632498552177152162935401 = (1199 / 5)^10 + (718 / 5)^10?

 

Se è vera la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, per n = 3 esistono infiniti valori di k primi per i quali esistono soluzioni.

 

Fissato n, data una soluzione dell’equazione k = (a / c)^n + (b / c)^n se ne ottengono banalmente infinite altre, moltiplicando a, b e k per una qualsiasi n-esima potenza.

 

L’ultimo teorema di Fermat ci assicura che 1 non è esprimibile come somma di due potenze di razionali con esponente maggiore di 2.

 

Una delle conseguenze della famosa congettura “abc” (tuttora non dimostrata) è che, fissati a, b e c, l’equazione axn + byn = czn ha al massimo 2 soluzioni per n sufficientemente grande e non ne ha nessuna se n supera un limite, che dipende da a, b e c (v. numeri di Mersenne), mentre è stato dimostrato che se n = 2 e k > 1, le uniche soluzioni sono a = b = c e a = –b, c = 0.

 

Tra le varianti considerate va ricordata la congettura proposta da Bahir Farhi nel 2014, secondo la quale per ogni intero n > 1 esiste un intero a(n) tale che ogni numero naturale possa essere rappresentato come Formula per la congettura di Farhi, con x, y e z interi.

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