Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze
  6. 6. In costruzione.
  7. 7. Potenze uguali a somme di potenze

Per le somme di potenze con lo stesso esponente degli interi da 1 a n si veda la formula di Faulhaber (v. numeri di Bernoulli), che può essere scritta come: Formula per la somma delle potenze k-esime degli interi da 1 a n, dove Bk(n) indica il k-esimo polinomio di Bernoulli, mentre per le somme a segni alternati vale la formula Formula per la somma delle potenze k-esime degli interi da 1 a n a segni alternati, dove Ek(n) indica il k-esimo polinomio di Eulero; nel caso di esponente dispari la formula si può scrivere come Formula per la somma delle potenze (2 * k + 1)-esime degli interi da 1 a n a segni alternati.

 

Un’altra formula per le somme di potenze è Formula per la somma di potenze k-esime di interi per n < m, dove Bn(x) è l’n-esimo polinomio di Bernoulli.

 

Le uniche soluzioni della congruenza Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi sono: 1, 2, 6, 42 e 1806 (J.M. Grau, M. Oller-Marcén, e J. Sondow, 2015).

 

Se p è primo e p – 1 divide n, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi; se invece p – 1 non divide n, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi.

 

Emma Lehmer dimostrò nel 1937 che se p è un primo dispari maggiore di k e 2n – 2 non è multiplo di p – 1, valgono le congruenze:

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi e in particolare Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi (Dmitry Semionovitch Mirimanoff, 1895);

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi e in particolare Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interiCongruenza che coinvolge una somma di potenze di interi per p > 3, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi per p > 3 e Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi per p > 5;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi e in particolare Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi e Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi, dove En è l’n-esimo numero di Eulero;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi.

Se 2n – 2 è multiplo di p – 1, tutte queste congruenze restano valide modulo ps – 1 anziché ps.

 

Nel 2013 José María Grau, P. Moree e Antonio M. Ollen-Marcén dimostrarono che:

  • se d divide r, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi;

  • se p è un primo dispari, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi, se p – 1 divide n, Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi, se p – 1 non divide n;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi, se t = 1 o t > 1 e n è pari o 1;

  • Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi, se t > 1 e n è dispari e maggiore di 1.

 

Nel 2014 José María Grau, Antonio M. Ollen-Marcén e Jonathan Sondow dimostrarono che se Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi con n multiplo di m, allora n = mr = n / m è pseudoperfetto primario debole e:

  • n non è multiplo di quadrati;

  • per m = 1 le uniche soluzioni si hanno per n uguale a 1, 2, 6, 42 e 1806.

  • se m è pari, n è pari;

  • per n = m le soluzioni sono tutti e soli i numeri dispari, come già dimostrato da José María Grau, P. Moree e Antonio M. Ollen-Marcén nel 2013;

  • per r = 2 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 0.583874 e 0.5846045;

  • per r = 6 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica compresa per m tra 0.70405 e 0.707659;

  • per r = 42 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 0.78215 e 0.79399;

  • per r = 1806 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 0.7747 e 0.812570;

  • per r = 47058 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 0.0560465 e 0.0800567;

  • per r = 2214502422 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 0.0070565 e 0.0800567;

  • per r = 52495396602 non vi sono soluzioni;

  • per r = 8490421583559688410706771261086 vi sono infinite soluzioni, con densità asintotica per m compresa tra 1.2 · 10–53 e 10–30.

 

Nel 2016 Max Alekseyev, José María Grau e Antonio M. Ollen-Marcén dimostrarono che:

  • le soluzioni della congruenza Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi sono gli interi m tali che:

    • m / MCD(m, p) non è multiplo di quadrati;

    • per ogni primo q che divide m, ma non p, q – 1 divide m e m / q + p ≡ 0 mod q;

    • se m è multiplo di una potenza di un primo qr che divide p, ma non di qr + 1, q – 1 non divide m;

    • se m è multiplo di una potenza di un primo qr + 1 e la massima potenza di q che divide p, è qr, q – 1 divide m e m / q^(r + 1) + 1 ≡ 0 mod q;

  • in particolare, se p è primo, le soluzioni della congruenza Congruenza che coinvolge una somma di potenze di interi sono gli interi m tali che:

    • m non è multiplo di quadrati, tranne eventualmente p2;

    • per ogni primo q diverso da p che divide m, q – 1 divide m e m / q + p ≡ 0 mod q;

    • se m è multiplo di p, ma non di p2, p – 1 non divide m;

    • se m è multiplo di p2, p – 1 divide m e m / p^2 + 1 ≡ 0 mod p.

 

Per la somma delle potenze dei soli numeri primi rispetto a n vale la formula Formula per una somma di potenze di interi (Takashi Agoh).

 

Le somme dei reciproci delle potenze degli interi con esponente fissato sono ben note: Formula per la somma dei reciproci delle potenze k-esime degli interi a segni alternati e Formula per la somma dei reciproci delle potenze k-esime degli interi a segni alternati; ci si può chiedere però che succede se sommiamo insieme tutti i reciproci di tutte le potenze, partendo dalla seconda? Ci sono alcuni risultati interessanti:

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente pari degli interi;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente pari degli interi pari;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente pari degli interi dispari;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi pari;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi dispari;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi della forma 4k + 1;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi della forma 4k + 3;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente pari degli interi a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente dispari degli interi a segni alternati;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze con esponente primo degli interi.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di π / 8 – log2 / 2.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di Somma dei reciproci delle potenze degli interi a segni alternati.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di Somma dei reciproci delle potenze con esponente primo degli interi.

 

In queste somme alcune potenze compaiono più volte, perché, per esempio, 16 = 24 = 42; che succede se si eliminano le ripetizioni? Definiamo P come l’insieme delle potenze maggiori di 1, senza ripetizioni: P = { 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125 ... }; allora:

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi senza ripetizioni;

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi meno uno senza ripetizioni (Goldbach);

  • Formula per la somma dei reciproci delle potenze degli interi più uno senza ripetizioni.

Qui trovate le prime 120 cifre decimali di Somma dei reciproci delle potenze degli interi senza ripetizioni (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

J. Bernoulli esaminò altre serie di potenze, giungendo alla formula Formula per la somma di n^m / k^n, per n da 1 a infinito, per |k| > 1. In particolare:

  • Somma dei reciproci delle potenze n-esime di k;

  • Somma di n / k^n, per n da 1 a infinito;

  • Somma di n^2 / k^n, per n da 1 a infinito;

  • Somma di n^3 / k^n, per n da 1 a infinito;

  • Somma di n^4 / k^n, per n da 1 a infinito;

  • Somma di n^5 / k^n, per n da 1 a infinito.

Da notare che se k = 2, tutte queste serie producono numeri interi: Formula per la somma di n^m / 2^n, per n da 1 a infinito, dove b*n è l’n-esimo numero di Bell ordinato.

 

Due integrali legati a somme di reciproci di potenze di interi:

Integrale che coinvolge reciproci di potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697);

Integrale che coinvolge reciproci di potenze di interi (Johann Bernoulli, 1697).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali del primo integrale (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali del secondo integrale (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Alle voci espansione di Lehmer e frazioni continue trovate un’ottima approssimazione dei due integrali.

 

Tra le somme di potenze di interi consecutivi e le potenze delle somme degli stessi interi valgono due identità notevoli, per n > 1:

  • Identità che coinvolge somme di potenze, se e solo se a e b sono entrambi 1, oppure a = 3 e b = 2 (caso noto come “teorema di Nicomaco”); in questi casi vale per qualsiasi valore di n;

  • Identità che coinvolge somme di potenze, se e solo se a = 5, b = 7 e c = 4, nel qual caso vale per qualsiasi valore di n.

(per le dimostrazioni v. International Mathematical Olympiads 1978 – 1985, citato nella bibliografia).

 

Nel 1902 Nicholson dimostrò che, per a e b interi e p primo, Formula che coinvolge somme di potenze, se n < p – 1, e Formula che coinvolge somme di potenze. Inoltre, Formula che coinvolge somme di potenze, se p – 1 divide n, Formula che coinvolge somme di potenze altrimenti.

 

U. Concina dimostrò nel 1912 che per ogni primo dispari p Formula che coinvolge somme di potenze, se n non è multiplo di (p – 1) / 2Formula che coinvolge somme di potenze altrimenti.

L’anno successivo dimostrò che Somma delle potenze n-esime degli interi da 1 a m:

  • per m dispari, è divisibile per m, se n non è un multiplo di p – 1, per ogni fattore primo p di m;

  • per m pari e n dispari, è divisibile per m, se m è un multiplo di 4, per m / 2 altrimenti;

  • per m pari e n pari, è divisibile per m / 2, se n non è un multiplo di p – 1, per ogni fattore primo dispari p di m.

 

Per k dispari e maggiore di 2, la somma delle k-esime potenze dei numeri minori di n e primi rispetto a n è un multiplo di n.

 

Per prodotti di somme di potenze si conoscono due spettacolari identità:

  • l’identità detta “6 – 10 – 8” di Ramanujan 64((a + b + c)6 + (b + c + d)6 – (c + d + a)6 – (d + a + b)6 + (ad)6 – (bc)6)((a + b + c)10 + (b + c + d)10 – (c + d + a)10 – (d + a + b)10 + (ad)10 – (bc)10) = 45((a + b + c)8 + (b + c + d)8 – (c + d + a)8 – (d + a + b)8 + (ad)8 – (bc)8)2;

  • l’identità detta “3 – 7 – 5” di M. Hirschhorn (1998) 25(–(a + b + c)3 + (b + c + d)3 – (c + d + a)3 + (d + a + b)3 + (ad)3 – (bc)3)(–(a + b + c)7 + (b + c + d)7 – (c + d + a)7 + (d + a + b)7 + (ad)7 – (bc)7) = 21(–(a + b + c)5 + (b + c + d)5 – (c + d + a)5 + (d + a + b)5 + (ad)5 – (bc)5)2.

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