Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Le potenze furono inizialmente definite come il prodotto di un numero per se stesso, tante volte quante indicato dall’esponente. La definizione originale, che prevedeva solo esponenti interi, fu poi allargata a potenze prima con esponente negativo e razionale, da Nicholas Oresme (1323 – 1382), poi reale e complesso.

 

Casi particolari sono i quadrati, i cubi e i biquadrati.

 

I Greci, come pure i Babilonesi, concepivano la matematica come strumento al servizio della geometria, rigorosamente euclidea e limitata a tre dimensioni, quindi in genere si disinteressarono delle potenze superiori al cubo. La prima apparizione di potenze superiori risale alla formula di Erone per l'area di un triangolo, che implica il calcolo di un’espressione di quarto grado, e mostra che un’espressione del genere può esistere ed avere un senso, anche se non è raffigurabile materialmente come un’area o un volume e anche se una radice quadrata la riporta rapidamente al secondo grado.

La visione della matematica asservita alle geometria rimase viva per secoli: sebbene già Diofanto avesse proposto problemi con quarte e seste potenze nel III secolo a.C., Girolamo Cardano scriveva nel XVI secolo nell’Ars Magna: “Poiché le prime potenze si riferiscono a una linea [lunghezze], i quadrati alle superfici [aree] e i cubi ai corpi solidi [volumi] sarebbe sciocco per noi procedere oltre questo punto”.

Problemi con potenze superiori compaiono in India, nel XII secolo, ma limitando l’indagine alla ricerca di soluzioni intere.

 

Il problema del valore di 00 è antico, ma sorprendentemente la soluzione è relativamente recente; fino all’inizio del XIX secolo era prassi comune considerare che il valore fosse 0. Fu Cauchy nel 1821 a elencare 00 tra le forme indeterminate, come 0 / 0, ma ancora nel 1830 Guillaume Libri sosteneva nel che 00 = 1 e A.F. Möbius nel 1834 portò a sostegno dell’affermazione il limite (errato) Limite per x tendente a 0 da destra di f(x)^g(x) uguale a 1, se Limite per x tendente a 0 da destra di f(x) e di g(x) uguale a 0. L’errore è evidente se si considera il controesempio f(x) = 1 / e^(1 / x), g(x) = x, perché le due funzioni soddisfano la condizione, ma f(x)^g(x) = 1 / e.

Un’elegante soluzione di compromesso fu proposta da Donald E. Knuth, che nel 1992 suggerì che mentre limiti come quello mostrato vanno trattati come forme indeterminate, la funzione xy non è continua per x = y = 0 e quindi possiamo definirne il valore nell’origine come preferiamo e 00 = 1 è una scelta ragionevole, che semplifica l’enunciato di vari teoremi. La scelta di definire 00 = 1 è comune in molti linguaggi di programmazione e in molte librerie matematiche ed è supportata dallo standard IEEE 754-2008 (che però suggerisce di implementare per esponenti non interi una funzione differente, che produce un valore indeterminato per 00).

 

Con k simboli diversi si possono costruire kn sequenze di n simboli; tra queste ve ne sono (k^n – (k – 2)^n) / 2 che contengono un numero dispari di occorrenze di un simbolo fissato e (k^n + (k – 2)^n) / 2 che ne contengono un numero pari.

 

Alcune formule che coinvolgono potenze:

xaxb = xa + c, per x diverso da 0 (la dimostrazione risale ad Archimede);

x^a / x^b = x^(a – b) e in particolare 1 / x^a = x^(–1), per x diverso da 0;

xa + b = xaxb;

(xa)b = xab, per a e b reali;

xaya = (xy)a, per x, y reali positivi e a reale;

Formula per il calcolo di potenze, dove Un(x) è l’n-esimo polinomio di Chebyshev di seconda specie;

Formula per il calcolo di potenze, dove Hn(x) è l’n-esimo polinomio di Hermite;

 

Per potenze con esponente non intero v. xy.

Per le potenze di somme, v. coefficienti binomiali, coefficienti trinomiali e coefficienti multinomiali.

 

La funzione generatrice delle potenze di interi con esponente d è Funzione generatrice delle potenze d-esime degli interi. In particolare le funzioni generatrici per i primi valori dell’esponente sono:

  • Funzione generatrice delle potenze con esponente zero;

  • Funzione generatrice delle prime potenze;

  • Funzione generatrice delle seconde potenze;

  • Funzione generatrice delle terze potenze;

  • Funzione generatrice delle quarte potenze;

  • Funzione generatrice delle quinte potenze;

  • Funzione generatrice delle seste potenze;

  • Funzione generatrice delle settime potenze;

  • Funzione generatrice delle ottave potenze;

  • Funzione generatrice delle none potenze;

  • Funzione generatrice delle decime potenze.

 

La funzione generatrice esponenziale delle potenze di interi con esponente d è Funzione generatrice esponenziale delle potenze d-esime degli interi. In particolare le funzioni generatrici esponenziali per i primi valori dell’esponente sono:

  • Funzione generatrice esponenziale delle potenze con esponente zero degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle prime potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle seconde potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle terze potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle quarte potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle quinte potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle seste potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle settime potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle ottave potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle none potenze degli interi;

  • Funzione generatrice esponenziale delle decime potenze degli interi.

 

Una somma notevole è Somma che coinvolge potenze.

 

Le tabelle seguenti riportano le potenze nk fino alla decima degli interi fino a 20.

n \ k

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

2

4

8

16

32

64

3

9

27

81

243

729

4

16

64

256

1024

4096

5

25

125

625

3125

15625

6

36

216

1296

7776

46656

7

49

343

2401

16807

117649

8

64

512

4096

32768

262144

9

81

729

6561

59049

531441

10

100

1000

10000

100000

1000000

11

121

1331

14641

161051

1771561

12

144

1728

20736

248832

2985984

13

169

2197

28561

371293

4826809

14

196

2744

38416

537824

7529536

15

225

3375

50625

759375

11390625

16

256

4096

65536

1048576

16777216

17

289

4913

83521

1419857

24137569

18

324

5832

104976

1889568

34012224

19

361

6859

130321

2476099

47045881

20

400

8000

160000

3200000

64000000

n \ k

7

8

9

10

1

1

1

1

1

2

128

256

512

1024

3

2187

6561

19683

59049

4

16384

65536

262144

1048576

5

78125

390625

1953125

9765625

6

279936

1679616

10077696

60466176

7

823543

5764801

40353607

282475249

8

2097152

16777216

134217728

1073741824

9

4782969

43046721

387420489

3486784401

10

10000000

100000000

1000000000

10000000000

11

19487171

214358881

2357947691

25937424601

12

35831808

429981696

5159780352

61917364224

13

62748517

815730721

10604499373

137858491849

14

105413504

1475789056

20661046784

289254654976

15

170859375

2562890625

38443359375

576650390625

16

268435456

4294967296

68719476736

1099511627776

17

410338673

6975757441

118587876497

2015993900449

18

612220032

11019960576

198359290368

3570467226624

19

893871739

16983563041

322687697779

6131066257801

20

1280000000

25600000000

512000000000

10240000000000

 

Le potenze di interi sino a 1000 sono:

0 = 0n,

1 = 1n,

4 = 22,

8 = 23,

9 = 32,

16 = 42 = 24,

25 = 52,

27 = 33,

32 = 25,

36 = 62,

49 = 72,

64 = 82 = 43 = 26,

81 = 92 = 34,

100 = 102,

121 = 112,

125 = 53,

128 = 27,

144 = 122,

169 = 132,

196 = 142,

216 = 63,

225 = 152,

243 = 35,

256 = 162 = 44 = 28,

289 = 172,

324 = 182,

343 = 73,

361 = 192,

400 = 202,

441 = 212,

484 = 222,

512 = 83 = 29,

529 = 232,

576 = 242,

625 = 252 = 54,

676 = 262,

729 = 272 = 93 = 36,

784 = 282,

841 = 292,

900 = 302,

961 = 312,

1000 = 103.

Qui trovate le potenze di interi fino a 106.

 

Le potenze modulo vari interi hanno alcune proprietà, generalmente piuttosto semplici da dimostrare.

Per esempio:

  • n2 mod 8 = 0 o 1;

  • n4 mod 16 = 0 o 1;

  • se n non è multiplo di 2, 3 o 5, n8 mod 240 = 1;

  • se p è primo e a non è un multiplo di p, aφ(pn) = apn – 1(p – 1) ≡ 1 mod pn;

  • se a è dispari, a2n - 2 ≡ 1 mod 2n, per n > 2;

  • se e solo se n è uno tra 1, 2, 6, 42 e 1806, quando ab mod n e cd mod n vale acbd mod n.

 

Può il prodotto di interi consecutivi maggiori di zero essere una potenza? La risposta è negativa, ma ci sono voluti due secoli e mezzo di lenti progressi per arrivarci:

  • nel 1724 Goldbach dimostrò che che il prodotto di tre interi consecutivi non è mai un quadrato;

  • nel 1857 Liouville dimostrò che il prodotto di k interi consecutivi non è una potenza se uno di essi è primo o se k supera il minimo intero della sequenza meno 4;

  • nel 1917 Narumi dimostrò che il prodotto di k interi consecutivi non è un quadrato se k < 202;

  • nel 1939 Rigge ed Erdös dimostrarono che il prodotto di qualsiasi numero di interi consecutivi non è un quadrato;

  • finalmente nel 1975 Erdös e Selfridge dimostrarono che in generale il prodotto di interi consecutivi non è mai una potenza.

 

Subbayya Sivasankaranarayana Pillai dimostrò che, se a e b sono interi primi tra loro, l’equazione axby = azbw ha al massimo un numero finito di soluzioni intere (v. congettura di Pillai).

 

Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che esistano solo 10 coppie di potenze consecutive maggiori di 1 tra le quali non si trovino primi.

 

I. Ferentinou-Nicolakopoulou dimostrò nel 1965 che se p è un primo dispari che non divide aa + 1, (a + 1)pnapn + 1 mod pn + 1  se e solo se (a + 1)pn – 1apn – 1 + 1 mod pn + 1.

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