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Catalan – Dickson (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Proposta da Eugene Charles Catalan nel 1888 ed estesa da Dickson.

 

Che succede se s’inizia con un numero naturale, si calcola la somma dei divisori, escludendo il numero stesso, e si itera, calcolando ogni volta la somma dei divisori dell’ultimo numero trovato?

Iniziando con 12, per esempio, si ottiene la sequenza 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1.

Queste sequenze sono note come “sequenze aliquot”; circa un secolo fa eminenti matematici come Catalan (1888) e Dickson (1913) si dichiararono convinti che il loro destino ultimo dovesse essere uno dei seguenti:

  • terminare con 1, dopo aver raggiunto un numero primo, come capita iniziando con 12;

  • finire con un numero perfetto, dal quale si ottiene sempre il numero stesso, come succede iniziando con 25, dal quale si ottiene 6;

  • finire in un ciclo di numeri amichevoli o socievoli.

Questa affermazione è da allora nota come “congettura di Catalan – Dickson”.

 

Tuttavia Lenstra dimostrò che è possibile costruire sequenze arbitrariamente lunghe e alcuni matematici sospettano che possano esistere sequenze infinite, anche se sembra estremamente difficile dimostrare che la sequenza non termina (e quindi produce numeri che crescono illimitatamente) partendo da uno specifico intero.

Nel 1973 H.J.J. te Riele dimostrò l’esistenza di una sequenza crescente di almeno 5092 termini.

 

Paul Erdös dimostrò che se chiamiamo Ck l’insieme degli interi a partire dai quali inizia una sequenza crescente di k numeri, i vari insiemi Ck hanno tutti la stessa densità asintotica, uguale a quella di C1, ossia dell’insieme dei numeri abbondanti.

 

Per contro Sierpiński dimostrò nel 1964 che, supponendo che ogni numero pari maggiore di 8 sia la somma di due primi distinti (una forma della congettura di Goldbach), esistono infiniti interi a partire dai quali si arriva a 6.

 

Lehmer dimostrò che le sequenze generate dai numeri inferiori a 1000 si arrestano tutte, tranne quelle generate dai “sei di Lehmer”: 276, 552, 564, 660, 840 e 966. In seguito si è scoperto che la sequenza generata da 840 si arresta, dopo aver raggiunto un massimo con un numero di 49 cifre, ma per contro quella generata da 276 è stata inseguita per 1160 termini, arrivando a un intero di oltre 100 cifre, tuttora da scomporre.

 

I soli numeri inferiori a 10000 per i quali la congettura non è ancora stata verificata sono: 276, 552, 564, 660, 966, 1074, 1134, 1464, 1476, 1488, 1512, 1560, 1578, 1632, 1734, 1920, 1992, 2232, 2340, 2360, 2484, 2514, 2664, 2712, 2982, 3270, 3366, 3408, 3432, 3564, 3678, 3774, 3876, 3906, 4116, 4224, 4290, 4350, 4380, 4788, 4800, 4842, 5148, 5208, 5250, 5352, 5400, 5448, 5736, 5748, 5778, 6396, 6552, 6680, 6822, 6832, 6984, 7044, 7392, 7560, 7890, 7920, 8040, 8154, 8184, 8288, 8352, 8760, 8844, 8904, 9120, 9282, 9336, 9378, 9436, 9462, 9480, 9588, 9684, 9708 e 9852.

La congettura non è stata verificata per 898 interi minori di 105 e 9284 minori di 106.

Qui trovate l'elenco degli interi minori di 106 per i quali la congettura resta da verificare.

 

La difficoltà della verifica sta nel fatto che la sequenza a volte genera numeri enormi, difficili da scomporre in fattori primi: in tutti i casi sopra menzionati si è arrivati a numeri di almeno 115 cifre. Per esempio, iniziando da 4170 servono ben 869 passi per arrivare a 1 e si incappa in un numero di 89 cifre.

 

La sequenza nota più lunga che termini, trovata da Wolfgang Creyaufmueller nel 2002, inizia con 446580 e termina col numero primo 601 in 4736 passi, mentre quella che contiene il numero maggiore inizia con 3630 e termina col numero primo 59 in 2624 passi, dopo aver raggiunto un massimo con un numero di 100 cifre (Manuel Benito e Juan Varona, 2001).

La sequenza più lunga nota, della quale non si conosca l’esito, inizia con 314718 ed è stata seguita per 882 passi.

 

Paul Pollack dimostrò nel 2009 che se definiamo sk(n) come la somma dei divisori propri di n calcolata k volte, ossia s0(n) = n, sk(n) = σ(sk – 1(n)) – sk – 1(n), allora per k > 0 l’insieme degli interi n per per i quali sk(n) è un multiplo di n ha densità asintotica nulla e l’insieme degli interi n per per i quali sk(n) è un divisore di n ha densità asintotica nulla.

 

Una congettura analoga considera le sequenze aliquot unitarie, analoghe alle sequenze aliquot, ma ottenute sommando ripetutamente i divisori unitari (v. numeri socievoli unitari): si ritiene che anche in questo caso ogni sequenza termini con 1 o con un ciclo.

Questa congettura è stata verificata nel 2001 sino a 400000000 da Jack Brennen senza trovare eccezioni; la sequenza più lunga trovata è quella che inizia con 151244526 e termina con 1 dopo 16657 passi.

 

E’ invece più dubbio cosa succeda se si considerano le sequenze aliquot bi-unitarie, ottenute sommando ripetutamente i divisori bi-unitari (v. numeri socievoli bi-unitari): è possibile che alcune sequenze crescano illimitatamente.

Peter Hagis esaminò tutti i numeri minori di 105, trovando che in ben 15395 casi si arrivava a numeri maggiori di 1012, limite oltre il quale l’indagine si arrestava. Il minimo intero del quale non si conosce l’esito è 2160, che produce 1301270618226 dopo 306 iterazioni.

 

Se si considerano le sequenze aliquot esponenziali, ottenute sommando ripetutamente i divisori esponenziali (v. numeri socievoli esponenziali), per tutti i numeri finora esaminati si arriva a 1 o a un ciclo di numeri socievoli esponenziali. Però Peter Hagis dimostrò nel 1988 che esistono infinire sequenze crescenti del genere lunghe a piacere; è quindi possibile che esistano sequenze che crescono illimitatamente, quindi non è detto che per i numeri socievoli esponenziali valga una congettura analoga alla congettura di Catalan – Dickson.

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