Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Catalan (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Un problema molto antico è l’esistenza di potenze di interi consecutive: oltre a 0, 1 e 8, 9 esistono altre potenze consecutive?

 

Sembra che il compositore e poeta francese Philippe de Vitry (probabilmente Vitry-en-Artois, Francia, 31/10/1291 – Parigi, 9/6/1361) sia stato il primo a chiedersi se esistano altre potenze di 2 e 3 consecutive. Il filosofo, matematico, astronomo e teologo ebreo Levi ben Gerson, alias Leo Hebraeus, (Bagnols-sur-Cèze, Francia, 1288 – Perpignan, Francia, 20/4/1344) fu il primo a dimostrare che la risposta è negativa.

 

Il passo successivo fu di considerare basi diverse da 2 e 3, ma in casi particolari.

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, tra il 31/10/1607 e il 6/12/1607 – Castres, Francia, 12/1/1665) pose il problema di dimostrare che se p è primo e n è maggiore di 1, pn + 1 non può essere un quadrato, tranne nel caso p = 2 e n = 3 (Deuxième Défi aux Mathématiciens). Fermat aveva probabilmente dimostrato che non è possibile, ma non pubblicò mai la sua dimostrazione; quella di Bernard Frénicle de Bessy (Parigi, circa 1604 – 1674) del 1657, che non richiede neppure che p sia primo, venne invece ritrovata solo nel 1943.

Fermat dimostrò anche (sempre senza divulgare la dimostrazione, com’era sfortunatamente suo costume) che il solo caso di differenza 2 tra un cubo e un quadrato è 33 – 52 = 2.

 

Leonardo Eulero (Basilea, Svizzera, 15/4/1707 – S. Pietroburgo, 18/9/1783) dimostrò nel 1738 che non esistono altre soluzioni razionali dell’equazione x2y3 = 1.

 

Nel 1844 Eugène Charles Catalan (Bruges, Belgio, 30/5/1814 – Liegi, Belgio, 14/2/1894) in una lettera pubblicata sul Journal für die reine und angewandte Mathematik, il più antico periodico di matematica pubblicato tuttora, pose il problema generale di dimostrare che non esistono altre potenze consecutive. Catalan si dichiarò sicuro della validità dell’affermazione, tanto da chiamarla “teorema”, pur ammettendo di non essere riuscito a dimostrarla; da allora è nota come “congettura di Catalan”.

Quella lettera è comunemente considerata l’atto di nascita della congettura, e in un certo senso lo è, perché per la prima volta compare l’ammissione di Catalan di non saperla dimostrare. Il matematico belga però aveva pubblicato due anni prima la stessa affermazione, come “teorema”, ma senza dimostrazione, nel primo volume della rivista Nouvelles Annales de Mathématiques; è possibile che pensasse di poterlo dimostrare e che nell’arco di un paio d’anni si sia accorto della difficoltà dell’impresa.

Il nome della congettura è una curiosa coincidenza: il padre di Levi ben Gerson si chiamava Gershon ben Solomon Catalan.

 

Le dimostrazioni si possono ridurre ai casi con esponenti che sono numeri primi, perché se esiste una soluzione con una potenza con esponente kp composto, dato che akp = akp, la si può riscrivere in termini di potenze con esponente p primo.

Il primo metodo d’attacco tentato consistette perciò nel cercare di escludere alcuni esponenti, nella speranza di trovare un metodo che potesse essere esteso a tutti i numeri primi.

 

Victor-Amédée Lebesgue (Grandvilliers, Francia, 2/10/1791 – Bordeaux, Francia, 10/6/1875) dimostrò nel 1850 che l’equazione xny2 = 1 ha solo soluzioni banali (x = 1, y = 0), ma l’equazione, apparentemente altrettanto semplice, x2yn = 1 resistette fino al 1964, quando Ko Chao (Wenling, Cina, 12/4/1910 – 8/11/2002) finalmente dimostrò che non ha soluzioni oltre alle solite.

Nel frattempo erano stati fatti alcuni passi intermedi:

  • Trygve Nagell (Oslo, 13/7/1895 – Uppsala, Svezia, 24/1/1988) aveva dimostrato nel 1921 che non esiste un cubo consecutivo a un’altra potenza (ossia che non esistono soluzioni di x3yn = ±1), a parte i casi già visti, che se n è un primo dispari, y è pari e n divide x e nel 1934 che n è della forma 8k + 1;

  • Atle Selberg (Langesund, Norvegia, 14/6/1917 – Princeton, USA, 6/8/2007) nel 1932 aveva dimostrato che l’equazione x4yn = 1 ha solo soluzioni banali;

  • Richárd Obláth (Vršac, Serbia, 11/6/1882 – Budapest, 18/6/1859) aveva dimostrato nel 1940 che se n è un primo dispari, 2n – 1 ≡ 1 mod n2, 3n – 1 ≡ 1 mod n2 ed esiste al massimo una soluzione per ogni valore di n; sfruttando questo risultato e i lavori di Nagell, dimostrò nel 1941 che non esistono soluzioni con n < 25000;

  • Kustaa Inkeri (Laitila, Finlandia, 12/11/1908 – 16/3/1997) e Seppo Juhani Hyyrö (Mynämäki, Finlandia, 11/7/1936) avevano dimostrato nel 1951 che x > 2n(n – 1) e y > 4n – 2;

  • Inkeri e Hyyrö avevano dimostrato nel 1961 che n2 divide x e n3 divide y + 1, portando il limite inferiore per n a 100000.

Dalla dimostrazione di Lebesgue segue che nessun numero di Fermat è una potenza.

 

Risolti così i casi degli esponente 2 e 3, e quindi di tutte le potenze con esponente pari, i matematici rivolsero la loro attenzione agli esponenti superiori, per i quali nel frattempo erano stati risolti solo pochi casi.

 

Il primo risultato valido per esponenti qualsiasi si deve a Camille-Christophe Gérono (Parigi, 1799 – Parigi, 1891), che nel 1870 dimostrò che 2n + 1 e 2n – 1 non possono essere potenze, tranne nel solito caso.

Un corollario è che x e y non possono essere entrambi primi, tranne la solita eccezione: tutte le potenze dei primi dispari, infatti, divise per 4 danno resto 3 o 1, quindi la loro differenza non può essere 1. L’unico primo pari è 2, ma la dimostrazione di Gérono esclude che vi siano altre soluzioni con 2 e un primo dispari.

Dalla dimostrazione di Gérono segue che nessun numero di Mersenne maggiore di 1 è una potenza.

Gérono dimostrò anche che se uno tra x e y è primo, l’unica soluzione è quella nota

 

Claude Séraphin Moret-Blanc (Chaux-du-Dombief, Francia, 28/9/1819 – Salins, Francia, 20/3/1886) dimostrò nel 1876 che le equazioni xyyq = 1 e xpyx = 1 hanno solo la solita soluzione, se gli esponenti sono maggiori di 1.

 

Nel 1876 A.J.F. Meyl dimostrò che l’equazione (x + 1)yxy + 1 = 1 ha solo la solita soluzione con interi maggiori di 1.

 

Obláth dimostrò nel 1954 che non ci sono soluzioni se x e y sono interi consecutivi; nel 1956 A. Rotkiewicz estese il teorema, dimostrando che se |xy| = a e x e y non hanno divisori comuni, non esistono soluzioni intere dell’equazione xpyq = aq oltre la solita.

 

Da questo punto di vista la storia della congettura sembra simile a quella dell’ultimo teorema di Fermat: nell’arco di oltre tre secoli il teorema venne dimostrato vero per vari esponenti, prima uno per uno, poi con dimostrazioni valide per intere famiglie, anche infinite. Nel caso della congettura di Catalan però alle soglie del terzo millennio erano caduti solo i primi esponenti e nessun risultato valido per una categoria intera era ancora stato provato, quindi misurando i progressi in questo modo la dimostrazione della congettura era in ritardo rispetto a quella dell’ultimo teorema di un paio di secoli.

Vari risultati intermedi ottenuti nel frattempo avevano reso evidente che era estremamente improbabile che esistessero altre soluzioni.

 

Una via alternativa era costituita dal dimostrare l’esistenza di un numero finito di soluzioni: se si fosse poi potuto stabilire un limite superiore per le stesse, una ricerca esaustiva o qualche metodo ad hoc avrebbe poi potuto permettere di eliminare tutte le alternative.

 

Nel XX secolo vi furono interessanti progressi nella direzione di porre un limite al numero di possibili soluzioni; in particolare Axel Thue (Tønsberg, Norvegia, 19/2/1863 – Oslo, 7/3/1922) dimostrò nel 1908 che, fissati x, y e k, con x e y maggiori di 1, l’equazione xpyq = k, ha la massimo un numero finito di soluzioni con esponenti interi e William Judson LeVeque (Boulder, USA, 9/8/1923 – Bainbridge Island, USA, 1/12/2007) dimostrò nel 1952 che se k = 1 vi è al massimo una soluzione, tranne nel caso x = 3, y = 2.

Fissati invece gli esponenti, il fatto che l’equazione abbia un numero finito di soluzioni intere deriva dalle ricerche sull’ultimo teorema di Fermat e sulle curve ellittiche, culminanti con i teoremi di Carl Ludwig Siegel (1929) e di Gerd Faltings (1983).

Altri risultati analoghi sono:

  • se P(x, y) è un polinomio omogeneo con coefficienti interi, di grado superiore al secondo e P(x, 1) ha radici distinte, l’equazione P(x, y) = a ha al massimo un numero finito di soluzioni intere (Thue, 1909) e in particolare per ogni valore di a, b, p, q e k, axp – byq = k ha un numero finito di soluzioni se p e q sono almeno 2;

  • ax2 + bx + c = dyn, ha al massimo un numero finito di soluzioni intere se n > 2 (Thue, 1917);

  • in generale, se P(x) è un polinomio qualsiasi con coefficienti interi, di grado m con radici distinte, m e n sono maggiori di 1 e almeno uno tra m e n è maggiore di 2, l’equazione P(x) = ayn ha al massimo un numero finito di soluzioni intere;

  • ax2by4 = 1, ax2by4 = 2 e ax2by4 = 4 hanno al massimo due soluzioni intere se a e b sono positivi; se b mod 4 = 3, la prima e l’ultima di queste equazioni hanno al massimo una soluzione intera (Ljunggren, 1938);

  • ax4by4 = ±1, ax4by4 = ±2, ax4by4 = ±4 e ax4by4 = ±8 hanno al massimo una soluzione intera se a e b sono positivi; (Ljunggren, 1938);

  • x2 – 2y4 = 1 ha come uniche soluzioni intere x = 1, y = 1 e x = 239, y = 13 (Ljunggren, 1942);

  • x2dy4 = –4 non ha soluzioni intere se d è maggiore di zero e non è un quadrato;

  • xpyq = 1 ha al massimo una soluzione per x e y fissati e maggiori di 1, tranne nel caso x = 3, y = 2 (W.J. LeVeque, 1952);

  • axnbyn = ±1, ha al massimo due soluzioni intere se a e b sono positivi e n > 4 (Domar, 1954);

  • xpyq = |xy|q ha solo la solita soluzione se gli esponenti sono maggiori di 1 (Rotkiewicz, 1956);

  • se p è un primo della forma 4k + 1, x2py4 = 1 non ha soluzioni intere;

  • x4py2 = 1 non ha soluzioni intere, tranne che per p = 5 (x = 3, y = 4) e p = 29 (x = 99, y = 1820).

 

Questi studi avevano dimostrato che fissando alcuni valori il numero di soluzioni era limitato; in particolare, fissando gli esponenti o le basi il numero di soluzioni è finito, ma esisteva ancora la possibilità che il numero totale di soluzioni fosse infinito.

 

La prima limitazione esplicita sul numero di soluzioni risale al 1964, quando Hyyrö dimostrò che il numero di soluzioni è al massimo e631p2q2 : un risultato notevole, anche se Ribenboim fece notare che è una stima enorme, considerando che il numero di soluzioni è in realtà uno!

 

Nel 1964 a proposito dell’equazione xpyq = ±1 lo stesso Hyyrö dimostrò che:

  • fissati x maggiore di 1 e p e q maggiori di 4, vi è al massimo una soluzione intera positiva;

  • fissato x maggiore di 1, vi sono al massimo ω(x) soluzioni intere positive;

  • per esponenti primi maggiori di 3 x e y devono essere maggiori di 1011, tolti i soliti casi semplici;

  • se un esponente è composto, la corrispondente base deve essere maggiore di 1084;

  • se entrambi gli esponenti sono composti, x e y devono avere almeno 109 cifre;

  • x ≥ qp – 1 + q;

  • xpq – 1(q – 1)q + 1;

  • ypq – 1 + p;

  • yqp – 1(p – 1)p + 1.

 

Nel 1973 A. Baker, utilizzando i suoi risultati sulle combinazioni lineari dei logaritmi, dimostrò che se gli esponenti sono almeno 2 e uno di essi è almeno 3:

  • se x3y2 = k, |x| e |y| sono minori di e106|k|10000;

  • se xpy2 = k e p > 3, |x| e |y| sono minori di;

  • se x2yq = k e q > 2, |x| e |y| sono minori di;

  • se xpyq = k e p e q sono maggiori di 3, |x| e |y| sono minori di e di .

 

 

Questi numeri sono talmente grandi, che per scriverli bisogna ricorrere alla notazione con esponenti a più livelli, altrimenti non basterebbe l’intero universo, e per di più non pongono limiti agli esponenti, quindi non permettevano neppure di stabilire che le soluzioni siano in numero finito, ma rappresentarono un primo limite superiore per i valori di x e y.

 

Nel 1983 J.-H. Evertse dimostro che il numero di soluzioni è al massimo (pq)min(p, q): un limite ben inferiore a quello indicato da Hyyrö, ma ancora dipendente dagli esponenti.

 

Nel 1991 Matti J. Aaltonen e  Inkeri portarono il limite inferiore per le basi a 10500.

 

Questi risultati affievolirono notevolmente le speranze di una “semplice” ricerca con i calcolatori, nonostante Hyyrö avesse indicato un possibile algoritmo per trovare eventuali soluzioni.

 

Nella seconda metà del XX secolo furono compiuti notevoli progressi nello stabilire e poi ridurre limiti superiori per le soluzioni, sempre con la speranza di ridurre i casi da provare a un numero affrontabile con calcolatori elettronici.

 

Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (Nagercoil, India, 5/4/1901 – Il Cairo, 31/8/1950) avanzò nel 1936 la congettura che per ogni combinazione di interi a, bk, l’equazione axpbyq = k abbia solo un numero finito di soluzioni.

Robert Tijdeman dimostrò nel 1976 che la congettura è vera per a = b = k = 1, ossia nel caso considerato da Catalan, e che x e y devono essere inferiori a Limite superiore per x e a Limite superiore per y: il primo limite superiore ai valori eventualmente da provare, anche se spaventosamente alto. Il limite superiore però riguarda le basi, in funzione degli esponenti, per i quali Tijdeman dimostrò un limite superiore astronomico.

 

L’esistenza di un limite per basi ed esponenti permise finalmente di stabilire che le soluzioni devono essere in numero finito: nel 1976 Michel Langevin sfruttò il lavoro di Tijdeman per dimostrare  che le basi devono essere inferiori a Numero di Langevin (v. numero di Langevin) e gli esponenti minori di e245 e che il massimo primo che divide prodotto degli esponenti deve essere minore di 10107.

Il limite superiore è importante per essere stato il primo esplicitamente calcolato, ma naturalmente non permetteva ancora una ricerca efficace. Successivi raffinamenti permisero però di ridurre il limite per il maggiore degli esponenti a 3.18 • 1017, poi a 7.8 • 1016, e per il minore a 2.6 • 1012 (O’Neil, 1995).

L’esistenza di un limite permise inoltre di stabilire che il problema è decidibile, ossia che esiste un algoritmo capace in teoria di trovare tutte le soluzioni: un risultato non banale, perché per molti problemi di aritmetica non si è ancora sicuri che un algoritmo del genere esista.

 

Combinando vari metodi, A.M.W. Glass, D.B. Meronk, T. Okada e R.P.A. Steiner dimostrarono nel 1991 che q > 53, salvo per 9 casi: p = 46021, q = 17; p = 137, q = 19; p = 2481757, q = 23; p = 13703077, q = 23; p = 2806861, q = 31; p = 1025273, q = 41; p = 128200401, q = 41; p = 97, q = 53 e p = 4889, q = 53. Nello stesso anno Maurice Mignotte dimostrò che non esistono soluzioni per q = 19 e p = 97, q = 53, riducendo i casi a 7.

 

Sfruttando le condizioni che gli esponenti devono soddisfare, dimostrate da Inkeri e altri, M. Mignotte e Y. Roy dimostrarono nel 1997 che il minimo esponente è almeno 100000; il divario tra il minimo e il massimo valore era ancora troppo ampio per una verifica esaustiva, ma vi era sempre la speranza di riuscire a restringerlo e di ridurre le coppie di esponenti da provare, trovando ulteriori condizioni restrittive.

 

Un terzo metodo d’attacco, molto più recente, è dimostrare che i valori coinvolti devono rispettare condizioni estremamente stringenti, fino a poter escludere che esistano numeri capaci di soddisfarle tutte.

 

Il primo passo importante in questa direzione fu compiuto da Obláth, che nel 1941 dimostrò che se gli esponenti sono maggiori di 2, x o y devono essere multipli di un fattore primo che non è della forma 2a3b + 1.

 

Nel 1953 John William Scott Cassels (Durham, UK, 11/7/1922 – UK, 27/7/2015) dimostrò che se xuyv = 1, se basi ed esponenti sono maggiori di 1 ed escludendo il solito caso, u è il minimo intero tale che xu ≡ 1 mod z e v è il minimo intero tale che yv ≡ 1 mod w, dove z è il prodotto dei fattori primi di y e w è il prodotto dei fattori primi di x.

 

Nel 1960 Rotkiewicz dimostrò che se gli esponenti sono maggiori di 2, x è multiplo di un primo della forma kq + 1 e y è multiplo di un primo della forma mp + 1. Di conseguenza x e y hanno almeno due fattori primi dispari distinti e nessuno dei due è della forma 2a3brc, con r primo; inoltre ω(x) ≥ ω(q) + 1, ω(y) ≥ ω(p) + 1 e ω(xy) ≥ ω(p) + ω(q) + 3. Dato che i casi interessanti sono quelli con p e q primi, significa che x e y devono avere ciascuno almeno due fattori primi e complessivamente devono averne almeno 5.

 

Nel 1960 Cassels dimostrò che il massimo comun divisore di x – 1 e (x^p – 1) / (x – 1) dev’essere 1 o p e, come nel caso dell’ultimo teorema di Fermat, suddivise il problema in due casi, dimostrando che nel primo, nel quale il massimo comun divisore è 1, non esistono soluzioni con esponenti maggiori di 2. Anche in questo problema il primo caso si rivelò più trattabile, ma la suddivisione in due casi non giocò alcun ruolo nella soluzione finale

Nel secondo caso Cassels dimostrò che se xpyq = ±1, con p e q primi dispari, allora p divide y e q divide x. Come conseguenza, x e y devono avere almeno due fattori primi dispari distinti ciascuno.

Dalla dimostrazione di Cassels segue che nessun numero di Ferentinou-Nicolacopoulou è una potenza. Infatti, se aan + 1 = xp, un divisore primo q di a dividerebbe x, cosa impossibile, perché il primo membro dell’equazione non è multiplo di i e il secondo lo sarebbe.

 

Nel 1962 Andrzej Mąkowski fece notare che dal lavoro di Cassel segue che non esistono 3 potenze di numeri naturali consecutive. Infatti, se esistessero tre potenze consecutive xp, yq e zr, q dividerebbe x e z e q2 dividerebbe xp e zr, e quindi anche zrxp = 2, cosa evidentemente impossibile. 

 

Nel 1964 Hyyrö dimostrò che valgono condizioni più stringenti: xpq – 1 – 1 mod q2 e yqp – 1 – 1 mod p2.

 

Nel 1964 Inkeri dimostrò che gli esponenti p e q devono soddisfare condizioni particolarmente stringenti, come per esempio pq – 1 ≡ 1 mod q2, se p è della forma 4k + 3 e maggiore di q, e qp – 1 ≡ 1 mod p2, se q è della forma 4k + 3 e minore di p. Questo gli permise di escludere in un colpo solo ben 718 coppie di numeri primi inferiori a 200. Successivi miglioramenti dello stesso matematico portarono all’esclusione di altre coppie, compresa la dimostrazione che l’equazione x7y5 = ±1 non ha soluzioni non banali.

 

Con metodi di questo genere il minimo degli esponenti venne portato fino a 13, quindi questi metodi diedero frutti migliori, perché permisero di escludere grandi insiemi di casi.

In particolare, furono esclusi i seguenti casi:

  • p e q della forma 4k + 3 e minori di 10000, tranne i casi p = 83, q = 4871 e p = 4871, q = 83;

  • p della forma 4k + 3 e q della forma 4k + 1 minori di 500, tranne i casi p = 19, q = 137; p = 107, q = 97; p = 223, q = 349; p = 251, q = 421; p = 419, q = 173; p = 419, q = 349 e p = 499, q = 109.

 

Un passo decisivo fu compiuto da Preda Mihăilescu, che nel 1999 dimostrò che se esiste una soluzione, pq – 1 ≡ 1 mod q2 e qp – 1 ≡ 1 mod p2: questo lasciava relativamente poche coppie di esponenti da verificare (v. primi di Wieferich), anche se è un problema computazionalmente non indifferente determinare quali. Inoltre, combinando questo risultato con un teorema dimostrato da Hyyrö nel 1964, si ottiene che x è un multiplo di q2 e y è un multiplo di p2.

Si conoscono solo 7 coppie di primi che soddisfano questi criteri, nonostante siano state esaminate tutte le coppie di primi col minore minore di 106 e il maggiore minore di 1011 (v. primi di Wieferich generalizzati).

 

La condizione di Mihăilescu permise di eliminare con relativa rapidità molti esponenti: Mignotte e Roy dimostrarono nel 1999 che il minimo esponente è almeno 107 e Grantham e Wheeler alzarono il limite a 3.2 • 108.

 

 

Al volgere del millennio cominciava a prendere forma un piano per l’attacco finale: elencare le coppie di primi che soddisfano le varie condizioni, in particolare quella di Mihăilescu, per poi escluderle una alla volta.

Il limite superiore per il maggiore degli esponenti era ancora 3.18 • 1017, che non permetteva una ricerca esaustiva tramite calcolatore, ma non era eccessivamente lontano e si poteva sperare di ridurlo, o di ridurre il numero di operazioni necessarie per trovare i primi di Wieferich in una base fissata; i limiti per i valori di x e y erano invece ancora astronomici, ma se le coppie di esponenti trovate fossero state relativamente poche, si poteva sperare di aggredirle una alla volta con criteri ad hoc.

 

Infine, quando ormai sembrava che la dimostrazione potesse arrivare principalmente grazie all’aiuto di calcolatori,  Mihăilescu dimostrò nel 2002 che la congettura è vera dimostrando che per eventuali soluzioni diverse da quelle note dovrebbero valere 3 condizioni:

  1. p ≡ 1 mod q o q ≡ 1 mod p;

  2. pq – 1 ≡ 1 mod q2 e qp – 1 ≡ 1 mod p2;

  3. p < 4q2 per q > 28000 e q < 4p2.

Se p ≡ 1 mod q, un semplice teorema della teoria dei numeri ci assicura che pq ≡ 1 mod q2, ma sappiamo dalla seconda condizione che pqp mod q2, quindi p ≡ 1 mod q2, perciò p = 1 + kq2 per qualche intero k. La terza condizione ci assicura che k < 4; se k fosse 1 o 3, p sarebbe pari, mentre se k = 2, p = 1 + 2q2 (con q primo) sarebbe divisibile per 3 e non sarebbe primo, tranne nel caso q = 3, ma allora p = 19 e la seconda condizione non sarebbe soddisfatta. Il caso q ≤ 28000 era già stato dimostrato impossibile.

La dimostrazione procede in modo analogo se q ≡ 1 mod p.

Ne segue che p e q non possono essere entrambi primi dispari e i casi con uno dei due uguale a 2 erano già stati risolti.

 

La dimostrazione fu pubblicata nel 2004, sulla stessa rivista sulla quale Catalan aveva proposto il problema 160 anni prima.

Bibliografia

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