Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Le generalizzazioni più importanti dell’ultimo teorema sono:

 

Una generalizzazione studiata di recente è l’equazione xn + yn = czn , per c intero positivo fissato; l’equazione è molto difficile e sono stati risolti solo alcuni casi particolari: non si conosce un modo semplice per stabilire se l’equazione abbia soluzione per n e c fissati.

 

Come per l’equazione di Fermat, data una soluzione, moltiplicando x, y e z per uno stesso intero si ottengono infinite altre soluzioni, quindi basta considerare i casi nei quali non esista un divisore comune maggiore di 1 delle tre incognite.

Analogamente data una soluzione se si sommano a x e y multipli di zn, si ottengono nuove soluzioni, con un diverso valore di c.

 

Dalla congettura “abc” segue che, fissato c, l’equazione ha al massimo due soluzioni con x, y e z primi tra loro, per n abbastanza grande e nessuna con x, y e z primi tra loro per n maggiore di una costante che dipende da c.

 

Per c = 2 l’equazione ha le soluzioni banali x = y = z, per qualsiasi valore di n, e x = –y = z, per n pari; queste sono le uniche soluzioni se n è dispari e maggiore di 1: le relative dimostrazioni furono trovate per i casi 5 e 7 da P. Dénes (1952), per n della forma 4k + 1 da Kenneth A. Ribet (1997) e per i restanti casi da H. Darmon e L. Merel (1997).

D’altra parte Legendre dimostrò che x4 + y4 = 2z4 ha solo le soluzioni banali sopra menzionate, quindi per c = 2 l’equazione non ha soluzioni non banali per n > 2.

Per n = 2 e c = 2 le soluzioni con x, y privi di divisori comuni sono date dalle formule:

x = a2b2 – 2ab,

y = b2a2 – 2ab,

z = a2 + b2,

per a e b interi positivi, privi di divisori comuni.

 

Per qualsiasi valore di n se c = an + bn, vi è la soluzione banale x = a, y = b, z = 1 e, se n è dispari e c = anbn, vi è la soluzione banale x = a, y = –b, z = 1.

 

Non è difficile trovare soluzioni, se si fissa solo n; esistono, infatti, infiniti valori di c per i quali l’equazione ha soluzioni intere. Se zm è la massima potenza di z che divide 2n, abbiamo le identità:

  • (rznm + a)n + (sznma)n = czn, per 0 < k < znm;

  • (rznm + a)n – (sznm + a)n = czn, per 0 < s < r e 0 < k < znm.

Per esempio, per n = 3 prendiamo z = 5 e a = 2 e otteniamo (53r + 2)3 + (53s – 2)3 = 53c; la soluzione minima con interi positivi si ha prendendo r = 0 e s = 1, ossia 23 + 1233 = 14887 • 53.

 

L’equazione è banale per n = 1 e fu risolta oltre due secoli fa per n = 2: esistono soluzioni se e solo se c è rappresentabile come somma di due quadrati, cioè se tutti i fattori primi dispari che compaiono nella scomposizione di c con esponente dispari sono della forma 4k + 1 (v. quadrati); è noto che tali numeri hanno densità asintotica nulla (v. costante di Landau – Ramanujan).

 

Le difficoltà iniziano per n = 3; il problema di trovare soluzioni intere è equivalente al problema di trovare soluzioni razionali dell’equazione a2 = b3d, dove d può essere calcolato a partire da c; se l’equazione ha una soluzione, ne ha infinite, a meno che d sia 432.

Se l’equazione ha una soluzione intera per un valore di c, ne ha infinite con le incognite prive di divisori comuni, ma tendono a crescere molto velocemente; per esempio, nel caso c = 6, la minima soluzione, come valore assoluto di z, è x = 37, y = 17, z = 21, la successiva è x = 2237723, y = –1805723, z = 960540; la minima soluzione positiva successiva è x = 1498088000358117387964077872464225368637808093957571271237, y = 1659187585671832817045260251600163696204266708036135112763, z = 1097408669115641639274297227729214734500292503382977739220.

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 3, con 0 < x ≤ 10000, 0 < y ≤ 10000, per 0 < c ≤ 100, non multiplo di cubi e non uguale a una somma di cubi.

c

x

y

z

6

37

17

21

7

5

4

3

12

89

19

39

13

7

2

3

15

683

397

294

19

5

3

2

19

8

1

3

19

92

33

35

20

19

1

7

26

75

53

28

30

163

107

57

33

1853

523

582

37

19

18

7

37

303

40

91

37

9980

1999

3003

43

7

1

2

62

11

7

3

63

248

127

65

65

323

197

86

67

5353

1208

1323

70

53

17

13

78

5563

53

1302

84

433

323

111

86

13

5

3

89

53

36

13

91

94

23

21

91

6543

1457

1460

98

669

355

152

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 3, con 0 < x ≤ 10000, –10000 ≤ y < 0, per 0 < c ≤ 100, non multiplo di cubi e non uguale a una differenza di cubi.

c

x

y

z

7

73

–17

38

7

1265

–1256

183

9

20

–17

7

9

919

–271

438

13

2513

–1388

1005

17

18

–1

7

19

36

–17

13

19

109

–90

31

19

613

–594

103

19

895

–831

196

19

2395

–2386

201

19

4112

–1025

1533

28

87

–55

26

30

289

–19

93

30

4769

–2609

1446

31

137

–65

42

34

631

–359

182

35

129

–124

19

37

10

–1

3

37

69

–61

14

37

1033

–33

310

37

8910

–8873

619

42

449

–71

129

43

805

–229

228

49

11

–2

3

53

1872

–1819

217

61

248

–5

63

65

88

–43

21

65

191

–146

39

65

1763

–1138

395

65

3467

–3422

291

71

197

–126

43

79

13

–4

3

90

1241

–431

273

91

9

–1

2

91

275

–158

57

91

472

–465

37

91

653

–536

111

91

1535

–204

341

97

14

–5

3

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 4, con 0 < x ≤ 10000, 0 < y ≤ 10000, per 0 < c ≤ 106, non multiplo di quarte potenze e non uguale a una somma di quarte potenze.

c

x

y

z

5906

149

25

17

926977

504

337

17

952577

529

188

17

469297

1002

751

41

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere dell’equazione x4y4 = cz4, con 0 < x ≤ 10000, 0 < y ≤ 10000, per 0 < c ≤ 1000, non multiplo di quarte potenze e non uguale a una differenza di quarte potenze.

c

x

y

z

5

3

1

2

34

5

3

2

39

5

1

2

84

31

17

10

111

7

5

2

145

7

3

2

150

7

1

2

239

120

119

13

260

9

7

2

371

9

5

2

410

9

1

2

505

11

9

2

527

24

7

5

765

11

7

2

870

13

11

2

876

11

5

2

910

11

3

2

915

11

1

2

 

Per n = 5 si sa che le equazioni x5 + y5 = 2zp e x5 + y5 = 3zp non hanno soluzioni per p primo dispari.

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 5, con 0 < x ≤ 5000, 0 < y ≤ 5000, per c fino a 106, non multiplo di quinte potenze e non uguale a una somma di quinte potenze.

c

x

y

z

68101

17

15

2

88981

19

13

2

132661

21

11

2

202981

23

9

2

305701

25

7

2

448501

27

5

2

640981

29

3

2

894661

31

1

2

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 5, con 0 < x ≤ 5000, –5000 ≤ y < 0, per 0 < c ≤ 107, non multiplo di quinte potenze e non uguale a una differenza di quinte potenze.

c

x

y

z

1222981

33

–1

2

1641301

35

–3

2

2166901

37

–5

2

2818981

39

–7

2

3618661

41

–9

2

4588981

43

–11

2

5754901

45

–13

2

7143301

47

–15

2

8782981

49

–17

2

9933275

276

–71

11

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 6, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per 0 < c ≤ 1012, non multiplo di seste potenze e non uguale a una somma di seste potenze.

c

x

y

z

164634913

117

44

5

1124326946

161

73

5

29542640465

278

29

5

68834657530

307

249

5

175018453129

366

263

5

412349809601

424

293

5

458179251049

439

102

5

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere dell’equazione x6y6 = cz6, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per 0 < c ≤ 109, non multiplo di seste potenze e non uguale a una differenza di seste potenze.

c

x

y

z

199171

17

15

2

659673

19

13

2

1312415

21

11

2

2304757

23

9

2

3812859

25

7

2

6053201

27

5

2

6311942

33

31

2

9294103

29

3

2

13867245

31

1

2

19428786

35

29

2

20179187

33

1

2

28722889

35

3

2

34036030

37

27

2

40089231

37

5

2

47844873

49

47

2

51165674

39

25

2

54978533

39

7

2

71907318

41

23

2

74212075

41

9

2

97431202

43

21

2

98743617

43

11

2

129011246

45

19

2

129670919

45

13

2

168048090

47

17

2

168247261

47

15

2

201490444

65

63

2

215892963

49

17

2

216092134

49

15

2

217936327

122

121

3

247546845

53

43

2

274206905

51

19

2

274866578

51

13

2

344978047

53

21

2

346290462

53

11

2

358289631

55

41

2

430196949

55

23

2

432501706

55

9

2

532067291

57

25

2

535880150

57

7

2

608406372

67

61

2

614720015

81

79

2

618981363

59

37

2

653017393

59

27

2

659070594

59

5

2

776282949

61

35

2

795711735

61

29

2

805005838

61

3

2

963062477

63

31

2

976929722

63

1

2

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 7, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per c fino a 1012, non multiplo di settime potenze e non uguale a una somma di settime potenze.

c

x

y

z

69071941639

65

63

2

71901987823

67

61

2

77617224511

69

59

2

86328262903

71

57

2

98201826199

73

55

2

113461717279

75

53

2

132390108943

77

51

2

155329156711

79

49

2

182682934183

81

47

2

214919690959

83

45

2

252574433119

85

43

2

296251826263

87

41

2

346629421111

89

39

2

404461201663

91

37

2

470581455919

93

35

2

545908969159

95

33

2

631451539783

97

31

2

728310817711

99

29

2

837687465343

101

27

2

960886641079

103

25

2

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 7, con 0 < x ≤ 1000, –1000 ≤ y < 0, per 0 < c ≤ 1015, non multiplo di settime potenze e non uguale a una differenza di settime potenze.

c

x

y

z

4644275800711

129

–1

2

5172364233583

131

–3

2

5751107917759

133

–5

2

6384492915319

135

–7

2

7076752355863

137

–9

2

7832377726111

139

–11

2

8656130482063

141

–13

2

9553053983719

143

–15

2

10528485752359

145

–17

2

11588070050383

147

–19

2

12737770783711

149

–21

2

13983884726743

151

–23

2

15333055069879

153

–25

2

16792285289599

155

–27

2

18368953341103

157

–29

2

20070826173511

159

–31

2

21906074567623

161

–33

2

23883288296239

163

–35

2

26011491607039

165

–37

2

28300159028023

167

–39

2

30759231495511

169

–41

2

33399132804703

171

–43

2

36230786382799

173

–45

2

39265632384679

175

–47

2

42515645111143

177

–49

2

45993350749711

179

–51

2

49711845437983

181

–53

2

53684813649559

183

–55

2

57926546902519

185

–57

2

62451962790463

187

–59

2

67276624336111

189

–61

2

72416759667463

191

–63

2

77889282016519

193

–65

2

83711810040559

195

–67

2

89902688465983

197

–69

2

96481009054711

199

–71

2

 

Per n = 8 non vi sono soluzioni intere con c < 17, né con x e y minori di 10000 (M. Fiorentini, 2017).

La tabella seguente riporta alcune soluzioni intere per n = 8.

c

x

y

z

10005266762652490069648896799592186997914446378925035153348577

42169019

16838996

17

25087357862868163546219356675531947971970330489933280098732015617

1

112184244

17

591531631560601381457309958112692944861093273152771542399429400802

166531669

38152529

17

6883932863136665190450747571029123985669274802414743978159878870177

143839683

225561478

17

136513121662876943586655005622127800796528654333923927331116164812257

328773496

14196987

17

339716142175119253516181091137990291907639539435905976256650569800961

33525153

368459300

17

357126486228991960414358904543837717549219369666357802390793642553442

365630157

279949417

17

679064767999926318363460172033739674679578199813995262436610657267042

84296011

401780353

17

1863110368469649011429684354289440034002649970398588831258037606574017

248540518

455358969

17

3482670545472394761291530688646907265722922874986657405525608445065857

492763089

224557468

17

11142505773119974527522346253306633355996477964146318954920579408605537

569039236

332379723

17

29644676443314140789368657293797083535003060336659934126387780841320897

188162759

644155118

17

382993035566731780578768930407359095454154717815539751436749740149733697

886949426

107853609

17

449106130815217799834115336325924433732084250989604289917952586561813857

904046443

481930098

17

457429658570771253155924318506278965694994001533856904524679971864522722

66792449

906860613

17

1011702146806273486321371570761119675649363682093264857650180490100663617

454907524

1001228233

17

1204973924084260514387293367717464038921231384459449777659622968025474177

1023580943

154317382

17

3813948169192990450364180264963285804911691796482561728566659105819062721

1042618055

1116663866

17

5133252716248561320383616193416925067960163158522761440784208658560659361

1226871325

222990646

17

9354019323231740142317730835605131047982611635783177154802326053095322017

1322436364

24844547

17

10310188142857632122179149133269838104839514225437591315102289430667764897

911563229

1330724496

17

11347003507531145064830409258317896752087664318379463161020059351572115841

1354746600

379971919

17

12650928068875930942875733564351339303953585273157386979867347497678014721

1373293825

379109638

17

14345517761654368981261558723138462491648560120023514655603219584864031137

1395049213

59847008

17

30730651052853979040316172690816278256604875261459113929990830737095161442

1208890807

1503917267

17

36156333288791717474714251970625541854926556309121542086295437907129185857

604585527

1565835874

17

39540548902458010206704380931723895876112821472538606513987965904259486722

1468576607

1434237409

17

59071498968471335711868248378655875111328681327318412035180324115570804321

1618668238

1363482165

17

60162060948694268994718087857940915296494552189577040504120166812142473057

1667869653

852887366

17

93801363589917289708033016307524903351578013763777931615364054882715891137

225205922

1764111943

17

216149393564152449768336815071704925352668676613144892985760418661453349442

1734964101

1844631317

17

376151907678298612227055863522947648627876436307106805768719502410058344002

2097758199

1016671201

17

409488341619363876869395540040700093745860652443252884751316119562856008897

2120948839

121364358

17

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere dell’equazione x8y8 = cz8, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per c fino a 1012, non multiplo di ottave potenze e non uguale a una differenza di ottave potenze.

c

x

y

z

17237761

17

–15

2

63155595

19

–13

2

146908205

21

–11

2

305734135

23

–9

2

596023929

25

–7

2

1103238851

27

–5

2

1954087525

29

–3

2

2162178050

33

–31

2

3331605615

31

–1

2

5493783665

33

–1

2

6842300694

35

–29

2

8796388219

35

–3

2

12617382490

37

–27

2

13720621341

37

–5

2

20310239726

39

–25

2

20906263655

39

–7

2

30885211890

41

–23

2

31190946025

41

–9

2

36803296515

49

–47

2

45509286790

43

–21

2

45656194995

43

–11

2

65617741514

45

–19

2

65680897109

45

–13

2

92985589470

47

–17

2

93002827231

47

–15

2

129788885985

49

–17

2

129806123746

49

–15

2

178714691435

51

–19

2

178777847030

51

–13

2

197544883335

53

–43

2

243054170125

53

–21

2

243201078330

53

–11

2

275347783684

65

–63

2

295894580709

55

–41

2

326779792599

55

–23

2

327085526734

55

–9

2

434674098521

57

–25

2

435270122450

57

–7

2

559835774025

59

–37

2

572453156515

59

–27

2

573556395366

59

–5

2

740060303151

61

–35

2

746902603845

61

–29

2

748856691370

61

–3

2

837345174060

67

–61

2

966026911055

63

–31

2

969358516670

63

–1

2

 

Per n = 9 vi sono le soluzioni generali (2n + m29 + k)9 + (2n + m29k)9 = c29, per n ≥ 8 e (2n + m29 + k)9 – (m29 + k)9 = c29, per n ≥ 9.

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 9, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per c fino a 1012, non multiplo di none potenze e non uguale a una somma di none potenze.

c

x

y

z

18456877714042519561

257

255

2

18537985804613248681

259

253

2

18700409867443217641

261

251

2

18944565919615790281

263

249

2

19271078621114765641

265

247

2

19680782036314994281

267

245

2

20174720649736720681

269

243

2

20754150636435240841

271

241

2

21420541387490361481

273

239

2

22175577291153044521

275

237

2

23021159770299517801

277

235

2

23959409576936030281

279

233

2

24992669344590327241

281

231

2

26123506399518818281

283

229

2

27354715831751308201

285

227

2

28689323827088058121

287

225

2

30130591261256841481

289

223

2

31682017557530556841

291

221

2

33347344809198856681

293

219

2

35130562168380148681

295

217

2

37035910502753223241

297

215

2

39067887321880658281

299

213

2

41231251974889049641

301

211

2

43531031121364012681

303

209

2

45972524477410797961

305

207

2

48561310838924261161

307

205

2

51303254384204824681

309

203

2

54204511258149965641

311

201

2

57271536440343662281

313

199

2

60511090899459128041

315

197

2

63930249036483059881

317

195

2

67536406419362524681

319

193

2

71337287811768504841

321

191

2

75340955498763021481

323

189

2

79555817912249650921

325

187

2

83990638559180147401

327

185

2

88654545255582782281

329

183

2

93557039669570907241

331

181

2

98708007176583146281

333

179

2

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 9, con 0 < x ≤ 1000, –1000 ≤ y < 0, per 0 < c ≤ 1022, non multiplo di none potenze e non uguale a una differenza di none potenze.

c

x

y

z

4806028313710522550281

513

1

2

4977314696614244777641

515

3

2

5154006083946107522281

517

5

2

5336251128555605140681

519

7

2

5524201973941287360841

521

9

2

5718014322291185061481

523

11

2

5917847503580132276521

525

13

2

6123864545736246865801

527

15

2

6336232245888925190281

529

17

2

6555121242710799027241

531

19

2

6780706089866195858281

533

21

2

7013165330578736560201

535

23

2

7252681573330797426121

537

25

2

7499441568707656341481

539

27

2

7753636287399235836841

541

29

2

8015460999372448636681

543

31

2

8285115354227244220681

545

33

2

8562803462749547811241

547

35

2

8848733979674376098281

549

37

2

9143120187672506909641

551

39

2

9446180082574172932681

553

41

2

9758136459843342489961

555

43

2

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere per n = 10, con 0 < x ≤ 5000, 0 < y ≤ 5000, per c non multiplo di decime potenze e non uguale a una somma di decime potenze.

c

x

y

z

632498552177152162935401

1199

718

5

68631187749418930249089082

1917

481

5

8836381274333955638476921105

3116

237

5

22398328868268069994249756610

3353

2879

5

258278106689955659238547506937

4078

4071

5

391358657042680426044076528553

4552

2161

5

 

La tabella seguente riporta le soluzioni intere dell’equazione x10y10 = cz10, con 0 < x ≤ 1000, 0 < y ≤ 1000, per c fino a 1022, non multiplo di decime potenze e non uguale a una differenza di decime potenze.

c

x

y

z

92250609408320208901

257

255

2

277157282079822938223

259

253

2

463281355618651276025

261

251

2

651437896213977545827

263

249

2

842447172911596951149

265

247

2

1037136747638628884951

267

245

2

1236343574114172082273

269

243

2

1440916108190331408075

271

241

2

1651716432172214449877

273

239

2

1869622395670605435199

275

237

2

2095529775547062317001

277

235

2

2330354457518150166323

279

233

2

2575034641993420280125

281

231

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Se n è un primo maggiore di 7, l’equazione non ha soluzione se c è una potenza di uno dei primi 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 53, 59 diverso da n (J.P. Serre, 1987).

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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