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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Quando Andrew Wiles, uno dei massimi esperti nel sulle equazioni ellittiche, seppe della dimostrazione di Ribet, decise di tentare di affrontare l’ultimo teorema. Pensava di dimostrare la congettura di Taniyama – Shimura per una sottoclasse delle equazioni ellittiche, dette “semistabili”.

Un’equazione ellittica è semistabile se per ogni primo p maggiore di 3 che divide il discriminante, al massimo due delle tre radici sono congruenti modulo p e valgono condizioni analoghe, ma più complesse, per i primi 2 e 3. Nel caso dell’equazione di Frey, il discriminante è (abc)2p e le radici sono 0, ap e –bp. Dato che a e b sono primi tra loro (nell’ipotetica soluzione minima), nessun primo può dividere le tre radici, le altre condizioni sono soddisfatte, l’equazione è semistabile e dimostrare la congettura di Taniyama – Shimura per le equazioni semistabili sarebbe stato sufficiente per dimostrare il teorema.

 

I primi tentativi di dimostrare la congettura erano basati sul trovare i numeri di soluzione di un’equazione e mostrare che corrispondevano ai coefficienti di una forma modulare; il compito è complicato, perché le due successioni di numeri sono infinite; può essere affrontato per singole equazioni, ma nessuno aveva trovato modo di dimostrare che funzionasse per tutte.

 

Wiles affrontò il problema diversamente, cercando di dimostrare che, considerando un numero alla volta, è possibile trovare una corrispondenza. Vale a dire che per ogni possibile primo termine dei numeri di soluzioni esiste una forma modulare con quel numero come primo coefficiente (anzi, ne esistono infinite), lo stesso vale per il secondo, il terzo e così via. Wiles pensò a costruire una dimostrazione per induzione: dimostrando che la congettura vale per il primo numero e che se vale per uno, vale per il successivo.

Il solo primo passo richiese due anni di lavoro ed era un risultato interessante a priori, ma Wiles decise di non pubblicarlo.

Dopo aver passato anni a cercare un metodo valido per la seconda parte della dimostrazione, senza successo, Wiles incontò a un convegno il suo ex insegnate John Coates, che gli parlò di un perfezionamento apportato da un suo studente, Matheus Flach, a un metodo ideato da Kolyagin per trattare le equazioni ellittiche e Wiles si rese conto che poteva essere il metodo giusto.

Wiles fu suddivise le equazioni in varie famiglie, modificando il metodo di Kolyagin – Flach per adattarlo a ogni famiglia, e riuscì a includere nella dimostrazione una famiglia dopo l’altra, a un ritmo incoraggiante.

 

In vista del traguardo sentì il bisogno di una verifica del suo lavoro e si rivolse al collega Nick Katz, che pure lavorava a Princeton. I due organizzarono un corso per studenti laureati, dal titolo alquanto vago “Calcoli sulle curve ellittiche”, nel corso del quale Wiles spiegò la parte centrale della dimostrazione, mentre Katz era tra il pubblico ad ascoltare e verificare; come prevedibile, l’uditorio si assottigliò rapidamente, fino a ridursi al solo Katz.

 

Terminata la verifica, nel 1993 Wiles colse l’occasione di un convegno tenuto a Cambridge, sua città natale, per esporre per sommi capi la dimostrazione nel corso di tre conferenze dal titolo “Forme modulari, curve ellittiche e rappresentazioni di Galois”, che non dava indizi sul contenuto; molti però sospettavano che doveva trattarsi di qualcosa di molto importante, anche perché Wiles aveva fatto vedere una parte del suo lavoro ad alcuni eminenti matematici,

Nella prima conferenza Wiles spiegò le basi per l’attacco alla congettura di Taniyama – Shimura, con l’effetto di rendere più numeroso il pubblico della seconda, nel corso della quale mostrò calcoli intermedi, che lasciavano chiaramente intendere che stava affrontando la congettura, almeno in parte.

Il 23/6/1993 si tenne finalmente la terza conferenza, una più attese del secolo: Andrew Wiles spiegò la sua dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat.

Il matematico inglese, a dire il vero, aveva annunciato un risultato apparentemente più modesto, la dimostrazione della congettura di Taniyama – Shimura, ma gli esperti sapevano della dimostrazione di Ribet.

Nella conferenza l’ultimo teorema di Fermat fu citato solo alla fine, quasi incidentalmente, come marginale conseguenza della dimostrazione della congettura, giusto prima di concludere con la frase. “penso che mi fermerò qui”, salutata da un’ovazione.

 

Wiles inviò il manoscritto con la dimostrazione completa, di oltre 200 pagine, alla rivista Inventiones Mathematicae, che invece dei soliti due o tre revisori, ne nominò sei, data la mole del lavoro.

Ad agosto si verificò un fatto che gettò Wiles nello sconforto: Katz, che era uno dei revisori, chiese chiarimenti su un particolare punto, non fu soddisfatto della risposta, richiese altre spiegazioni e in breve i due arrivarono alla conclusione che alla catena di ragionamenti mancava un anello. Si trattava di un caso particolare dell’applicazione del metodo di Kolyagin – Flach e l’errore era così sottile che era sfuggito a Wiles e allo stesso Katz durante la revisione fatta insieme.

Per qualche tempo Wiles e i revisori tennero nascosto il problema: la speranza di tutti era che Wiles riuscisse a correggere l’errore e che l’articolo potesse uscire, corretto, in tempi ragionevoli, ma gli altri matematici, che non avevano avuto accesso al manoscritto iniziarono a chiedere informazioni con maggiore insistenza e iniziarono a circolare voci su possibili errori. Il 4/12/1993 Wiles decise di porre fine alle speculazioni, spiegando che i revisori avevano trovato un difetto nella dimostrazione, che stava lavorando alla correzione e che pertanto l’articolo non doveva essere pubblicato.

Il mondo matematico rimase molto deluso, non solo per l’errore, ma anche per la riluttanza di Wiles a pubblicare: molti ritenevano che il resto del lavoro fosse di grande valore e andasse reso pubblico e che rivelando la natura precisa dell’errore qualcun altro avrebbe potuto trovare un rimedio o dare un’idea al matematico inglese per superare l’ostacolo.

 

Wiles si lasciò convincere dal collega e amico Peter Sarnak ad accettare l’aiuto di Richard Taylor, esperto sul metodo di Kolyagin – Flach. Insieme i due lavorarono fino a settembre 1994 provando a modificare il metodo, senza riuscirci, poi un giorno Wiles ebbe un’ispirazione: combinando il metodo con un’altra teoria che aveva esaminato e scartato anni prima, perché insufficiente da sola, trovò la chiave del successo. Mancava un piccolo punto, stabilire una proprietà delle cosiddette “algebre di Hecke”, che Wiles e Taylor riuscirono a dimostrare rapidamente. Il 25/10/1994 furono consegnati per la pubblicazione due manoscritti: quello con la dimostrazione di Wiles corretta e uno a firma congiunta di Wiles e Taylor, nel quale si dimostrava la proprietà delle algebre di Hecke, basilare per l’applicazione del metodo di Wiles.

La nuova dimostrazione era anche più elegante e più breve della prima: “solo” 130 pagine per i due articoli. Dopo un accuratissimo esame, furono pubblicati nel numero di maggio di Annals of Mathematics e Wiles finì per la seconda volta sulle prime pagine di giornali e riviste. I giornali, anche scientifici, esaltarono la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, tralasciando quasi del tutto la congettura di Taniyama – Shimura, sebbene questa per i matematici sia in realtà più importante. Nessuno si premurò di parlare del lavoro dei due matematici giapponesi, che aveva indicato la via per la dimostrazione. Quando a Shimura fu chiesto un commento sulla dimostrazione, rispose: “ve l’avevo detto”, con un sorriso gentile.

 

Nel 1999 Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor dimostrarono infine la congettura di Taniyama – Shimura per tutte le equazioni ellittiche.

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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