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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Nel corso degli anni furono trovate varie affermazioni equivalenti all’ultimo teorema di Fermat, per n intero dispari e maggiore di 1 e m intero maggiore di 1:

  • x(x + 1) = yn ha come uniche soluzioni razionali le soluzioni banali x = 0, y = 0 e x = –1, y = 0 (T.R. Bendz, 1901);

  • x2 = 4yn + 1 ha come uniche soluzioni razionali le soluzioni banali x = ±1, y = 0 (T.R. Bendz, 1901);

  • x2 = 4yn + 1 – 4y ha come unica soluzione razionale la soluzione banale x = 0, y = 0 (L. Pérez-Cacho, 1946);

  • per a razionale diverso da zero l’equazione x2amx + a = 0 non ha soluzioni razionali (L. Pérez-Cacho, 1946);

  • xmym = x + y ha come unica soluzione razionale la soluzione banale x = 0, y = 0 (L. Pérez-Cacho, 1946);

  • xmy = x + y2 ha come unica soluzione razionale la soluzione banale x = 0, y = 0 (L. Pérez-Cacho, 1946);

  • se a1 e r sono razionali e a1, a2, a3, … è una progressione geometrica con rapporto r tra termini consecutivi, a(m)^2 – a(1) + r ≠ 0 per m > 1; in termini algebrici xy2m – 2x + y = 0 ha come unica soluzione razionale la soluzione banale x = 0, y = 0 (L. Pérez-Cacho, 1946);

  • se in un triangolo rettangolo, la lunghezza dell’ipotenusa è 2 e la somma delle lunghezze di un cateto e dell’ipotenusa è la potenza n-esima di un numero razionale, la lunghezza dell’altro cateto non è razionale; in termini algebrici non esistono soluzioni razionali dell’equazione 4 – x2n = y2 (L. Pérez-Cacho, 1946).

Nessuna di queste però si rivelò più trattabile dell’ostico teorema.

 

Nel 1908 A. Hurwitz dimostrò che l’equazione xmyn + ymzn + zmxn = 0 con mn e m e n primi tra loro ha solo la soluzione banale x = y = z = 0 se e solo se l’ultimo teorema vale per l’esponente m2mn + n2.

 

Nel 1931 il matematico Kurt Friedrich Gödel (Brno, allora Impero Austro-Ungarico, oggi Repubblica Ceca, 28/4/1906 – Princeton, USA, 14/1/1978) dimostrò che qualsiasi sistema di assiomi che includa l’aritmetica elementare è incompleto, ossia contiene infinite proposizioni vere, ma non dimostrabili tali all’interno del sistema e infinite proposizioni false, ma non dimostrabili tali.

Se l’ultimo teorema fosse stato tra queste, significava che non poteva esistere una dimostrazione; lo si sarebbe potuto dimostrare per vari esponenti, forse anche in infiniti casi, ma una dimostrazione generale sarebbe stata per sempre impossibile.

Per di più, se il teorema fosse stato indimostrabile, sarebbe stato vero! Infatti, se fosse stato falso, sarebbero esistiti interi x, y e z tali che xn + yn = zn, per un qualche intero n maggiore di 2, ma allora la semplice verifica dell’equazione sarebbe stata una dimostrazione della falsità, quindi l’affermazione del teorema sarebbe stata decidibile.

Non esiste modo di sapere a priori se una data affermazione è indimostrabile, quindi il dubbio iniziò a serpeggiare.

 

Un paio di decenni dopo i calcolatori cominciarono a essere impiegati in modo massiccio: se Kummer aveva impiegato settimane a trovare i primi irregolari inferiori a 100, le macchine permettevano di alzare rapidamente il limite ed eventualmente applicare il criterio di Vandiver a questi recalcitranti primi, fino al limite di 4 milioni del 1993.

Per il primo caso il lavoro era ancora più semplice: la stima di Gunderson permetteva di escludere i primi fino a oltre 1018 con pochissimi calcoli.

Tutto questo non poteva costituire neppure una speranza di dimostrazione, ma servì a rafforzare l’opinione che il teorema fosse vero.

 

Negli anni ’50 inaspettatamente fu trovata una connessione tra l’ultimo teorema e le equazioni ellittiche. Queste ultime sono equazioni che possono essere espresse nella cosiddetta “forma normale di Weierstrass” come y2 = ax3 + bx2 + bx + c, dove a, b e c sono interi.

Tali equazioni sono chiamate “ellittiche” perché collegati agli integrali ellittici, che permettono di calcolare la lunghezza di archi di ellisse.

Le equazioni ellittiche pongono tuttora problemi non risolti; si cercano di solito le soluzioni intere e solitamente con un calcolatore qualcuna salta fuori in poco tempo, ma dimostrare d’averle trovate tutte è un altro paio di maniche.

Dato che alcune equazioni ellittiche sono particolarmente ostiche, i matematici iniziarono a studiare i numeri di soluzioni modulo qualche intero, ossia considerare le soluzioni ottenute dividendo i due membri per uno stesso intero e considerando solo il resto.

Per esempio l’equazione x3x2 = y2y ha 9 soluzioni modulo 7: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 6), (6, 4). Per tutte queste coppie di valori si può verificare che i due membri danno lo stesso resto se divisi per 7.

La sequenza dei numeri di soluzioni dell’equazione, modulo 1, 2, 3, … è 1, 4, 4, 8, 4, 16, 9, … e costituisce una sorta di “firma” dell’equazione.

 

Le forme modulari sono funzioni f(z) ad argomenti complessi, con Im(z) > 0, differenziabili in ogni punto del loro dominio e tali che f((a * z + b) / (c * z + d)) = (c * z + d)^k * f(z) con a, b, c e d interi, quindi in particolare tali che f(z + 1) = f(z). Le forme modulari sono costituite da una sorta di “mattoni” base, che esistono in numero infinito. Ogni forma modulare ha una composizione unica, fatta di un numero intero di ogni parte: potrebbe contenere 1 parte del primo mattone, 5 del secondo, 4 del terzo e così via. La particolare sequenza dei coefficienti che indicano la composizione di una forma modulare è unica e la identifica.

Yutaka Taniyama (Kisai, Giappone, 12/11/1927 – Tokyo, 17/11/1958) esaminando una particolare forma modulare notò che la serie dei coefficienti era uguale alla sequenza dei numeri di soluzioni di un’equazione ellittica che conosceva, così si chiese se la stessa cosa potesse accadere per altre forme modulari. Il matematico giapponese ne esaminò varie altre e per ciascuna trovò una corrispondente equazione ellittica che aveva soluzioni intere, quindi iniziò a supporre che ci fosse una corrispondenza tra gli enti delle due categorie.

Nel 1955 si tenne a Tokyo uno dei primi convegni internazionali di Matematica nel Giappone del dopoguerra: un’occasione unica per i giovani ricercatori e Taniyama presentò alcuni problemi, riconducibili alla possibilità di stabilire un nesso tra equazioni ellittiche e una classe di funzioni più generale delle forme modulari, dette “funzioni automorfiche”, funzioni che restano invariate sostituendo l’argomento (complesso) z con a * z + b / (c * z) + d.

La comunità internazionale accolse con scetticismo l’idea: le serie di numeri potevano coincidere per caso o forse per poche equazioni o anche infinite, ma coincidono per tutte? Dopotutto sia le forme modulari che le equazioni ellittiche sono infinite e trovare qualche coppia descritta dalla stessa sequenza di numeri sembrava abbastanza normale.

Taniyama sfortunatamente si suicidò tre anni dopo per una crisi depressiva, ma l’idea fu portata avanti dal suo amico e collega Goro Shimura, che esaminò altre equazioni, si convinse che le funzioni automorfiche non servono, perché la corrispondeza è tra equazioni ellittiche e forme modulari, e raccolse prove a sostegno dell’idea. Negli anni ’60 numerosi matematici si interessarono alla congettura, trovando sempre una forma modulare per ogni equazione ellittica esaminata che avesse soluzioni intere, la congettura di Taniyama – Shimura divenne un importante filone di ricerca e pian piano si accumulò un gran numero di congetture e dimostrazioni, tutte dipendenti da quella congettura, la dimostrazione della quale acquistava sempre maggior importanza, ma sfuggiva a tutti.

 

Nell’autunno del 1984 Gerhard Frey in un convegno di matematici fece un’affermazione importante: mostrò che se fossero esistiti tre interi a, b e c, tali che an + bn = cn con n > 2, sarebbero esistite soluzioni dell’equazione ellittica y2 = x3 + (anbn)x2anbnx. Frey proseguì facendo notare che l’equazione era molto particolare e non corrispondeva ad alcuna forma modulare, pertanto se la congettura di Taniyama – Shimura fosse stata vera, non corrispondendo a una forma modulare l’equazione non avrebbe potuto avere soluzioni intere e ne sarebbe seguito l’ultimo teorema. Mancava però un dettaglio: Frey non aveva dimostrato rigorosamente che l’equazione non corrispondeva ad alcuna forma modulare. Sembrava un’inezia, un problema marginale, ma passarono i mesi, senza che nessuno riuscisse a trovare l’anello mancante e l’affermazione divenne nota come “congettura epsilon”.

Nell’estate del 1986 Ken Ribet, che come altri aveva invano cercato di dimostrare la validità dell’idea di Frey, si trovò a chiacchierare con Barry Mazur e davanti a un cappuccino gli spiegò che pensava d’aver trovato una via per la dimostrazione; aveva dimostrato un caso molto particolare, ma che non trovava modo di generalizzarlo. Mazur diede a Ribet un piccolo suggerimento, che gli permise di completare la dimostrazione. Frey aveva ragione, l’equazione non poteva corrispondere ad alcuna forma modulare e se avesse avuto soluzioni, avrebbe invalidato la congettura di Taniyama – Shimura e viceversa se questa fosse stata vera, l’ultimo teorema sarebbe stato dimostrato.

Il passo avanti comunque non sembrava decisivo: dimostrando la congettura di Taniyama – Shimura si sarebbe dimostrato l’ultimo teorema, ma non viceversa; la congettura sembrava quindi più difficile del teorema e aveva eluso le ricerche di brillanti matematici per oltre 30 anni.

 

Un passo importante verso la soluzione, ma in una direzione completamente diversa, fu compiuto da Carl Ludwig Siegel, che nel 1920 dimostrò che una un’equazione diofantea della forma P(x, y, …) = 0, polinomiale, irriducibile (ossia tale che il polinomio non sia scomponibile come prodotto di polinomi di grado minore con coefficienti interi), non singolare (cioè tale che la curva descritta ammetta una tangente in ogni suo punto) e di genus maggiore di 0 ha un numero finito di soluzioni intere.

Per comprendere il genus di una curva bisogna vederla come una superficie, nel nostro caso bidimensionale, immersa in uno spazio tridimensionale: fissato n, una terna di valori (complessi, non interi) di x, y e z, tali che xn + yn = zn costituiscono le coordinate di un punto; tali punti sono infiniti e costituiscono una superficie. Il genus di una superficie del genere è il numero di buchi che la superficie ha (v. congettura di Mordell); per n = 2 la superficie (limitandosi ai valori reali) è costituita da due coni uniti per la punta; per valori superiori di n però la superficie, considerando i valori complessi, è una ciambella infinita con più fori, per l’esattezza ha genus (n – 1) * (n – 2) / 2, maggiore di 1 per n > 3. Il teorema di Siegel assicura che in tal caso le soluzioni intere, se esistono, sono in numero finito.

Naturalmente, considerando gli infiniti valori possibili per n, il numero totale di possibili soluzioni resta infinito.

 

Nel 1988 Yoichi Miyaoka annunciò una dimostrazione basata su questo metodo; quando la dimostrazione fu pubblicata, parecchi esperti trovarono una contraddizione tra uno dei risultati di Miyaoka e un teorema dimostrato anni prima; lo stesso Faltings trovò infine un sottile errore nella dimostrazione. Una schiera di matematici cercò invano di aggiustarla: sebbene alcune parti costituissero risultati validi e interessanti, l’ultimo teorema non era dimostrato.

 

La storia apparve sui giornali e risvegliò l’interesse del pubblico; nella metropolitana di New York apparve un simpatico graffito che diceva:

xn + yn = zn: nessuna soluzione.

Ho scoperto una dimostrazione meravigliosa di questo fatto, ma non posso scriverla perché sta arrivando il mio treno.

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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