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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Mentre molti esperti s’ingegnavano ad ampliare l’insieme di primi per i quali il primo o il secondo caso valgono, altri tentarono di stabilire condizioni che un eventuale controesempio avrebbe dovuto soddisfare. La speranza era naturalmente di trovarne tante e tali, che nessun intero avrebbe potuto soddisfarle tutte, come esponente o come incognita.

Inoltre qualche condizione aggiuntiva avrebbe potuto permettere di dimostrare il teorema per gli esponenti che sfuggivano alle dimostrazioni più generali.

In questa parte vale sempre |x| < |y| < |z|.

 

Nel 1856 J.A. Grünert dimostrò che se esiste un controesempio, le incognite sono maggiori dell’esponente n; la dimostrazione non è particolarmente interessante, ma servì a mostrare che eventuali eccezioni avrebbero coinvolto potenze estremamente faticose da calcolare.

Grazie ad alcune congruenze dimostrate da Carmichael nel 1913, fu possibile aumentare il limite a 6n3.

 

Nel 1884 E. Jonquères dimostrò che y non è un primo e che se lo è x, zy = 1.

 

Nel 1891 E. Lucas dimostrò che y e z hanno almeno due fattori primi.

 

Nel 1909 A. Fleck dimostrò che se x non è multiplo di p, xp – 1 ≡ 1 mod p3.

 

Mirimanoff definì un polinomio Formula per la definizione di φn(x) e dimostrò che se x, y e z sono soluzioni dell’equazione per un esponente primo dispari p, allora per t uguale a –x / y, –y / x, –x / z, –z / x–y / z–z / y valgono le congruenze:

  • φp – 1(t) ≡ 0 mod p,

  • φp – 2(t2(t) ≡ 0 mod p,

  • φp – 3(t3(t) ≡ 0 mod p,

  • Congruenza soddisfatta da t.

La dimostrazione però non ha valore pratico, perché non fornisce un metodo per escludere qualche esponente o qualche valore di x, y o z e per verificare che una specifica combinazione di valori non soddisfa l’equazione è molto più veloce verificare direttamente la stessa.

 

P. Furtwängler dimostrò nel 1912 che se esistono interi x, y e z primi tra loro, tali che xp + yp + zp = 0:

  • se x non è multiplo di p, qp – 1 ≡ 1 mod p2, per ogni divisore q di x;

  • se x2y2 non è multiplo di p, qp – 1 ≡ 1 mod p2, per ogni divisore q di xy.

Questi teoremi permisero di semplificare le dimostrazioni dei teoremi di Wieferich e Mirimanoff e furono il punto di partenza per numerose altre analoghe.

Per esempio, nel 1919 Vandiver dimostrò che se p è un primo dispari:

  • x3x mod p3;

  • y3y mod p3;

  • z3z mod p3;

  • x + y + z ≡ 0 mod p3;

  • se p divide z, z è multiplo di p3.

Nel 1946 Kustaa Adolf Inkeri dimostrò che se l’esponente è una potenza pn di un primo dispari p, le prime tre congruenze valgono modulo p2n + 1.

 

K. Goldziher dimostrò nel 1913 che x, y e z non possono essere in progressione aritmetica.

 

Nel 1913 R.D. Carmichael dimostrò che se esiste un controesempio all’ultimo teorema, esiste un intero n tale che 1 ≤ n ≤ (p – 3) / 2 e:

  • nel primo caso np + 1 ≡ (n + 1)p mod p3;

  • nel secondo caso caso np + 1 ≡ (n + 1)p mod p2.

Nel 1950 A. Trypanis migliorò la prima parte, dimostrando che se esiste un controesempio nel primo caso con p > 5, esiste un intero n tale che 1 ≤ n ≤ (p – 5) / 2 e np + 1 ≡ (n + 1)p mod p4.

 

Nel 1927 H. Hasse dimostrò che se esiste un controesempio, Congruenza soddisfatta da un eventuale controesempio e (x / (x + y))^(p – 1) ≡ 0 mod p^2.

 

Nel 1930 McDonnel dimostrò che se r divide x2yz e xy + yz + xz non è multiplo di p oppure se r divide x2 + yz e x(yz)(x2 + yz) non è multiplo di p, rp – 1 ≡ 1 mod p2.

 

Nel 1940 Vandiver dimostrò che nel primo caso, se esiste un controesempio con p primo, xp – 1yp – 1zp – 1 ≡ 1 mod p3. Per quanto poco rilevante, questa rimase a lungo l’unica condizione nota che x, y e z dovrebbero soddisfare.

 

Nel 1953 K. Inkeri dimostrò che in un eventuale controesempio con esponente p primo, x > ((2 * p^3 + p) / log(3 * p))^p nel primo caso, x > p3p – 4 e y > p^(3 * p – 1) / 2 nel secondo, rendendo colossale il limite inferiore per le basi.

 

Nel 1955 K. Möller dimostrò che se l’esponente ha n fattori primi distinti, z e y ne hanno almeno n + 1, x ne ha almeno n e se ne ha esattamente n, l’esponente è dispari e z = y + 1. Pertanto se l’esponente è primo, y e z non sono potenze di primi e se x è una potenza di un primo, z = y + 1, ma K. Inkeri aveva dimostrato nel 1946 che questo è impossibile nel primo caso, quindi nel primo caso le basi non possono essere potenze di primi.

 

Nel 1958 Pérez Cacho dimostrò che nel primo caso y > (p^2 * w + 1)^p / 2, dove w è il prodotto di tutti i primi q tali che q – 1 divida p – 1.

 

Nel 1964 Inkeri e Seppo Juhani Hyyrö dimostrarono che, fissato l’esponente p e un intero n:

  • esiste al massimo un numero finito di soluzioni con x < y < z, yx < n e zy < n;

  • esiste al massimo un numero finito di soluzioni con x potenza di un primo.

 

Nel 1969 J.M. Swistak dimostrò che se esiste un controesempio con esponente primo, questo divide φ(x), φ(y) e φ(z).

 

Inkeri dimostrò nel 1976 che se esiste una soluzione con l’esponente p primo, Limite superiore per x e y; il limite è astronomico e non lasciava speranze di poter esaminare tutte le possibilità, tenuto conto che già allora si sapeva che il minimo valore di p per un eventuale controesempio doveva essere piuttosto grande, tuttavia è storicamente importante, perché costituì il primo limite superiore per le soluzioni e lasciò intravedere la speranza di poter arrivare a trovare un limite superiore per le incognite, e quindi per il numero di possibili soluzioni, per ogni primo.

 

Nel 1992 Zhi-Hong Sun e Zhi-Wei Sun dimostrarono che se esiste un controesempio al primo caso con esponente primo p, allora p è un primo di Wall – Sun – Sun.

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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