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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Il secondo caso del teorema si rivelò fin dagli inizi molto meno trattabile del primo, in particolare nessuno dei metodi validi nel primo caso è utilizzabile.

 

Il 1/3/1847 Lamé presentò all’Accademia francese delle Scienze una dimostrazione del teorema, valida nei due casi per tutti gli esponenti primi. Il suo punto di partenza era la scomposizione xn + yn = (x + y)(x + ζy)(x + ζ2y)(x + ζ3y) … (x + ζn – 1y), dove ζ è una radice n-esima dell’unità, ossia un numero complesso tale che ζn = 1.

Le radici n-esime dell’unità sono i numeri complessi e^(2 * π * k / n), per k da 0 a n – 1, e rappresentate sul piano complesso costituiscono i vertici di un poligono regolare, centrato sull’origine. Per esempio, le tre radici cubiche di 1 sono 1, (–1 + sqrt(–3)) / 2 (v. ω (II)) e (–1 – sqrt(–3)) / 2: si verifica facilmente che ciascuno di questi numeri elevato al cubo è uguale a 1.

Lamè ammise che la sua dimostrazione era ancora incompleta, ma espose il suo metodo e annunciò che a breve sarebbe seguita la pubblicazione completa.

Appena ebbe finito di parlare, Cauchy chiese la parola, per annunciare d’aver lavorato con un metodo analogo e d’essere sul punto di pubblicare una dimostrazione completa.

I due concorrenti a questo punto erano entrambi desiderosi di anticipare il rivale, per aggiudicarsi la gloria spettante al vincitore, nonché il premio in palio. Non disponevano della dimostrazione completa, ma lavorando febbrilmente consegnarono solo tre settimane più tardi i loro lavori in busta chiusa. Si trattava di una prassi frequente, per attestare la priorità di una scoperta, lasciando nel contempo all’autore altro tempo per mettere a punto i dettagli, chiarire punti oscuri e dare al lavoro una forma più completa.

L’attesa crebbe per un paio di mesi, ma il 24 maggio a rivolgersi all’accademia non fu uno dei due matematici, bensì Joseph Liouville (Saint-Omer, Francia, 24/3/1809 – Parigi, 8/9/1882), che lesse una lettera giuntagli da Kummer, nella quale il matematico tedesco spiegava come i due avessero imboccato una strada sbagliata.

Kummer, al corrente degli annunci dei due francesi, aveva capito dai pochi dettagli resi pubblici che erano incorsi nello stesso errore da lui commesso anni prima e che la strada che intendevano percorrere era un vicolo cieco.

Le dimostrazioni di Lamé e Cauchy presupponevano, infatti, l’unicità della scomposizione in fattori primi degli interi algebrici, che non è sempre vera (v. interi ciclotomici (I)).

Tra gli interi ordinari la scomposizione in fattori primi è unica, ma questo non è vero tra gli interi algebrici, con la conseguenza sgradevole che mentre tra gli interi se x e y sono primi tra loro e xy = z2 possiamo dedurre che sia x che y sono quadrati, la stessa affermazione non vale tra gli interi algebrici. Per esempio, (2 + sqrt(–5)) * (2 – sqrt(–5)) = 9 = 3^22 + sqrt(–5)2 – sqrt(–5) sono primi tra loro, ma non sono quadrati.

Tutto questo non era ben compreso a metà del XIX secolo, perché la teoria degli interi algebrici era ancora agli inizi, anche se Kummer aveva dimostrato pochi anni prima che la scomposizione non è sempre unica tra gli interi algebrici della forma a + bζ, proprio quelli necessari alla dimostrazione di Lamé.

Pierre Wantzel aveva nel frattempo dimostrato l’unicità della scomposizione per i primi fino a 19, ammettendo però che il suo metodi falliva nel caso di 23, che è infatti il minimo primo per il quale la scomposizione in fattori della forma a + bζ non è unica.

L’errore di Lamè non fu un caso isolato: altri proposero in seguito dimostrazioni analoghe, cadendo nella stessa trappola.

In effetti non si sa neppure se i campi di numeri algebrici per i quali la scomposizione in fattori primi è unica, detti “campi semplici”, del tipo a + b * sqrt(n) siano infiniti (v. numeri di Heegner).

 

Non tutto il male viene per nuocere, perché dalle ricerche sulla scomposizione in fattori primi degli interi algebrici nacque la teoria dei numeri ideali, che arricchì la teoria dei numeri, per merito di Kummer.

Semplificando alquanto, possiamo dire che il matematico prussiano propose di sostituire agli interi algebrici, tra i quali la scomposizione non è unica, altri campi di numeri, tra i quali si può invece dimostrare che la scomposizione in fattori primi è unica.

Nel caso degli interi algebrici della forma a + bζ + cζ2 + dζ3 + … (con a, b, c, d, … interi), Kummer mostrò che la scomposizione non è unica, se ζ è una radice p-esima dell’unità, per vari primi p, ma diventa unica se si considerano i numeri della forma Campo di numeri tra i quali la scomposizione in fattori primi è unica, dove r dipende in modo complicato da p.

I fattori del prodotto utilizzato da Lamé, della forma x + ζky, sono, espressi in questo modo, primi tra loro e dato che il loro prodotto è una potenza p-esima e che tra i numeri considerati la scomposizione in fattori primi è unica, abbiamo che Espressione di x + ζ^k * y come prodotti di un’unità per una potenza p-esima, dove ξ è un’unità. Se r e p sono primi tra loro, se ne può dedurre che a + bζ + cζ2 + dζ3 + … è la potenza r-esima di un altro numero, ossia che a + bζ + cζ2 + dζ3 + … = a’+ b’ζ + c’ζ2 + d’ζ3 + … (con a’, b’, c’, d’ … interi), ossia che x + ζky = ξ(a’+ b’ζ + c’ζ2 + d’ζ3 + …)p. Si può dimostrare che un’equazione di questo genere è impossibile, non solo se x e y sono interi, ma anche se sono a loro volta numeri ideali. Kummer dovette dividere la dimostrazione in due parti, considerando separatamente i due casi indicati da Sophie Germain, ma riuscì a dimostrare nel 1851 che il teorema di Fermat vale per tutti i primi tali che p e r non abbiano fattori comuni, detti “primi regolari”; Kummer dimostrò che un primo p è regolare se e solo se non divide i numeratori dei numeri di Bernoulli da B2 a Bp – 3.

 

Nel frattempo il primo caso del teorema era stato dimostrato per primi relativamente grandi, ma prima del lavoro di Kummer il secondo caso non era stato dimostrato neppure per 11, quindi aumentare il limite fino al quale il secondo caso è valido significava aumentare il limite fino al quale il teorema era completamente dimostrato.

 

Restava il problema di individuare i primi irregolari e trovare per essi altre dimostrazioni. Kummer trovò il minimo primo irregolare, 37, nel 1850, estese le ricerche fino a 100 l’anno seguente e a 164 nel 1874, trovandone 8 in tutto: un lavoro notevole, data la complessità dei calcoli eseguiti a mano. Il matematico prussiano riuscì a trattare i tre inferiori a 100, cioè 37, 59 e 67, con altri metodi, con alcuni errori, che al momento passarono inosservati, ma furono trovati da Vandiver nel 1920 e corretti.

 

Nel 1926 Vandiver era già riuscito a dimostrare che il teorema vale per tutti i primi minori di 157; nel 1929 dimostrò altri criteri, che gli permisero di estendere le ricerche. Dimostrò infatti che l’ultimo teorema vale per un primo p:

  • se p è irregolare una volta sola, ossia divide uno solo dei numeri di Bernoulli di indice pari fino a Bp – 3, con indice 2n, e p3 non divide B2np;

  • se p è della forma 4k + 1 e non divide nessuno dei numeri di Bernoulli di indice 2n con n dispari fino a Bp – 3.

Il recalcitrante 157 resistette al primo criterio, perché divide sia B62, sia B110, e al secondo, perché divide numeri di Bernoulli con indice 2n con n dispari, ma soccombette infine a un altro criterio più raffinato e complesso.

Armato dei suoi criteri, Vandiver dimostrò che l’ultimo teorema vale per i primi minori di 211 nel 1929, per quelli minori di 269 nel 1930 e per quelli minori di 307 nel 1931. Con un ultimo erculeo sforzo e grazie all’aiuto di alcuni assistenti portò il limite a 617 nel 1937, raggiungendo i limiti permessi dalle calcolatrici da tavolo.

 

Nel 1954 D.H. Lehmer, Emma Lehmer e Vandiver dimostrarono un metodo generale per trattare i primi irregolari, noto come “criterio di Vandiver”: se p è un primo irregolare, si devono trovare un primo q = mp + 1 minore di p2p e un intero n, tale che nm diviso q non dia resto 1, quindi per ogni intero pari r minore di p – 1 e tale che p divida Br, si calcolano Formula per il calcolo di d(r) e Formula per il calcolo di Q(r); il teorema di Fermat vale per p se Q(r)^m – 1 non è multiplo di q, per tutti i valori di r.

Per esempio, per p = 37, l’unico valore di r è 32, possiamo prendere q = 149, ossia m = 4, e n = 2 e calcolare Valore di d(22), da cui Valore di Q(22)^4 mod 149, pertanto il teorema vale per l’esponente 37.

 

Il criterio è di difficile applicazione, sia perché la quantità di calcoli necessari aumenta all’aumentare del primo considerato, sia soprattutto perché richiede di calcolare i numeri di Bernoulli fino a Bp – 3.

 

Nel frattempo però cominciarono a essere disponibili i primi calcolatori e il limite venne progressivamente aumentato:

  • da D.H. Lehmer, Emma Lehmer e Vandiver a 2003 nel 1954;

  • da Vandiver a 2521 nello stesso anno;

  • da J.L. Selfridge, C.A. Nicol e Vandiver a 4001 nel 1955;

  • da J.L. Selfridge, C.A. Nicol e B.W. Pollack a 25000 nel 1967;

  • da W. Johnson a 30000 nel 1975;

  • da S.S. Wagstaff a 58150 nel 1975, a 100000 nel 1976 e a 125000 nel 1977;

  • da J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall e T. Metsänkylä a 4 milioni nel 1993.

I primi esaminati cedevano tutti all’uno o all’altro dei criteri disponibili e a quel punto estendere il limite di validità del teorema sembrava più che altro una questione di potenza di calcolo, tuttavia non si riusciva a dimostrare che ogni primo possa essere eliminato, anche se ormai tutti i matematici erano convinti della validità del teorema.

Bibliografia

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  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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