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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Nel 1909 Josef Alwin Wieferich (Münster, Germania, 27/4/1884 – Meppen, Germania, 15/9/1954) aprì una differente via di attacco, dimostrando che nel primo caso l’esponente p deve essere un primo di Wieferich. Ancora questo teorema non bastava a stabilire la validità del primo caso per infiniti primi, perché non si sa se esistano infiniti primi di Wieferich, però forniva una via d’attacco relativamente semplice per i primi per i quali fallivano altri criteri..

 

Sulla scia di Wieferich altri dimostrarono che eventuali eccezioni al primo caso dell’ultimo teorema di Fermat si possono avere solo per i primi p tali che che per alcuni valori di b bp – 1 – 1 sia divisibile per p2:

  • Mirimanoff dimostrò nel 1910 che si può prendere b = 3, ossia che p dev’essere un primo di Mirimanoff;

  • Vandiver dimostrò nel 1914 che si può prendere b = 5;

  • Indipendentemente da Vandiver, G. Frobenius dimostrò nel 1914 che si può prendere b = 5, b = 11 e b = 17 e se p è della forma 6k – 1, anche b = 7, b = 13 e b = 19;

  • F. Pollaczek, dimostrò che si può prendere per b che qualsiasi primo fino a 31 tranne in un numero finito di casi, che furono eliminati da T. Morishima nel 1931;

  • T. Morishima dimostrò nel 1931 che si può prendere per b qualsiasi primo fino a 43, tranne in un numero finito di casi, che furono eliminati da B. Rosser nel 1940 e 1941;

  • Andrew Granville e M.B. Monagan (1988) dimostrarono che si può prendere per b qualsiasi primo fino a 89.

  • Jiro Suzuki (1994) dimostrò che si può prendere per b qualsiasi primo fino a 113.

Mirimanoff dimostrò nel 1910 che il primo caso vale per i primi esprimibili come 2a3b ± 1 o ±2a ± 3b, con a e b interi anche nulli, quindi in particolare per i primi di Fermat e di Mersenne.

Un corollario del teorema di Mirimanoff è che il primo caso vale se pp – 1 non divide il determinante di Wendt Wp – 1.

 

Nel 1931 V.M. Spunar fece notare che da questi teoremi si ricava un criterio sorprendentemente semplice: dato un primo p, se esiste un intero k non multiplo di p tale che kp = a ± b e tutti i fattori primi di a e b non superano 43, allora il primo caso dell’ultimo teorema di Fermat vale per p.

 

Nel 1965 A. Rotkiewicz dimostrò che se esistono infiniti numeri di Mersenne non multipli di quadrati, il primo caso vale per infiniti primi. Un numero di Mersenne è divisibile per il quadrato di un numero primo dispari solo se questo è un primo di Wieferich; al momento non si conosce alcun esempio e molti ritengono che non ve ne siano, data anche la scarsità dei primi di Wieferich.

 

Y. Hellegourach dimostrò nel 1965 che se nel primo caso esiste un controesempio con esponente pn, 2p – 1 ≡ 1 mod p2n e 3p – 1 ≡ 1 mod p2n.

 

La tabella seguente riporta i primi noti tali che bp – 1 – 1 sia multiplo di p2, per b primo fino a 113.

b

Primi

2

1093, 3511

3

11, 1006003

5

2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801

7

5, 491531

11

71

13

2, 863, 1747591

17

2, 3, 46021, 48947, 478225523351

19

3, 7, 13, 43, 137, 63061489

23

13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329

29

2

31

7, 79, 6451, 2806861

37

2, 3, 77867, 76407520781

41

2, 29, 1025273, 138200401

43

5, 103, 13368932516573

47

-

53

2, 3, 47, 59, 97

59

2777, 18088417183289

61

2

67

7, 47, 268573

71

3, 47, 331

73

2, 3

79

7, 263, 3037, 1012573, 60312841, 8206949094581

83

4871, 13691, 315746063

89

2, 3, 13

97

2, 7, 2914393, 76704103313

101

2, 5, 1050139

103

24490789

107

3, 5, 97, 613181

109

2, 3, 20252173

113

2, 405697846751

 

Come si vede si conoscono pochissimi esempi di primi di ciascuna categoria e nessuno appartenente contemporaneamente a tutte; sembra persino estremamente improbabile che esista un primo che appartenga anche solo alla metà di queste categorie.

 

Nel 1948 Gunderson dimostrò che se un numero primo q è tale che p(k)^(q – 1) ≡ 1 mod q^2 per i primi n primi, cioè se appartiene contemporaneamente alle prime n categorie di cui sopra, allora Limite inferiore per q. Per n = 24, corrispondente a p24 = 89, tale valore è 714591416091398, quindi la dimostrazione di Granville e Monagan garantisce che il primo caso non ha soluzione per tutti i primi inferiori a questo limite, senza bisogno di verificare per ciascuno se soddisfino o meno le varie condizioni.

Questa scoperta accese la speranza di riuscire a dimostrare almeno il primo caso per un numero crescente di primi semplicemente ampliando l’insieme delle condizioni da soddisfare. Nel 1981 però Shanks e Williams scoprirono che il valore minimo di q cresce solo fino a n = 29, raggiungendo il valore 4.40866 • 1015, quindi anche continuando a dimostrare che q deve appartenere a sempre più categorie, non si riuscirebbe a dimostrare la validità dell’ultimo teorema di Fermat oltre tale limite, se non migliorando la stima di Gunderson o dimostrando in altro modo che non esistono primi che soddisfino contemporaneamente tutte le condizioni.

Successivi miglioramenti e dimostrazioni di vari matematici portarono il limite a 7.568 • 1017 (D. Coppersmith, 1990) e poi a 2.2327 • 1018, sempre limitatamente al primo caso, poi Wiles dimostrò che l’ultimo teorema di Fermat vale sempre, togliendo interesse alle ricerche in questa direzione.

Bibliografia

  • Aczel, Amir D.;  L’enigma di Fermat, Milano, Il saggiatore, 1998.
  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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