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Ultimo teorema di Fermat

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. I primi passi
  3. 3. Il primo caso
  4. 4. Connessioni con alcune sequenze
  5. 5. Il teorema di Wieferich
  6. 6. Il secondo caso
  7. 7. Altri tentativi
  8. 8. Verso la soluzione
  9. 9. La soluzione
  10. 10. Generalizzazioni

Inaspettatamente a partire dalla metà del XIX secolo furono scoperte connessioni tra alcune sequenze di numeri e l’ultimo teorema.

 

Nel 1847 Augustin-Louis Cauchy (Parigi, 21/8/1789 – Sceaux, Francia, 23/5/1857) dimostrò che se il teorema è falso nel primo caso per un primo p maggiore di 3, allora Somma di n^(p – 4) per n da 1 a (p – 1) / 2 è multiplo di p.

 

Angelo Genocchi (Piacenza, 5/3/1817 – Torino, 7/3/1889) dimostrò nel 1852 che il criterio di Cauchy equivale ad affermare che il primo caso vale se p non divide il numero di Bernoulli Bp – 3, ossia se p non è un primo di Wolstenholme; Cauchy aveva annunciato in precedenza lo stesso teorema, senza però fornire una dimostrazione. All’epoca non si sapeva neppure se tali primi esistessero: il minimo, 16843, fu trovato da Selfridge e Pollack nel 1964.

 

Nel 1858 Ernst Eduard Kummer (Sorau, allora Prussia, oggi Żary, Polonia, 29/1/1810 – Berlino, 14/5/1893) dimostrò che se il teorema è falso nel primo caso, p divide Bp – 3 e Bp – 5, Mirimanoff nel 1905 estese la dimostrazione a Bp – 7 e Bp – 9 e T. Morishima nel 1932 la estese a Bp – 11 e Bp – 13.

Non si conosceva allora alcun primo che divida quei sei numeri di Bernoulli, né si conosce oggi, e sembrava possibile arrivare a una dimostrazione dell’ultimo teorema, almeno nel primo caso, se fosse stato possibile allungare l’elenco.

Un altro passo in questa direzione fu compiuto da M. Krasner, che nel 1934 dimostrò che il primo caso vale per p maggiore di 45!88 ≈ 7.0379111224 • 104934, se p non divide uno dei numeri da Bp – 3 a Bp – (2k + 1), dove k uguale al massimo intero non superiore a log(p)^(1 / 3). Nonostante il limite inferiore di Krasner fosse astronomico, questo convinse tutti che il teorema valeva, almeno nel primo caso, ma la via di dimostrare che l’eventuale controesempio doveva dividere “troppi” numeri di Bernoulli non portò a una dimostrazione.

 

Nel 1975 H. Brückner migliorò il teorema, dimostrando che se esiste un’eccezione nel primo caso, il numeri di Bernoulli da B3 a Bp – 3 divisibili per p sono più di sqrt(p) – 2 (e non mi risulta si conosca alcun primo del genere).

 

K.L. Jensen dimostrò nel 1915 che esistono infiniti primi irregolari p, che dividono almeno uno dei numeri di Bernoulli di indice pari fino a Bp – 3, ma non è stato dimostrato che esistano infiniti primi regolari, quindi questo criterio non basta a garantire l’esistenza di infiniti primi per i quali il primo caso valga.

 

Nel 1924 Vandiver dimostrò che se esiste un controesempio nel primo caso, Congruenza soddisfatta da p, dove Hn, 2 è un numero armonico generalizzato; il modulo va riferito al numeratore della frazione risultante dalla somma, ridotta ai minimi termini.

H. Schwindt dimostrò nel 1933 che il criterio può essere specificato come Congruenza soddisfatta da p.

 

Paulo Ribenboim dimostrò che se esiste un controesempio nel primo caso, Congruenza soddisfatta da p e Congruenza soddisfatta da p, per k uguale a 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.

 

Furono dimostrati vari criteri analoghi che un primo p dovrebbe soddisfare, se il primo caso dell’ultimo teorema fosse falso per p, come Congruenza soddisfatta da p, per k uguale a 2 (J.J. Sylvester, 1861), 3 (M. Lerch, 1905), 4, 5 e 6 (Emma Lehmer, 1938), quindi p dovrebbe essere un primo irregolare armonico.

 

Nel 1940 Vandiver dimostrò un teorema, analogo a quello dimostrato da Kummer nel 1851 (v. secondo caso), che afferma che il primo caso dell’ultimo teorema di Fermat è valido per i primi p che non dividono il numeratore di del numero di Eulero Ep – 3.

Come nel caso dei numeri di Bernoulli, è stato dimostrato che esistono infiniti primi Eulero-irregolari, che dividono almeno uno dei numeri di Eulero di indice pari fino a Ep – 3, (L. Carlitz, 1954), ma non che esistano infiniti primi Eulero regolari, quindi neppure questo criterio basta a garantire l’esistenza di infiniti primi per i quali il primo caso valga.

Gli unici primi p noti che dividano Ep – 3 sono 149, 241 e 2946901; se ve ne sono altri, sono maggiori di 107 (Romeo Mestovic, 2012), quindi il criterio di Vandiver, come quello di Kummer, sembrava poter escludere la quasi totalità dei primi.

 

Nel 1950 M. Gut dimostrò che nel primo caso se x2p + y2p = z2p, con p primo maggiore di 7, allora p divide Ep – 3, Ep – 5, Ep – 7, Ep – 9 e Ep – 11.

Bibliografia

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  • Hardy, Godfrey Harold;  Wright, E.M.;  An Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.
  • Mordell, Louis Joel;  Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cambridge University Press, ristampato da Chelsea Publ. Co., New York, 1962, e da VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlino, 1972, 1921.
  • Ribenboim, Paulo;  13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979.
  • Singh, Simon;  L’ultimo teorema di Fermat, Milano, Rizzoli, trad. di Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate Ltd., 1997, 1997.
  • Stewart, Ian;  I grandi problemi della matematica, Torino, Einaudi, 2014 -

    trad. di The Great Mathematical Problems, Joat Enterprises, 2013

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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